精品解析：湖北省武汉市江夏区湖北华宜寄宿学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件逐项进行求解即可得． 【详解】解：A、3-x≥0，解得x≤3，不符合题意； B、6+2x≥0，解得x≥-3，不符合题意； C、x-3≥0，解得x≥3，符合题意； D、x+3≥0，解得x≥-3，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 2. 下列根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、不是最简二次根式，故不符合题意； D、，是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 3. 若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（　　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. △ABC是锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】13，12，5正好是一组勾股数，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而求解． 【详解】∵52+122＝169，132＝169， ∴52+122＝132， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．对于常见的勾股数如：3，4，5或5，12，13等要注意记忆． 4. 下列各式计算错误的是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加、减、乘、除法的运算法则逐一进行计算即可作出判断，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 全等三角形的对应边相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； B、逆命题为：对应边相等的三角形全等，是真命题； C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，是假命题； D、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题， 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，能够写出各个命题的逆命题是解答本题的关键，难度不大． 6. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项进行判断即可. 【详解】A、由，可以判断四边形ABCD平行四边形；故本选项不符合题意； B、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意； C、由，不能判断四边形ABCD是平行四边形,有可能是等腰梯形；故本选项符合题意； D、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键. 7. 如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（　　） A. 80米 B. 100米 C. 102.5米 D. 100.5米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．先设米，因为米，米，得出米，在中，利用勾股定理，进行列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设米， ∵米，米， ∴米， ∴在中，， 则， 解得， ∴， 故选：C． 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选D． 9. 在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为和，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理解答即可. 【详解】设AC=b,BC=a，分别在直角△ACE与直角△BCD中，根据勾股定理得 两式相加得a2+b2=36， ∴斜边为6. 故选A 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用. 10. 已知平面直角坐标系内有一点P（2，4），过P点作一条不过原点的直线1，若直线l交x轴于点A（x，0），交y轴于点B（0，y），则有（　　） A. 最小值0.05 B. 最大值0.05 C. 最大值0.5 D. 最小值0.5 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入y＝kx+b，求出k与b的关系式，得到y＝kx+4﹣2k，可以求出x与y的代数式，所以＝（）2+，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设直线解析式为y＝kx+b， 将点P（2，4）代入， 得：4＝2k+b， ∴b＝4﹣2k， ∴y＝kx+4﹣2k， ∴x＝，y＝4﹣2k， ∴＝+ ＝ ＝ = ＝（）2+， ∴有最小值； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质；熟练掌握点与一次函数的关系，通过化简分式借助二次函数求最值． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：_______；_______：_______． 【答案】 ①. ②. 7 ③. ## 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．依据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，，， 故答案为：，7，． 12. 在直角坐标系中，点到原点距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标以及勾股定理，根据勾股定理列式，代数计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∴ ∴点到原点的距离是 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，注意灵活应用．把的因式分解，再代入计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点分别在上，且，点分别为的中点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取AB的中点D，连接，利用三角形中位线定理证得为等腰直角三角形，即可求得答案． 【详解】如图，取的中点，连接，． ∵点分别为的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用三角形中位线定理是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．若，空白部分面积为13.5，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题关键． 根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵空白部分面积为13.5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，点，，连接，，，当最小时，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位，将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，，得，作关于直线的对称点，连接，，则，得，而，当点在上时，取等号，此时有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为，将代入求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点，则，， ∴，则 ∴，即， ∵点，， ∴点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位， 将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，， ∴， ∵，则在直线上， 作关于直线的对称点，连接，，则， ∴， 而，当点在上时，取等号，此时有最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形与坐标，路径最短问题，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，平移，轴对称等知识点，推到得出，当点在上时，取等号，此时有最小值，是解决问题的关键． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简各数，再合并计算； （2）先化简，再算乘法，最后计算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、分别是、的中点， 所以，， 则． 又， 所以四边形是平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． 先去括号，然后化简每一个二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，得到化简结果，最后把、的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 20. 如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D (1) 若AB＝5 cm，BC＝3 cm，求CD的长 (2) 若BD＝2，AD＝4，求CD的长 【答案】(1) cm；(2) 【解析】 【详解】试题分析：(1)根据勾股定理求得AC的长，再利用直角三角形面积的两种表示法求得CD即可；（2）根据已知条件易证△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质即可求得CD的长. 试题解析： （1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm， 由勾股定理得AC=4cm， ∵CD⊥AB于D， 根据三角形的面积公式可得， ，即 ， 解得CD= cm. （2）如图，由题意可得，∠A+∠1=90°，∠2+∠1=90°， ∴∠A=∠2， 又因∠CDB=∠ADC=90°， ∴△BDC∽△CDA， ∴ , ∵BD＝2，AD＝4， ∴， 解得CD= 点睛：本题考查了勾股定理和相似三角形的性质与判定的知识，是中考常考题型，属于基础题. 21. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，画一个，使，，．的形状是 ． （2）如图2，在中，点在边上，点为内部一点． ①在边上画点，使直线平分的面积； ②若，画出的角平分线交于点． 【答案】（1）直角三角形 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查狗姑姑定理及逆定理，平行四边形的性质，理解并掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． （1）根据勾股定理及逆定理求解即可； （2）①连接，交于点，根据过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积可知，连接交于，如图所示，点即为所求； ②连接并延长交于点，连接，根据平行四边形性质可知，进而可证明，，故即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【小问2详解】 解：①连接，交于点，连接交于，如图所示，点即为所求； ②连接并延长交于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∴，即：平分， 故即为所求． 22. 如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，铁路有关部门规定路段限速，处有一测速仪，已知，在上，，，，请解决以下问题： （1）如图1，测速仪测得该火车从点行驶至点用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； （2）如图2，若上有一点，且，若火车从点行驶至点，求处测速仪探头旋转角的度数． 【答案】（1）该火车超速了，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形和含的直角三角形的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）过作于，根据等腰直角三角形和含的直角三角形的性质，结合勾股定理，进而解答即可； （2）作于，由（1）知，中，，，，在中，，求得，，根据求得，可知，，进而可得． 【小问1详解】 解：该火车超速了，理由： 火车限速为，则每秒限速为， 过作于， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，，则 ∴，则， ∴， ∴， 则该火车速度为， ∴该火车超速了； 【小问2详解】 作于， 由（1）知，中，，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）35 【解析】 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，得，再利用直角三角形两锐角互余可证，进而可证，得，结合平行四边形的性质即可证得结论； （2）过点作，交于，可知，，，得，可证，得，在中，，在中，，求得得，结合在中，，即可证明结论； （3）结合平行四边形的性质，由（1）可知，，，得，，设，则，，根据勾股定理得，，，可知以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边，结合其面积得，即，进而可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 中，， 在中，， 在中，， ∴ ， 即：； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，， ∴，则以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边， ∴， ∴，即：， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：35． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定及性质，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解是解决问题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，、，若，点是点关于轴的对称点． （1）判断的形状并证明； （2）点在第一象限，且，试探究存在的数量关系； （3）如图2，点在上，为线段的中点，绕点顺时针旋转得到，请直接写出点从点沿运动到点过程中点运动的路径长 ． 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析 （2）当点在的外部时，；当点在内部时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而求得，，可知，进而可证得是等腰直角三角形； （2）分两种情况：当点在的外部时，如图，过点作交的延长线与点，当点在内部时，如图，过点作交的延长线与点，结合等腰直角三角形的性质和全等三角形即可得结论． （3）如图，连接，，，．首先点在过原点，且与轴正方向呈夹角的直线上运动，推出点的运动轨迹是线段（图中线段），利用等腰直角三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵，即 ∴，， ∴，， ∴，， ∵，关于y轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 当点在的外部时，；当点在内部时，；理由如下： 当点在的外部时，如图，过点作交的延长线与点，则． ∵，则， ∴， ∴，， 由（1）可知，是等腰直角三角形， ∴，，则 ∴， ∴， ∴ ∴． 当点在内部时，如图，过点作交的延长线与点，则． ∵，则， ∴， ∴，， 由（1）可知，是等腰直角三角形， ∴，，则 ∴， ∴， ∴，，则 在中， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， 如图，连接，，，． ∵，，为线段的中点， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴，则， ∴， ∴与的夹角（锐角）为， 即：点在过原点，且与轴正方向呈夹角直线上运动， 当点在点时，同理可知，，， ∴，， 当点在点时，同理可知，，， ∴，， ∴点从点沿运动到点过程中点运动的路径长，， 即：为等腰直角三角形， ∴ ∴点从点沿运动到点过程中点运动的路径长． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确是（　　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. △ABC是锐角三角形 4. 下列各式计算错误的是（　　） A 4 B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A 同旁内角互补，两直线平行 B. 全等三角形的对应边相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 6. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（　　） A. 80米 B. 100米 C. 102.5米 D. 100.5米 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 9. 在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为和，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 10. 已知平面直角坐标系内有一点P（2，4），过P点作一条不过原点的直线1，若直线l交x轴于点A（x，0），交y轴于点B（0，y），则有（　　） A. 最小值0.05 B. 最大值0.05 C. 最大值0.5 D. 最小值0.5 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：_______；_______：_______． 12. 在直角坐标系中，点到原点的距离是______． 13. 已知，则________． 14. 如图，在中，，点分别在上，且，点分别为的中点，则的长为___________． 15. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．若，空白部分面积为13.5，则________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，点，，连接，，，当最小时，的值为_______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D (1) 若AB＝5 cm，BC＝3 cm，求CD长 (2) 若BD＝2，AD＝4，求CD的长 21. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，画一个，使，，．的形状是 ． （2）如图2，在中，点在边上，点内部一点． ①在边上画点，使直线平分的面积； ②若，画出的角平分线交于点． 22. 如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，铁路有关部门规定路段限速，处有一测速仪，已知，在上，，，，请解决以下问题： （1）如图1，测速仪测得该火车从点行驶至点用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； （2）如图2，若上有一点，且，若火车从点行驶至点，求处测速仪探头旋转角的度数． 23. 如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，、，若，点是点关于轴的对称点． （1）判断的形状并证明； （2）点在第一象限，且，试探究存在的数量关系； （3）如图2，点在上，为线段的中点，绕点顺时针旋转得到，请直接写出点从点沿运动到点过程中点运动的路径长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$