精品解析：山东省济宁市金乡县2024-2025学年九年级下学期第一次模拟学情监测数学试题

2024-2025学年度九年级第一次模拟学情监测 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 5. 方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 6. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 9. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 二、填空题（每题3分，共15分） 10. 把多项式分解因式的结果是______． 11. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 12. 甲从地前往地，乙从地前往地，同时出发，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数关系如图所示，则________． 13. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 14. 新新商场第1次用39万元购进A，B两种商品．销售完后获得利润6万元（总利润＝单件利润×销售量），它们的进价和售价如表： 　　商品 价格　　 A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得的利润等于36 000元，则B种商品是打几折销售的？ 15. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 16. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）_________，_________； （2）连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 17. 在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． （1）点与点互为“等和点”，求b的值； （2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上． ①若，点E与点F互为“等和点”且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级第一次模拟学情监测 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴可以看出，，，．根据有理数的乘除法，加减法进行计算，然后比较大小． 【详解】解：由数轴可以看出，，， ∴，． 又∵． ∴，． ∴最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的加减法运算，有理数的乘除法运算，掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大是解题的关键． 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图以及认识平面图形，掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键．根据圆柱、圆锥的特征解答即可． 【详解】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意； 选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意； 选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A.x2+x不能合并，故选项A错误； B.，故选项B错误； C.8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确； D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，检验根等方法是解题的关键． 先去分母化成，检验根，当时，，原分式方程无意义，由此即可求解． 【详解】解： 等式两边同时乘以去分母得，， 检验，当时，，原分式方程无意义， ∴原方程无解， 故选：D ． 6. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 7. 如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图痕迹得出垂直平分，平分，进而可得，，再根据三角形内角和定理得出，根据等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，垂直平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故选A． 8. 如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形旋转及扇形的面积公式等知识点，掌握扇形的面积公式，推导出所求面积即为两扇形面积之差是解答本题的关键． 先推导出边扫过的部分（即阴影部分）面积为，分别求两扇形面积相减即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴直角三角形，， ∵， ∴， 由旋转可知，， 由题意得，由图形可知， 边扫过的部分（即阴影部分）面积为 , ∴边扫过的部分（即阴影部分）面积为 故选：B． 9. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为42个． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 10. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键；先提公因式，再根据平方差分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键． 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 12. 甲从地前往地，乙从地前往地，同时出发，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数关系如图所示，则________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解题意，得到两人中有1人先到达终点是解本题的关键．根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟，从而先求解速度慢的人的速度，再求解速度快的人的速度，从而可得答案． 【详解】解：根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟， （米/分）， ， 解得：（米/分）， （分钟）， 故答案为： 13. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征． 三、解答题（共8小题，共75分） 14. 新新商场第1次用39万元购进A，B两种商品．销售完后获得利润6万元（总利润＝单件利润×销售量），它们的进价和售价如表： 　　商品 价格　　 A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得的利润等于36 000元，则B种商品是打几折销售的？ 【答案】（1）A商品200件，B商品150件；（2）8.5折 【解析】 【分析】（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B种商品是打m折销售，根据第2次经营活动获得利润等于36000元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，依题意得： 解得：． 答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件． （2）设B种商品是打m折销售，依题意得： 解得：m=8.5． 答：B种商品是打8.5折销售的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 15. 太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 【答案】路灯D距地面AE的高度为9.4米 【解析】 【分析】如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，先解直角三角形CDM求出CM的长洁儿求出HF的长，解直角三角形DHF求出DH的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形， ∴CM=AG，HF=EG，HG=EF， ∵∠BCD=60°， ∴∠DCM=30°， 又∵∠CMD=90°， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴路灯D距地面AE的高度为9.4米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）_________，_________； （2）连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1）4，2 （2）点的坐标为、 【解析】 【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案； 对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【小问1详解】 将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得 ， 解得， 一次函数的关系式为； 将点A（1，4）代入反比例函数，得 ， 反比例函数的关系式为． 故答案为：4，2； 【小问2详解】 点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）． 当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴OB=2． 根据勾股定理可知． 当点落在轴的正半轴上，则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， 则. ∵， ∴， ∴； 若，则． ∵，， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为、． 【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等． 17. 在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． （1）点与点互为“等和点”，求b的值； （2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上． ①若，点E与点F互为“等和点”且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （3）①设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；②设，，得到，设，，得到，根据在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 ∵点，点都在直线上，， ∵点C与点D互为“等和点”， ， 解得； 【小问3详解】 ① ， 设， 在中，令 ． ∵点E在图象上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， ，且， ． ∵点E与点F互为“等和点”， ， 整理得，解得（舍去）． 当时， ； ②设，设． 随a的增大而增大， ． 设，设． 关于n的二次函数图象的对称轴为直线， ，图象开口向上，当时，在对称轴右侧，随n的增大而增大，当时，，当时， ． ∵在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”． ， 解得． 的范围为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $