精品解析：2025年湖北省初中学业水平考试诊断训练数学试题

2025年湖北省初中学业水平诊断训练数学 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为，那么比水结冰时的温度低应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下面简单几何体从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一枚质地均匀的硬币，任意掷一次，正、反两面朝上的可能性相同 B. 任意买一张电影票，座位号一定是偶数 C. 篮球运动员在三分线罚球，球一定被投入篮球框 D. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一定大于3 7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 9. 如图，是原点，，将绕逆时针旋转得，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个你愿意写的小于的数是______． 12. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（The 9th Asian Winter Games Harbin2025），于2025年2月7日至2月14日在中国黑龙江哈尔滨举行，其会徽为“超越”，这是继1996年哈尔滨亚冬会、2007年长春亚冬会后，哈尔滨第三次举办亚冬会．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右，由此可估计宣传画上哈尔滨亚冬会会徽图案的面积约为______． 13. 声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为______． 14. 计算的结果是_______． 15. 如图，以为一边在其两侧作等边和等边，连接，和相较于，过作与，连接，，且．则： （1）________； （2）________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 18. 综合与实践 【问题情境】一山清水秀风景区有座名胜古塔，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量该塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量古塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 请你从以上两种方案中任选一种，求出古塔的高度；（参考数据：，，，，，）． 19. 炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 男生15名学生测试成绩统计如下： 68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80 女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分） 82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 组别 频数 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5 男生 2 2 4 5 1 1 女生 1 1 5 6 2 0 【分析数据】 （1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 男生 80 x 80 47.6 女生 80 80 y 26.2 在表中：x＝ ．y＝ ； （2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 人； （3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的表达式： （2）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点上方时，请直接写出的取值范围． 21. 已知是⊙的直径，是圆外一点，直线交⊙于点，、不重合，平分交⊙于点，过作，垂足为． （1）判断与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长度． 22. 如图，某小区计划用的铁栅栏两面靠墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为． （1） _______（用含x的式子表示）； （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）当x是多少米时，车棚面积y最大？最大面积是多少？ 23. 如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． （1）求证：△OCP∽△PDA； （2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点．设线段的长为，连接，构成，求出当面积最大时，的值及点坐标； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省初中学业水平诊断训练数学 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为，那么比水结冰时的温度低应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是解题的关键． 根据题意，比规定温度低，运用负数表示，由此即可求解． 【详解】解：标准大气压下水结冰时的温度规定为， ∴比水结冰时的温度低应记作， 故选：C ． 2. 下面简单几何体从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征即可解答． 【详解】解：由题意得，几何体从左面看到的形状图是． 故选：A． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、单项式除以单项式等知识，根据相关运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键． 先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为： ． 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一枚质地均匀的硬币，任意掷一次，正、反两面朝上的可能性相同 B. 任意买一张电影票，座位号一定是偶数 C. 篮球运动员在三分线罚球，球一定被投入篮球框 D. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一定大于3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了本题考查了随机事件、必然事件．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：A、一枚质地均匀的硬币，任意掷一次，正、反两面朝上的可能性相同，故此选项符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是偶数，也可能奇数，故此选项不符合题意； C、篮球运动员在三分线罚球，球不一定被投入篮球框，故此选项不符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数不一定大于3，故此选项不符合题意； 故选：A． 7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等量关系，将关系具体化得到方程，联立即得方程组． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的布列是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得方程组为， 故选A． 8. 已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：．由作图可知：， ，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意； B．为半圆的直径， ，， ， ，选项B正确，不符合题意； D．的度数未知，和互余， 不一定等于， 不一定等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，是原点，，将绕逆时针旋转得，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决此题的关键．如图作轴于，轴于，证出，得出，，再由的坐标为，即可得解． 【详解】解：如图作轴于，轴于． ∴， ∵将绕逆时针旋转得， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴，， ∵的坐标为， ∴，， ∴点坐标， 故选：B． 10. 已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键．由抛物线开口向上知：； 抛物线与y轴的负半轴相交知； 对称轴在y轴的左侧知：，即可判断①；根据对称轴为直线，得出，从而得出，即可判断②；由抛物线的性质可知，当时，y有最小值，得出，即可判断③；根据抛物线的对称轴为， 且与x轴的一个交点的横坐标为1， 得出另一个交点的横坐标为，即可判断④；根据当时，，得出，即可判断⑤． 【详解】解：①由抛物线开口向上知：；抛物线与轴的负半轴相交知；对称轴在轴的左侧知：， ∴，故①错误； ②∵对称轴为直线， ∴， 即， ∴，故②错误； ③由抛物线的性质可知，当时，有最小值， 即， 即，故③正确； ④因为抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，所以另一个交点的横坐标为．因此方程的两根分别是1，．故④正确； ⑤由图像可得，当时，， 即：，故⑤正确． 故正确选项有③④⑤共3个， 故选：B． 二、填空题（共共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个你愿意写的小于的数是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据绝对值越大的负数反而越小写出合适的负数即可． 【详解】解：例如：， 故答案为：（答案不唯一） 12. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（The 9th Asian Winter Games Harbin2025），于2025年2月7日至2月14日在中国黑龙江哈尔滨举行，其会徽为“超越”，这是继1996年哈尔滨亚冬会、2007年长春亚冬会后，哈尔滨第三次举办亚冬会．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右，由此可估计宣传画上哈尔滨亚冬会会徽图案的面积约为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，根据概率计算数量，解题的关键是熟练掌握概率公式，根据骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右，得出骰子落在会徽图案上的概率为，然后根据长方形面积计算会徽图案的面积即可． 【详解】解：由题意可得：长方形的面积为， ∵骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右， ∴骰子落在会徽图案上的概率为， ∴会徽图案的面积为：， 故答案为：． 13. 声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为______． 【答案】1695 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用．先求出当时声音在空气中传播的速度，根据路程等于速度乘以时间即可求出答案． 【详解】解：当时， ∴（米）． 答：此人与燃放烟花所在地距离是1695米． 故答案为：1695． 14. 计算的结果是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减，直接利用分式的加减运算的法则进行求解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：2． 15. 如图，以为一边在其两侧作等边和等边，连接，和相较于，过作与，连接，，且．则： （1）________； （2）________． 【答案】 ①. ##30度 ②. ##厘米 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，，证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，，，，根据等边三角形性质得出，根据直角三角形性质得出，最后求出结果即可； （2）过作于，根据勾股定理得出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，即可． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根，分别计算出负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，算术平方根，然后再计算加减法即可． 【详解】解： 17. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． 18. 综合与实践 【问题情境】一山清水秀风景区有座名胜古塔，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量该塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量古塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 请你从以上两种方案中任选一种，求出古塔的高度；（参考数据：，，，，，）． 【答案】选择方案一：古塔的高度为52米；选择方案二：古塔的高度为52.5米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题关键．利用相似三角形的对应边成比例可解方案一；利用锐角三角函数可解方案二． 【详解】解：选择方案一： 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴古塔的高度为52米； 选择方案二： 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米 ∴古塔的高度为52.5米； 19. 炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 男生15名学生测试成绩统计如下： 68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80 女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分） 82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 组别 频数 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5 男生 2 2 4 5 1 1 女生 1 1 5 6 2 0 【分析数据】 （1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 男生 80 x 80 47.6 女生 80 80 y 26.2 在表中：x＝ ．y＝ ； （2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 人； （3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由． 【答案】（1）85，81 （2）1200 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得； （2）用总人数乘以样本中合格人数所占比例可得； （3）根据平均数与方差的意义说明即可． 【小问1详解】 解：∵男生的测试成绩中85分出现了四次，出现的次数最多， ∴男生成绩中的众数为85分， ∴x＝85， 将女生测试成绩从低到高排列为：67，73，76，78，80，80，80，81，82，82，82，82，83，86，88，处在最中间的成绩为81分， ∴女生成绩中的中位数为81分， ∴y=81， 故答案为：85，81； 【小问2详解】 解：2400×＝1200（人）， ∴估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人， 故答案为：1200； 【小问3详解】 解：女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好， ∵平均数相等，男生的方差＞女生的方差， ∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，用样本估计总体，用方差做决策，熟知相关知识是解题的关键． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的表达式： （2）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于，两点，当点位于点上方时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题． （1）由得反比例函数解析式，再求出，最后由，用待定系数法求一次函数解析式； （2）当点位于点上方时，根据图象即反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，再根据横坐标的值即可得出． 【小问1详解】 解：将代入，得 ； 将代入得 将，代入得 解得 ； 【小问2详解】 当点位于点上方时，在点右侧且在轴左侧，或者在点右侧 点横坐标为，点横坐标为4， 的取值范围为：或． 21. 已知是⊙的直径，是圆外一点，直线交⊙于点，、不重合，平分交⊙于点，过作，垂足为． （1）判断与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）相切，见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、弧长公式、勾股定理，解决本题的关键是根据角平分线的定义和平行线的判定证明，从而证明直线与圆相切． 连接，根据圆的基本性质可证，根据角平分线定理可证，等量代换可得，根据内错角相等可证，从而可得，可证结论成立； 过作于，根据圆的基本性质可证四边形是矩形，利用勾股定理可求，设，则，，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即为圆的半径，再根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：与相切， 理由如下： 连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：过作于， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ． 22. 如图，某小区计划用的铁栅栏两面靠墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为． （1） _______（用含x的式子表示）； （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）当x是多少米时，车棚面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当是10米时，车棚面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，，则，； （2）由题意知，，由，，可得，，解不等式组，然后作答即可； （3）由题意知，，根据二次函数的图象与性质作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵，， ∴，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵， ∴当时，车棚面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了列代数式，二次函数的应用，不等式组的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 23. 如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． （1）求证：△OCP∽△PDA； （2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3）PB=2EF． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可知得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）作MH∥AB交PB于H，根据相似三角形的性质得到BF=FH，根据等腰三角形的性质得到PE=EH，得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°， ∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°， ∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°， ∴△OCP∽△PDA； （2）∵△OCP∽△PDA，面积比为1：4， ∴， ∴CP=4， 设AB=x，则AP=x，PD=x-4， 由勾股定理得，AD2+PD2=AP2，即82+（x-4）2=x2， 解得，x=10，即AB=10； （3）PB=2EF． 作MH∥AB交PB于H， ∴∠PHM=∠PBA， ∵AP=AB， ∴∠APB=∠PBA， ∴∠APB=∠PHM， ∴MP=MH，又BN=PM， ∴MH=BN，又∵MH∥AB， ∴BF=FH， ∵MP=MH，ME⊥BP， ∴PE=EH， ∴PB=2EF． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方、翻转变换的性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点．设线段的长为，连接，构成，求出当面积最大时，的值及点坐标； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2），； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． （）将函数解析式进行因式分解得，即可求出点，； （）当时，，令，则，即，求出直线的解析式为，设，，则可求出关于的函数解析式为；然后通过，再由二次函数的性质即可求解； （）由题意知，结合图象确定有个整数点时，的最大值和最小值，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， 令，则， ∵， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵动直线与抛物线交于点，与直线交于点， 设，， ∵线段的长为， ∴， 即关于的函数解析式为； 由题意可知，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大，最大值为， ∴当时，， 此时，， ∴当面积最大时，，； 【小问3详解】 解：由题意知， ∵，顶点， ∴且， 得； ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $