精品解析：安徽省安庆市外国语学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级数学 一、选择题（本大题共10小题） 1. 下列式子中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于x的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 4 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同，并设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 8. 下列四个式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 9. 嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为__________． 13. 若m，n为方程的两根，则的值为__________. 14. 定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则.如：，，，… 试解决下列问题：①__________；②__________； 三、解答题（共2小题） 15. （1）计算： （2）解方程：． 16. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按上述规律： （1）写出第5个等式： . （2）请你计算的值（写出计算过程）. 四、解答题（共2小题） 17. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 18. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 五、解答题 19. 手机下单，随叫随走，每公里一元……继“共享单车”后，重庆、北京、上海、成都等多地开始流行起时尚、炫酷的“共享汽车”，只需下载手机APP，注册后就能用手机在附近找到汽车使用，到达目的地后可把车还到指定停车网点或任意的正规停车场.这种新兴出行方式越来越受到人们的青睐.在重庆，戴姆勒集团和力帆集团已经完成第一批共享汽车的投放，共计1400辆，戴姆勒集团投放的奔驰smart汽车购买单价为15万元，力帆集团投放的AE纯电动汽车购买单价为8万元；两家公司的汽车成本总投资额为1.54亿元. （1）求两集团公司在重庆第一批共享汽车的投放数量分别为多少？ （2）这种共享的方式能够很好的整合社会资源，实现社会资源的优化配置，政府决定对后期投放的每辆汽车补贴成本价的，在此政策刺激下，戴姆勒集团公司决定再次购买并投放与第一次销售单价相同的第二批奔驰smart共享汽车，数量在两家公司第一次投放总和的一半的基础上增加，并且享受完政府补贴后，购买成本为1.197亿元，求的值． 六、解答题 20. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”.例如：，，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2.根据该约定，解答下列问题. （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”.若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”. ①与 ； ②与 ； ③与 . （2）已知关于x的整式，，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，，若S，T互为“差值代数式”，且满足.则 ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题） 1. 下列式子中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是等式，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、当时不是一元二次方程，故B不符合题意； C、，是一元二次方程，故C符合题意； D、，是一元一次方程，故D不符合题意． 故选：C． 2. 在下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 此题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列关于x的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数，且）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：A、，即， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； B、， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； D.、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得：， 故选：A． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 首先把常数项移到等号右边，然后方程两边都加上一次项系数的一半的平方，配方即可． 【详解】解：移项，得， 配方，， 则． 故选：B． 6. 某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同，并设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设进馆人次的月平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选A． 8. 下列四个式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件可得出，可得，由此可将变形得出答案． 【详解】解：由题意得：，可得， ∴． 故选：D． 9. 嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据嘉嘉及琪琪的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和， ∴两根之和， ∴当时，； ∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和6， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：B． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． ①由 可得出是一元二次方程的解，进而可得出 ②由方程有两个不相等的实根，可得出结合偶次方的非负性，可得出进而可得出方程有两个不相等的实根； ③代入，可得出当时，无法得出 ④利用求根公式，可得出变形后即可得出 【详解】解： 是一元二次方程的解， 故①不符合题意； ②∵方程 有两个不相等的实根， 则在方程中， ∴方程有两个不相等的实根，故②符合题意； ③∵是方程的一个根， 若c为0， 则无法得出故③不符合题意； 是一元二次方程的根， 结论④符合题意， ∴正确的结论有②④， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，二次根式和绝对值的性质，整式的加减，正确化简二次根式和绝对值是解答本题的关键．先根据数轴得出，再根据二次根式和绝对值的性质化简，然后去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13. 若m，n为方程的两根，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，再根据一元二次方程根的定义得到，最后整体代入即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵m，n为方程的两根， ∴， ，即， ∴ ． 故答案为：0． 14. 定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则.如：，，，… 试解决下列问题：①__________；②__________； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义类习题和裂项法等知识点，新定义类习题需要按照定义来分析对照题目中的数据，套用所给的公式化简计算即可． ①先判断的范围，直接按定义求得结果； ②需要推导出通项等于什么，则需要先判定和的大小关系，再按定义来化简所求的式子即可； 【详解】解：①按照定义，当，则. ∵ ∴； ②∵， ∴， ∵， 又∵n为非负整数， ∴， ∴， ∴， 综上所述，， ∴， ∴． 故答案为：①2；②3． 三、解答题（共2小题） 15. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和一元二次方程的解法是解答本题的关机那． （1）先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质化简，再算加减； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） （2）∵ ∴ ∴或 ∴， 16. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按上述规律： （1）写出第5个等式： . （2）请你计算的值（写出计算过程）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 本题主要考查了数字的变化规律及二次根式的混合运算，能根据所给等式发现的表达式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据所给等式可知， 则当时， 【小问2详解】 四、解答题（共2小题） 17. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 18. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不能，理由如下： ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，． ∴， ， ∵， ， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、无理数的混合运算和开平方的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）结合（1）小方形纸片的边长和二次根式的运算得到小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，代入代数式计算即可； （3）设长方形的长和宽分别是和．根据剪出的大长方形的面积列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）小方形纸片的边长， ∵，且， ∴， ∴小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为， 则； 【小问3详解】 略 五、解答题 19. 手机下单，随叫随走，每公里一元……继“共享单车”后，重庆、北京、上海、成都等多地开始流行起时尚、炫酷的“共享汽车”，只需下载手机APP，注册后就能用手机在附近找到汽车使用，到达目的地后可把车还到指定停车网点或任意的正规停车场.这种新兴出行方式越来越受到人们的青睐.在重庆，戴姆勒集团和力帆集团已经完成第一批共享汽车的投放，共计1400辆，戴姆勒集团投放的奔驰smart汽车购买单价为15万元，力帆集团投放的AE纯电动汽车购买单价为8万元；两家公司的汽车成本总投资额为1.54亿元. （1）求两集团公司在重庆第一批共享汽车的投放数量分别为多少？ （2）这种共享的方式能够很好的整合社会资源，实现社会资源的优化配置，政府决定对后期投放的每辆汽车补贴成本价的，在此政策刺激下，戴姆勒集团公司决定再次购买并投放与第一次销售单价相同的第二批奔驰smart共享汽车，数量在两家公司第一次投放总和的一半的基础上增加，并且享受完政府补贴后，购买成本为1.197亿元，求的值． 【答案】（1）600辆和800辆 （2）5 【解析】 【分析】（1）“戴姆勒集团和力帆集团在重庆第一批共享汽车共计1400辆”和“汽车成本总投资额为1.54亿元”列出方程组求解即可； （2）根据“购买成本为1.197亿元”列方程求解即可． 【小问1详解】 设戴姆勒集团和力帆集团在重庆第一批共享汽车的投放分别是x辆和y辆 ∴， 解之得：， ∴戴姆勒集团和力帆集团在重庆第一批共享汽车的投放分别是600辆和800辆． 【小问2详解】 ， 令m=a%，则， ∴ ，， ∵0<a<50， ∴，（舍去）， ∴a的值为5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的列出方程． 六、解答题 20. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”.例如：，，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2.根据该约定，解答下列问题. （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”.若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”. ①与 ； ②与 ； ③与 . （2）已知关于x的整式，，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，，若S，T互为“差值代数式”，且满足.则 ， ， . 【答案】（1）①√；②×；③√ （2）或或或 （3），， 【解析】 【分析】（1）根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法进行解答即可； （2）根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法得到，进而得到或，求出a的值即可； （3）首先根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法可得到，根据可化为，进而求出， ． 本题考查完全平方公式，多项式乘多项式、二次根式的加减法，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：（1）①，所以与互为“差值代数式”，“差值”为2， 故答案为：√； ②，所以与不是“差值代数式”, 故答案为：×； ③，所以当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1， 故答案为：√； 【小问2详解】 ∵关于x的整式，，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4， ∴， 即， ∴或， 当时，即，所以或； 当时，即，所以或； 综上所述，或或或； 【小问3详解】 ∵，，若S，T互为“差值代数式”， ∴的结果是常数， ∴，且“差值”为， 又∵， ∴， ∴，， 答：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $