精品解析：广东省梅县东山中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

东山中学2027届高一第二学期第一次月考数学试题 考试时间120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域. 【详解】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 2. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 3. 已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 5. 称方程的根为函数的“+1点”，则函数的“点”为（ ） A. B. 或 C. 或1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由函数“点”的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，当时，由，解得（舍去）， 当时，由，解得或（舍去）， 综上所述，函数的“点”为. 故选：A 6. 已知，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 7. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，再由，分， ，由最大值为求解. 【详解】因为函数在区间上的最大值为， 所以，解得， 因为，所以， 当，即时，， 令，在同一坐标系中作出图象：    令， 因为，， 所以存在唯一，使得； 当，即时，，即，解得 . 所以实数的取值个数最多为2. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据代入特殊值法，可判断A和C，根据不等式的性质可判断B，根据幂函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，，，可得且，，即，故B正确； 对于C，举反例，时，，故C错误； 对于D，因为在上为增函数，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 周期 C. 在上递增 D. 若在上恰有4个零点，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象以及单调性可得A错误，求得函数解析式可判断，即B正确，再由整体代换以及正弦函数单调性可得C正确，由得出，利用图象可得，可判断D正确. 【详解】对于A，由图可知，且，即， 又，可得或； 因为在点附近的图象呈下降趋势，可得，即A错误； 对于B，由选项A可知，，所以， 所以，解得； 由图可知，可得，又，可得； 所以周期，即B正确； 对于C，由B可知，当，可得； 由在上单调递增，可得在上递增，即C正确； 对于D，当，可得； 若在上恰有4个零点，可得，解得； 即实数的取值范围是，可得D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用零点个数并结合函数图象限定得出不等式，即可得出参数的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的周长公式求得圆心角，再代入扇形的面积公式求得扇形的半径，将求得结果代入扇形的周长公式即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则扇形的周长，∴， ∴扇形的面积，∴， ∴扇形的周长. 故答案为：. 13. 已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意得，，解得， 所以， 故答案为：1 14. 已知定义在R上的非常数函数满足：对于每一个实数x，都有，则的一个周期为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可得,进而,然后根据周期的定义结合条件即得. 【详解】因为, 所以, 即①对任意成立, 令，则②, ②-①得:, 由可得对任意成立, 即对任意成立, 则,即对任意成立, 则为的一个周期. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【小问1详解】 即， 最小正周期为，令，解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 由，，， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 由，， 令的两个解为， 则，，，， 所以 18. 已知函数. （1）当时，求方程的解； （2）若存在，使得，求a的取值范围； （3）若函数在R上的最小值为，求a的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）换元法求解方程的根即可； （2）转化为不等式有解，分离参数后求最小值得解； （3）利用偶函数将问题转化为求在上的最小值，再分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，函数.令， 当时，，可化为，解得（负根舍去），所以； 当时，，方程化为，解得，舍去. 综上所述，方程的解为. 【小问2详解】 当时，，所以， 由题意得在上有解， 即在上有解， 因，则得在上有解， 因为为减函数，在上的最小值为，所以. 【小问3详解】 因为的定义域为R，，所以为偶函数 由题意知，只需考虑函数在上的最小值. 当时，，. 因为， 所以 令，则在上单调递增，所以， . 当即时，上单调递增，所以，舍去； 当即时，，解得（正值舍去）. 综上所述，的值是. 19. 设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）已知函数为中心对称函数；有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）已知函数，其中，若正数a，b满足，且不等式恒成立，求t的取值范围. 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法求值即可； （2）根据对称性的定义证明即可； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，而当时，， 于是，， 所以. 【小问2详解】 函数的对称中心为，， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 函数，， 则函数的对称中心为， 记， 则， 于是，即， 依题意，，a，b，c为正数， 不等式恒成立， 而 ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东山中学2027届高一第二学期第一次月考数学试题 考试时间120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，定义域为是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，点是中点，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 4 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 5. 称方程的根为函数的“+1点”，则函数的“点”为（ ） A. B. 或 C. 或1 D. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量满足，则下列结论正确有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 11. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期 C. 在上递增 D. 若在上恰有4个零点，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为_______． 13. 已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______. 14. 已知定义在R上的非常数函数满足：对于每一个实数x，都有，则的一个周期为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）值 （3）的夹角的余弦值. 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求方程的解； （2）若存在，使得，求a的取值范围； （3）若函数在R上的最小值为，求a的值. 19. 设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）已知函数为中心对称函数；有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）已知函数，其中，若正数a，b满足，且不等式恒成立，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$