精品解析：安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026届年高三下学期5月学情自测数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得或，解得或，所以， 所以，A错；，B错；，C错；，D对. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】，. 3. 已知等差数列与正项等比数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由等差、等比数列的性质求解 【详解】由等差、等比数列的性质可知：，，所以. 4. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，且， ，即，得，，. . 5. 某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（ ） A. 450 B. 475 C. 500 D. 525 【答案】C 【解析】 【分析】先解出的估计值，再求解即可 【详解】行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，说明数据在这两个区间的分布对称，得. 区间的频率为，而，故近似有，解得. 认证比例，所以，因此最接近的选项是C. 6. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导判断单调性可比较，利用中间值可判断最小. 【详解】构造函数，由换底公式，， 所以， 再令，， 当时，，单调递增， 所以当时，，即在有， 所以在上单调递减， 又，， 由对数函数的单调性得，， 所以，所以. 7. 已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为80，且最大值在第与项取得，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用与两项系数相等求出的关系，再对进行讨论即可. 【详解】由题可知第项与项的系数相等且最大，即，化简得， 即，化简得， 取，得，各项系数为，不满足条件，舍去； 取，得，不是整数，舍去； 取，得，各项系数为 ，符合条件， 当时，，例如当时，展开式系数的最大值为，不符合题意，当更大时，最大系数值也更大. 所以. 8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，且，若，椭圆C的离心率为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆定义结合勾股定理求解. 【详解】由，可知，即， ，， 因为，所以，， 设，则，由椭圆定义可得，， 在中，，所以， 即，化简得，即， 所以，， 在中，，可得， 即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简.对于A，由周期公式计算即可；对于B，由复合函数的单调性求解；对于C，由整体法求解即可；对于D，图像平移遵循“左加右减”的基本原则，但D中平移前后两个函数的振幅不同，所以D错误. 【详解】由题意得 ， 对于A，，A正确； 对于B，当时，， 此时正弦函数在上单调递增， 在上单调递减，因此在上不单调，B错误； 对于C，对称轴满足 ， 令，解得是图像的对称轴，C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度得到， 且平移后的函数与的振幅不同，并非同一函数，D错误. 10. 如图，在长方体中，P为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 若底面为正方形，则过点P有且只有一条直线与，所成的角均为 D. 若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由三棱锥体积公式求解即可；对于B，先设，再用表示，再对比系数求解即可；对于C，过点P可以作两条直线与，所成的角均为；对于D，先求外接球半径，再求截面（截面为圆）的半径，进而求其面积. 【详解】对于A，在长方体中，因为 ，平面，平面， 所以 平面，即点到平面的距离是定值，故四面体的体积为定值，A正确； 对于B，设，由向量运算 ，如果，对比系数得：， 所以存在点P，使得，B正确； 对于C，如图，连接交于点，因为底面是正方形，所以，过点可以作两条直线与，所成的角均为， 可将这两条平行线平移到经过P点，所以过点P有两条直线与，所成的角均为，C错误； 对于D，设长方体的外接球球心为，半径为，与交于点， 则 所以，设到平面的距离为， 利用等体积法，先以为底面计算三棱锥的体积：， ， 再以为底面计算三棱锥的体积： 由题可知四边形是正方形，所以， 又，所以平面，所以，所以是三棱锥的高， ，， ， 等体积法得：，所以，解得， 则平面截长方体的外接球所得截面圆的半径， 其面积为 ，D正确. 11. 已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B. 圆O与圆的公共弦长为 C. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由两点间距离公式求解即可； 对于B，先求公共弦方程，再勾股定理求弦长；对于C，先求直线的方程，再求最大值，再结合二倍角公式求解；对于D，先求以为直径的圆的方程，再求直线的方程，进而表示点到直线的距离，再求最大值. 【详解】对于A，设，则， ，A正确； 对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为， 点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误； 对于C，直线的方程为，连接，则，， 在中，， 当时，，从而取最大值， 因为是锐角，所以最大时最大，又最大时，，所以， 此时最大，最大值为，C正确； 对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦， 而为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即， 与圆O相减得直线的方程为， 将代入得，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 【答案】或. 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质求的纵坐标，再求的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】 抛物线的准线为，设直线的倾斜角为， 过M向抛物线的准线作垂线交准线于，由抛物线的几何性质得，所以的纵坐标为， 又因为M是抛物线上的一点，所以，所以， 所以，或. 13. 若直线是曲线在处的切线，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线斜率、切点在曲线上及切点在切线上列方程求解. 【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有 切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 14. 某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第n颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差．若要求前m颗入轨卫星的总偏差不超过1200，则正整数m的最大值为______________． 【答案】69 【解析】 【分析】先归纳得数列的通项，再求出当为偶数时数列的前项，结合题设条件可求的最大值. 【详解】由题意得，，，， ，，，，． 可以归纳出，当时，若，则； 若，则． 令，． 当为偶数，设， 则 ． 由得，即． 因为，，所以的最大值为34． 此时，． ． ． 当时，，不符合要求，所以的最大值为69． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年是中国航天深空探测的关键一年，某航天勘测团队在月球背面某区域进行地形勘测，测得该区域三个勘测点A，B，C构成三角形，其中A，B两点相距千米，勘测仪器测得，． （1）求边的长度； （2）为进一步精准勘测，团队计划在边的延长线上取一点D，使得，求的长度． 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再用正弦定理求解即可； （2）由正弦定理求，结合为等腰直角三角形、余弦定理求解即可. 【小问1详解】 已知，，则， ，已知， ， 千米 【小问2详解】 ，即， 已知在的延长线上，故， 在中，，故为等腰直角三角形， 由余弦定理：， 代入得， 化简得千米. 16. 某智能温室大棚采用自动控制系统调节遮阳帘．每天系统会根据前一天的日照强度选择“高透光模式”（记为状态A）或“低透光模式”（记为状态B）．统计表明：若某天为高透光模式，则次日仍保持高透光模式的概率为0.2；若某天为低透光模式，则次日转为高透光模式的概率为0.8．假设第1天系统处于高透光模式．设第n天系统处于高透光模式的概率为． （1）求和的值； （2）求数列的通项公式； （3）为防止作物光照不足，技术人员设置了自动补光机制：若连续两天出现低透光模式，则立即强制启动补光灯．记X为前3天内强制启动补光灯的次数（即连续两天为低透光模式的事件发生次数，若第1、2天为低透光模式，第2、3天也为低透光模式，则计为2次），求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3） 0 1 期望：0.16 【解析】 【分析】（1）分第二天为和进行讨论即可； （2）由全概率求解即可； （3）第一天固定为，枚举所有可能情况即可得分布列，再求期望即可. 【小问1详解】 ，，，， 第2天为高透光模式的概率：， 第3天为高透光模式有两种情况： ①第2天为且第3天为： ①第2天为且第3天为：， 所以. 【小问2详解】 由全概率公式： 构造等比数列：设，展开得， 对比系数：，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 【小问3详解】 X为“连续两天为低透光模式（）”的事件发生次数， 第天固定为，枚举所有可能： ， 0 1 . 17. 已知双曲线的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； （3）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的基本性质求解； （2）设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点坐标，从而得到线段的中垂线方程.令，得到点坐标，再根据列方程求解； （3）假设直线方程，分别与双曲线方程、渐近线方程联立，再结合两点间的距离公式化简求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得 所以双曲线的标准方程： 【小问2详解】 设直线方程 与双曲线方程联立可得 ，，则， 则中点，直线， 所以直线的中垂线斜率为，中垂线方程为： 令，得 又有，则，解得 所以的值为. 【小问3详解】 由（1）知右焦点，渐近线方程： 设直线: 联立可得： 联立得；联立得 所以 所以为定值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). 【小问3详解】 由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 19. 已知函数，，其中，e为自然对数的底数． （1）证明：； （2）若对任意恒成立，求实数a的值； （3）设数列满足，数列满足，证明：对任意成立，并求使得成立的最小正整数n． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）证明见解析，最小正整数. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性再求解 （2）先用表示的最小值，再求的取值集合； （3）分析先放缩证明，再说明即可 【小问1详解】 证明：由，得，令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 因此对任意，有. 【小问2详解】 由，得， 当时，，在上单调递增，又，所以当时，，不符合题意； 当时，令，得，在上小于0，在上大于0， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 设，则，令，得，在上大于0，在上小于0， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由恒成立得，故，即. 【小问3详解】 由（2）知，令，得， 于是 ， 故对任意成立，取，得，所以最小正整数， 又对任意成立，所以对任意成立， 所以 对任意成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知等差数列与正项等比数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（ ） A. 450 B. 475 C. 500 D. 525 6. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为80，且最大值在第与项取得，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，且，若，椭圆C的离心率为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 如图，在长方体中，P为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 若底面为正方形，则过点P有且只有一条直线与，所成的角均为 D. 若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是 11. 已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B. 圆O与圆的公共弦长为 C. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 13. 若直线是曲线在处的切线，则______________． 14. 某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第n颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差．若要求前m颗入轨卫星的总偏差不超过1200，则正整数m的最大值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年是中国航天深空探测的关键一年，某航天勘测团队在月球背面某区域进行地形勘测，测得该区域三个勘测点A，B，C构成三角形，其中A，B两点相距千米，勘测仪器测得，． （1）求边的长度； （2）为进一步精准勘测，团队计划在边的延长线上取一点D，使得，求的长度． 16. 某智能温室大棚采用自动控制系统调节遮阳帘．每天系统会根据前一天的日照强度选择“高透光模式”（记为状态A）或“低透光模式”（记为状态B）．统计表明：若某天为高透光模式，则次日仍保持高透光模式的概率为0.2；若某天为低透光模式，则次日转为高透光模式的概率为0.8．假设第1天系统处于高透光模式．设第n天系统处于高透光模式的概率为． （1）求和的值； （2）求数列的通项公式； （3）为防止作物光照不足，技术人员设置了自动补光机制：若连续两天出现低透光模式，则立即强制启动补光灯．记X为前3天内强制启动补光灯的次数（即连续两天为低透光模式的事件发生次数，若第1、2天为低透光模式，第2、3天也为低透光模式，则计为2次），求X的分布列和数学期望． 17. 已知双曲线的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； （3）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 19. 已知函数，，其中，e为自然对数的底数． （1）证明：； （2）若对任意恒成立，求实数a的值； （3）设数列满足，数列满足，证明：对任意成立，并求使得成立的最小正整数n． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $