第十七章 勾股定理（能力提升） 2024～2025学年 人教版八年级数学 下册

八年级数学下册新课标测试 第七章 勾股定理(能力提升) 题号 一 二 三 总分 得分 测试时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________ 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的) 1.(2024安徽合肥中科大附中期末，3，☆☆☆)下列各组数中，组成勾股数的是 ( ) A.0.6,0.8,1 B.,, C.8,15,17 D.4,5,6 2.(2024四川绵阳安州月考，3，☆☆☆)在平面直角坐标系中，点P(3,2)到原点的距离是 ( ) A.1 B. C. D. 3.(2024辽宁鞍山月考，5，☆☆☆)下列命题中，其逆命题不成立的是 ( ) A.若两个数的差为正数，则这两个数都为正数 B.等腰三角形的两个底角相等 C.若ab＝1,则a与b互为倒数 D.若|a|＝|b|,则a2＝b2 4.将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，∠BCO＝∠AOB＝90°，∠A＝45°，BC＝3,OC＝3,则AB的长为 ( ) 第4题图 A.6 B.6 C.6 D.6 5.(☆☆☆)勾股定理与黄金分割并称几何学中的两大瑰宝.勾股定理的发现可以称为数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法.在利用如图①所示的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，通过有关面积的等量关系可以证明勾股定理的有 ( ) 第5题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(2023河南焦作一中期末，6，☆☆☆)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点都在正方形网格的格点上，则AB的长可能是 ( ) A. B. C. D. 第6题图 第7题图 7.【学科素养·应用意识】(☆☆☆)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P相距30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达在灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为 ( ) A.60海里 B.30海里 C.20海里 D.45海里 8.(2024山东济宁期中改编，6，☆☆☆)△ABC的三边长分别为α，b,c.下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②a:b:c＝5:12:13；③∠A:∠B:∠C＝3:4:5；④a＝,b＝,c＝.其中能判定△ABC是直角三角形的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.跨体育与健康滑雪(☆☆☆)雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等.如图，某滑雪运动员沿着BC:AC＝5:12的雪道AB从B滑至A,滑了65m,则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度BC为 ( ) 第9题图 A. 13 m B. 25 m C. D. 156 m 10.【新考向·规律探究试题】(2024山东德州乐陵期末，11，☆☆☆)如图，为等腰直角三角形,以为直角边作等腰直角三角形,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,按此规律作下去，则OAn的长度为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.(2024广东广州二模，13，☆☆☆)“全等三角形的面积相等”的逆命题是____________________________,该逆命题是_______(填“真”或“假”)命题. 12.(☆☆☆)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,点A,B,C在格点上，连接AB,BC,则∠ABC＝______________。 第12题图 第13题图 第14题图 13.(2023广东中山模拟改编，13，☆☆☆)攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目.如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为____米. 14. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,若b－a＝4,c＝20,则每个直角三角形的面积为___________。 15.(2024山东滨州邹平期末，13，☆☆☆)如图，小张在投篮训练时把球投到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离BC＝米,头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为_______米. 第15题图 16.(2024广东深圳外国语学校月考，15，☆☆☆)如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A,B,C,D都在小正方形的顶点上，则以AB,CD,EF＝2为边的三角形的面积为_______。 第16题图 第18题图 17.(☆☆☆)在△ABC中，AB＝15,AC＝13,BC边上的高AD＝12,则边BC的长是_______. 18.(☆☆☆)把两个含45°角的同样大小的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB＝2,则CD＝_______。 三、解答题(本大题共6小题，共66分)含评分细则 19.(2024湖南永州期末，22，☆☆☆)(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝2,BC＝2,CD＝1,AD＝5,且∠C＝90°. (1)求证：△ABD是直角三角形. (2)求四边形ABCD的面积. 第19题图 20.(2023山东枣庄育才中学月考，21，☆☆☆)(10分)如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E,连接CE. (1)求证 (2)若AC＝6,BD＝5,求△ACE的周长. 第20题图 21.(2024安徽宣城期中，19，☆☆☆)(10分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形. (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，. (3)如图③，A,B,C是边长为1的小正方形的顶点，求∠ABC的度数. 第21题图 22.(2023山东枣庄月考，18，☆☆☆)(10分)如图，地面上放着一个小凳子(AB与地面平行)，点A到墙面(墙面与地面垂直)的距离为40cm.在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm. (1)求小凳子的高度. (2)在图②中，另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处.若OC＝90cm,木杆BC比凳宽AB长60cm,求小凳子的宽AB和木杆BC的长度. 第22题图 23.【学科素养·几何直观】(☆☆☆)(12分)如图，有一张直角三角形纸片ABC,已知∠C＝90°，AC＝8,BC＝6.将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D,与边AB交于点E. (1)求△ABC的面积. (2)求AB的长. (3)求折痕DE的长. 第23题图 24.【新考向·新定义试题】(2023山东济宁期中，22，☆☆☆)(14分)在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话： 小梦：“如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2＝2c2,那么我们称这个三角形为‘类勾股三角形’，例如△ABC的三边长分别是,和2，因为，所以△ABC是‘类勾股三角形’.” 小璐：“那等边三角形一定是‘类勾股三角形’！” 根据对话回答问题： (1)小璐的说法_______.(填“正确”或“错误”) (2)已知△ABC中两边长分别为1，7，若△ABC为“类勾股三角形”，则第三条边长为_______。 (3)如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x,y,z(x,y为直角边长且x<y,z为斜边长)，用只含有x的式子表示其周长和面积. 【参考答案及解析】 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A C C B B C B B 1.C 由题意知，A、B选项中不都是正整数，不能组成勾股数，故不符合要求；C选项中82+152＝289＝172，能组成勾股数，故符合要求；D选项中42+52＝41≠36＝62，不能组成勾股数，故不符合要求.故选 C. 【方法解读】判断勾股数的步骤 (1)确定三个数是不是正整数，若不是，则不是勾股数； (2)确定出最大数与另外两个较小的数，计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和；(3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是. 2.B 在平面直角坐标系中，点P(3,2)到原点的距离＝，故选B. 3.A A.逆命题为“若两个数都是正数，则这两个数的差为正数”，不成立，符合题意； B.逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，成立，不符合题意； C.逆命题为“若a与b互为倒数，则ab＝1”,成立，不符合题意； D.逆命题为“若a2＝b2,则|a|＝|b|”,成立，不符合题意.故选A. 4.C 在Rt△BCO中，∠BCO＝90°，BC＝3,OC＝3， ∴ 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∴OA＝OB＝6, 故选C. 5.C 在题图②中，无法用面积的等量关系证明勾股定理；在题图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即,化简得a2+b2＝c2；在题图④中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即,化简得a2+b2＝c2；在题图⑤中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即(a+b)2＝c2+ab×4,化简得a2+b2＝c2.综上，可以证明勾股定理的是③④⑤，共3个.故选C. 6.B 如图， 或或或或或AB＝或AB＝1或AB＝2或AB＝3.故选B. 7.B 由题图得，∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60(海里)，则B处与灯塔P之间的距离为BP＝(海里)，故选B. 8.C ①∵∠A＝∠B－∠C,∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形； ②由a:b:c＝5:12:13可得a2+b2＝c2,故△ABC是直角三角形； ③∵∠A:∠B:∠C＝3:4:5, ∴最大角 故△ABC不是直角三角形； ④ ∴△ABC不是直角三角形.故选 C. 【方法解读】判定三角形为直角三角形的方法 (1)用角判断： ①有一个角是90°的三角形是直角三角形； ②两个锐角互余的三角形是直角三角形. (2)用边判断(勾股定理的逆定理)： 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形. (3)用形判断： ①如果△ABC 与另一直角三角形 DEF全等，那么△ABC一定是直角三角形； ②如果△ABC是等腰三角形且已知底边上中线或顶角的平分线，那么至少存在两个直角三角形. 9.B 由题意得，AB＝65m,BC⊥AC于C,∵BC:AC＝5:12,∴设BC＝5am,则AC＝12am,由勾股定理可得AB＝m,∴13a＝65,解得a＝5,∴BC＝5a＝25m,故选B. 10.B ∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1,∴A2A1＝OA1＝1,∴OA2＝ ∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴ ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∵△OA4A3为等腰直角三角形， ...... ∴OAn的长度为故选B. 11.【答案】：两个面积相等的三角形是全等三角形；假 12.【答案】：45° 【解析】：如图，连接AC, 由勾股定理得AB＝AC＝2，∴BC2＝AC2+AB2, ∴△ABC 是直角三角形，∵AB＝AC,∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°. 13.【答案】：10 【解析】：如图，连接AB, 则AB＝＝10(米).故【答案】为10. 14.【答案】：96 【解析】：∵a2+b2＝c2,∴a2+b2＝202,∵b－a＝4,∴(b－a)2＝a2+b2－2ab＝202－2ab＝16,∴ab＝192,∴每个直角三角形的面积为ab＝×192＝96,故答案为96. 15.【答案】：3.15 【解析】：如图，过点A作AE⊥CD于E,则CE＝AB＝1.65米，AE＝BC＝米，AD＝3米，在Rt△ADE中，DE＝＝1.5米，∴CD＝CE+DE＝1.65+1.5＝3.15(米).故答案为3.15. 16.【答案】：2 【解析】：由题图可得，AB2＝42+22＝20,CD2＝22+22＝8, ∵， ∴CD2+EF2＝8+12＝20＝AB2, ∴以AB,CD,EF三条线段为边的三角形是直角三角形，且 CD,EF为直角边，其面积为 17.【答案】：14或4 【解析】：如图1，在△ABC中，AB＝15,AC＝13,BC边上的高AD＝12,∴BD＝＝＝9，CD＝＝＝5，∴BC＝BD+DC＝14； 如图2，在 Rt△ABD中，AB＝15,AD＝12, ∴ 在Rt△ACD中，由勾股定理得 ∴BC＝BD－CD＝9－5＝4. 综上所述，BC的长为14或4. 【易错警示】 易受固定思维的影响，想当然地认为△ABC是锐角三角形，导致漏解.为了防止出错，可先画出草图，标出条件，再求解. 18.【答案】：－ 【解析】：如图，过点A作AF⊥BC于F, 在Rt△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC, ∴，∴AD＝BC＝2， ∵AF⊥BC,∠B＝45°, 在 Rt△ADF中，根据勾股定理得 ∴CD＝BF+DF－BC＝ 19.【解析】：(1)证明：在Rt△BCD中， ∵∠C＝90°，BC＝2,CD＝1, ∴由勾股定理得……(3分) 在△ABD中，AB＝2，BD＝，AD＝5, ∴ 由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°......................(6分) (2)(10分) 20.【解析】：(1)证明：∵D是斜边BC的中点，DE⊥BC, ∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE. 在 Rt△ACE中，由勾股定理得 CE2＝AC2+AE2, ∴BE2＝AC2+AE2,即 BE2－AE2＝AC2.……(5分) (2)∵D是斜边BC的中点，BD＝5,∴BC＝2BD＝10. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB＝ ＝∴AB＝BE+AE＝8. 又∵BE＝CE,∴CE+AE＝8, ∴△ACE的周长为CE+AE+AC＝8+6＝14. ……·(10分) 21.【解析】：(1)【答案】不唯一，所画正方形如图1所示. .....................(3分) (2)【答案】不唯一，所画三角形如图2所示. .......................(6分) (3)连接AC,如图3所示， 图3 由勾股定理得， ∴AC2+BC2＝5+5＝10＝AB2, ∴△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°. ......................(10分) 22.【解析】：(1)如图1，过A作AM垂直于墙面，垂足为M, 根据题意可得，AM＝40 cm,OA＝50 cm. 在 Rt△AOM中(cm), 即小凳子的高度为30 cm.……..........(5分) (2)如图2，延长BA交墙面于点N,易知∠BNC＝90°，AN＝40cm,设AB＝xcm,则BC＝(x+60)cm,BN＝(x+40)cm,CN＝90－30＝60(cm),在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2,即(x+40)2+602＝(x+60)2,解得x＝40,则BC＝60+40＝100(cm).故小凳子的宽AB为40cm,木杆BC的长度为100cm. ..............(10分) 23.【解析】：(1)∵△ABC是直角三角形，AC＝8,BC＝6, (4分) (2)∵△ABC是直角三角形，AC＝8,BC＝6, ........(8分) (3)由折叠知△ADE≌△BDE, ∴AE＝BE＝AB＝5,AD＝BD,∠AED＝∠BED＝90°, 设CD＝x,则AD＝BD＝8－x, 在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2,即(8－x)2＝x2+36, 解得 在 Rt△BDE中…………(12分) 24.【解析】：(1)设等边三角形的三边长分别是a,b,c,则a＝b＝c,∴a2+b2＝2c2,∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确.故答案为正确.…………(4分) (2)设第三条边长为m, ①,解得m＝2(负值舍去)，此时三条边长分别为1，,2，可构成三角形，符合题意； ②，解得m＝(负值舍去)，此时三条边长分别为1，，，可构成三角形，符合题意； ③，方程无解. 故答案为2或..........(9分) (3)∵Rt△ABC是“类勾股三角形”，x,y为直角边长且x<y,z为斜边长，∴x2+z2＝2y2, ∵x2+y2＝z2,∴x2+x2+y2＝2y2,即2x2＝y2, ∴y＝x,z2＝3x2,∴z＝x, ∴Rt△ABC 的周长为x+y+z＝(1++)x, Rt△ABC的面积为……(14分) 学科网（北京）股份有限公司 $$