精品解析：山西省运城市盐湖区2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试卷

2024—2025学年第一学期期末九年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一象限，第二象限 B. 第一象限，第三象限 C. 第二象限，第四象限 D. 第三象限，第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断反比例函数图象所在象限，根据，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴函数图象过二，四象限； 故选C． 2. 如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行投影，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，且平行物体的投影仍旧平行，即可得出结果． 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴投影后，矩形的影子的两组对应边仍然平行， ∵题中没说明阳光是从哪个角度射入， ∴影子为平行四边形； 故选A． 3. 下列哪个图形是如图所示的某建筑零件的主视图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 根据几何体的三视图可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得该几何体的主视图为， 故选：B． 4. 下列叙述正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法依次判断即可． 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是梯形，故A选项错误，不符合题意； B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D. 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法求出方程的根，即可得出结果． 详解】解：∵， ∴， ∴，即：方程有有两个不相等的实数根； 故选A． 6. 小慧和小形用4张同样规格的硬纸片微拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀，游戏规则如下：随机抽取两张，如图2所示，如果两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小慧获胜：如果两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，小形获胜，则小慧获胜的概率和小形获胜的概率分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，用分别表示图案为圆，图案为长方形的卡片，表示图案为三角形的两张卡片，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：用分别表示图案为圆，图案为长方形的卡片，表示图案为三角形的两张卡片，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中可拼成电灯或小人的情况有6种，拼成房子或小山的情况有6种， ∴（小慧获胜），（小形获胜） 故选A． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为6，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选D． 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义是解答本题的关键，依据题意，过点A作轴，，结合的面积得出，进而可得的值． 【详解】解：由题意，过点A作轴， ∵A点反比例函数图像上， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 又∵该反比例函数图像在第二、四象限， ∴ ， ∴． 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为8，点E，F分别是上的两个动点，且，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，，则：，证明，列出关系式，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设，，则：， ∴，整理，得：， ∴当时，有最大值为2， 即：的最大值是2； 故选C． 10. 如图，在中，，，，D是边上的任意一点，将沿着边翻折，点D的对应点是点E，将沿着边翻折，点D的对应点是点F，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由翻折的性质可得, ，进而可得，．再由可得，从而可得，又由可得，从而可得，由此即可得解． 【详解】解：由翻折的性质可得， ，，， 又， ，，， ， ， ， ， ∵四边形的内角和， ， 即， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数的定义．考查的知识点多，综合能力较强，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，灯光下有一个标语牌，小马同学在晚上用如下方法测量这个标语牌的高度：先量出标语牌在灯光下的影长，再找一根长度已知的竹竿，任意选定一个位置测量竹竿在这同一灯光下的影长，然后由标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比即可求出标语牌的高度，他的方法______正确的．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【解析】 【分析】本题考查投影，根据平行投影，同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，中心投影，不存在这个性质，即可得出结论． 【详解】解：因为灯光是中心投影， 所以标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比不一定相等， 故他的方法不正确； 故答案为：不． 12. 把二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，所得的图象函数表达式是________. 【答案】y=2(x-1)2 【解析】 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】原抛物线y=2x2的顶点为（0，0），向右平移1个单位长度，那么新抛物线的顶点为（1，0）； 所以新抛物线的解析式为y=2（x-1）2． 故答案y=2（x-1）2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则∠A＝________. 【答案】60° 【解析】 【分析】根据题意画也图形，求得sin∠A的值，从而得出∠A的度数. 【详解】如图所示： sin∠A=,所以∠A＝60o. 故答案是：60o. 【点睛】考查了锐角三角函数的定义及特殊三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，根据数形结合解答． 14. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，且与的相似比是．已知点A与点是对应顶点，点A的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据关于原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标关系进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O，且与相似比是，点A的坐标是，点A与点是对应顶点， ∴点的坐标是或， 即：点的坐标是或； 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，E为上一点，，D为上一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过B点作交的延长线于F点，则可证，则可得，由“等腰三角形三线合一”可得．再证，则可得，再结合即可求出的长． 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过B点作交的延长线于F点， 则， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算； （2）先化为一般式，再用因式分解法求解． 【详解】解：（1） ； 解：（2） ， ， ， 或， 解得：， 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求一次函数和反比例函数的函数表达式； （2）一次函数与x轴交于点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出两点坐标，进而求出的长，过点B作，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入中， ∴反比例函数的表达式为 把代入，得， ∴ 把，分别代入，得解得 ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 当时，由，得， ∴点C的坐标为 ∵轴，点D在的图象上， ∴点D的坐标为， ∴ 过点B作，垂足为E， ∴， ∴的面积． 18. 一个盒子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，小张根据获得的数据绘制了如下的折线统计图． （1）根据上图中的数据，估计盒中红球有 个； （2）从该盒中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，列表法求概率： （1）根据频率估算出概率，再利用概率求数量即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，摸出白球的概率为：， ∴摸出红球的概率为：0.75， 设红球有个，由题意，得：， 解得：， ∴红球有3个； 【小问2详解】 用表示红球，用表示白球，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能得结果，其中摸到1个白球，1个红球的情况有6种， ∴． 19. 山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”，此处生长的苹果果型端正果色鲜艳，果肉鲜白，口感甜爽而且极易储存．现某苹果商贩购进一批运城苹果进行销售进价为每千克7元，若按每千克13元出售，平均每天可售出100千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低0.5元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该销售商销售这种苹果想要平均每天获利720元，为了尽快减少库存，每千克苹果售价应定为多少元？ 【答案】每千克苹果售价应定为11元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： 法一：设每千克苹果售价应定为x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； 法二：设每千克苹果降价x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：方法一： 设每千克苹果售价应定为x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得，． 因为要尽快减少库存，x取11 答：每千克苹果售价应定为11元； 方法二：设每千克苹果降价x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得， 因为要尽快减少库存，x取2， 每千克苹果售价应定为 答：每千克苹果售价应定为11元． 20. 如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】旗杆的高度为13.6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点F，分别解直角三角形，直角三角形和直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：延长交的延长线于点F， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， ∵斜坡的铅直高度为2米， ∴，米， ∵在端点D处，测得顶端A的仰角为， ∴， ∴，， ∵点C处，测得旗杆顶端A的仰角为， ∴ 在中，， 即：， ∴ 答：旗杆的高度为13.6米． 21. 阅读与思考 折纸是生活中常见的数学活动，蕴含着丰富的数学知识，折叠的本质是轴对称变换，从折叠前后的效果上看是图形的全等：从折痕上看，其本质上是角平分线或对应点连线的垂直平分线；从折叠方式上看，可以按“边”折，按“角”折，甚至可以“任意折”． 已知，在中，，，． 任务一：填空 （1）如图1所示，点D为边上一点，连接，若沿所在直线折叠，使得点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，可求得 ； （2）如图2所示，点D为边上一点，连接，若沿所在的直线折叠，使得点C恰好落在边上，点C的对应点是点F，可求得 ； 任务二： （3）如图3所示，点D为边的中点，连接，若沿所在的直线折叠，点C的对应点是点G，连接，试求的长． 思路一：由，可得是等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”等性质…… 思路二：连接，由，得与为等腰三角形，由等腰三角形的底角相等并结合三角形内角和定理可得是三角形…… 根据上面的思路，请同学们选择其中的一种或者选择自己喜欢的方法求解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，从而可得．设，则，，．在中根据勾股定理列方程求出x的值，即可得的长． （2）由折叠的性质可得，，，从而可得．设，则，，．在中根据勾股定理列方程求出x的值，即可得的长． （3）思路一：作于H点，由，得为等腰三角形，则．再证，则可得，求得的长，则可得的长． 思路二：连接交 于O，由，得与为等腰三角形，由等腰三角形的底角相等并结合三角形内角和定理可得是直角三角形，从而可证，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵中，，，， ∴， 由题知沿翻折后得， ，，， ， 设，则，，， 在中, 由， 得， 解得， 即， 故答案为：． （2）∵中，，，， ∴， 由题知沿翻折后得， ，，， ， 设，则，，， 在中, 由， 得， 解得， 即， 故答案为：． （3）思路一： 如图，过D点作于H点， 由题知沿折叠后与重合， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ∵中，，，点D为边的中点， ∴， ， ， ∴， ； 思路二：如图，连接，交 于O， ∵由题知沿折叠后与重合， ， ∴垂直平分， ， 又， ， ，， 又， ，， 又， ，， ， ， ∵中，，，点D为边的中点， ∴， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，有一个休息室，一个洗手间，休息室与洗手间要关于场地的中轴线对称． 设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，，再次摊开，铺平，连接，，，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点． 1．在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室； 2．…… 工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）求出面积的最大值； （3）根据对称性，请你直接写出小红把洗手间（用点H表示）设计在四边形区域内的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可求得， ，则可得，．设设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求得，，进而可得抛物线的函数表达式为． （2）过点作于点，交于点，先求出直线的表达式为．设，则，根据可得，则可得时的值最大，为． （3）由（2）得，则可得，根据与点关于轴对称 ，即可得． 【小问1详解】 解：由题知，， ， ，． 设抛物线的函数表达式为， 则， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交于点， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为． 设，则， 则， ， ， ∴当时，的值最大，为． ∴面积的最大值为． 【小问3详解】 由（2）得， ， ， ∵与点关于轴对称， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，二次函数的对称性，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质及数形结合的思想方法是解题的关键． 23. 综合与探究 问题情景： （1）如图1，在中，，，点D是边上任一点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针方向旋转，得到，连接，．问与之间有怎样的关系？请说明理由． 猜想计算： （2）在（1）的条件下，如图2，若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，四边形中，，，若对角线，相交于点O，直接写出，与的数量关系． 【答案】（1），且，见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，由可得，进而可得， ，从而可得，即． （2）由可得．由可得．由可得，从而可得，在中，由可得，从而可得． （3）由已知条件可知四边形的对角互补，将将绕点C顺时针旋转得，则可得，且是等腰直角三角形，从而得，则可得 【详解】解：（1），且，理由如下： ∵在中，，， ， ∵将绕点C顺时针方向旋转，得到， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ∴与之间的关系为且； （2）， ， ， ， ∵中， ， ， ，且， ， ， ， ； （3）∵四边形中， ， ， ,， ∴将绕点C顺时针旋转得， 与重合， ，，， ， ∴A、B、E三点共线， 在中, ，， ， ∴， 又∵， ， ∴，与的数量关系为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，勾股定理以及特殊角的三角函数值．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末九年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一象限，第二象限 B. 第一象限，第三象限 C. 第二象限，第四象限 D. 第三象限，第四象限 2. 如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上影子常常是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 下列哪个图形是如图所示某建筑零件的主视图（ ） A. B. C. D. 4. 下列叙述正确是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 6. 小慧和小形用4张同样规格的硬纸片微拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀，游戏规则如下：随机抽取两张，如图2所示，如果两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小慧获胜：如果两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，小形获胜，则小慧获胜的概率和小形获胜的概率分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 9. 如图，正方形的边长为8，点E，F分别是上的两个动点，且，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，，，D是边上的任意一点，将沿着边翻折，点D的对应点是点E，将沿着边翻折，点D的对应点是点F，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，灯光下有一个标语牌，小马同学在晚上用如下方法测量这个标语牌高度：先量出标语牌在灯光下的影长，再找一根长度已知的竹竿，任意选定一个位置测量竹竿在这同一灯光下的影长，然后由标语牌高度与其影长之比等于竹竿长与其影长之比即可求出标语牌的高度，他的方法______正确的．（填“是”或“不是”） 12. 把二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，所得的图象函数表达式是________. 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则∠A＝________. 14. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，且与的相似比是．已知点A与点是对应顶点，点A的坐标是，则点的坐标是______． 15. 如图，在中，，，E为上一点，，D为上一点，连接，，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求一次函数和反比例函数的函数表达式； （2）一次函数与x轴交于点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 18. 一个盒子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，小张根据获得的数据绘制了如下的折线统计图． （1）根据上图中的数据，估计盒中红球有 个； （2）从该盒中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 19. 山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”，此处生长的苹果果型端正果色鲜艳，果肉鲜白，口感甜爽而且极易储存．现某苹果商贩购进一批运城苹果进行销售进价为每千克7元，若按每千克13元出售，平均每天可售出100千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低0.5元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该销售商销售这种苹果想要平均每天获利720元，为了尽快减少库存，每千克苹果售价应定为多少元？ 20. 如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 21. 阅读与思考 折纸是生活中常见的数学活动，蕴含着丰富的数学知识，折叠的本质是轴对称变换，从折叠前后的效果上看是图形的全等：从折痕上看，其本质上是角平分线或对应点连线的垂直平分线；从折叠方式上看，可以按“边”折，按“角”折，甚至可以“任意折”． 已知，在中，，，． 任务一：填空 （1）如图1所示，点D为边上一点，连接，若沿所在的直线折叠，使得点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，可求得 ； （2）如图2所示，点D为边上一点，连接，若沿所在的直线折叠，使得点C恰好落在边上，点C的对应点是点F，可求得 ； 任务二： （3）如图3所示，点D为边的中点，连接，若沿所在的直线折叠，点C的对应点是点G，连接，试求的长． 思路一：由，可得是等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”等性质…… 思路二：连接，由，得与为等腰三角形，由等腰三角形底角相等并结合三角形内角和定理可得是三角形…… 根据上面的思路，请同学们选择其中的一种或者选择自己喜欢的方法求解． 22. 综合与实践 问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，有一个休息室，一个洗手间，休息室与洗手间要关于场地的中轴线对称． 设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，，再次摊开，铺平，连接，，，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点． 1．在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室； 2．…… 工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）求出面积的最大值； （3）根据对称性，请你直接写出小红把洗手间（用点H表示）设计在四边形区域内的坐标． 23. 综合与探究 问题情景： （1）如图1，在中，，，点D是边上任一点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针方向旋转，得到，连接，．问与之间有怎样的关系？请说明理由． 猜想计算： （2）在（1）的条件下，如图2，若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，四边形中，，，若对角线，相交于点O，直接写出，与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $