辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团八年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 2.如下表，若田径场的位置可以表示为A1区，则办公楼的位置可以表示为(    ) 序号 1 2 3 4 A 田径场 喷泉 教学楼 实验楼 B 篮球场 办公楼 食堂 宿舍楼 A. B2区 B. B3区 C. A2区 D. A3区 3.如图，数轴上点P表示的数可能是(    ) A. B. C. D. 4.如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是(    ) A. B. C. D. 5.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为(    ) A. B. 3 C. D. 6.如图，在中，，分别以AB，BC为边在外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在外侧作，，若，，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 7.下列四个命题中，真命题是(    ) A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 如果，那么 C. 三角形的一个外角大于任何一个内角 D. 的平方根是 8.小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制成如图所示的条形统计图，下列结论错误的是(    ) A. 中位数是80次 B. 平均数是79次 C. 众数是5次 D. 10分钟内心跳总次数是790 9.如图，中，，，AD平分交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为(    ) A. B. C. D. 10.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.化简：______. 12.已知等腰三角形的一个内角为，则等腰三角形的底角的度数为______度. 13.定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为______. 14.如图，在中，，，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线AF，则的度数是______度. 15.在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边AB于点M，交边BC于点N，如果是直角三角形，那么的面积是______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算：； 解方程组： 17.本小题8分 小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：50米跑试测成绩单位：分依次是 85 80 95 85 95 90 95 95 95 100 信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次. 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50米跑成绩分 95 a 立定跳远成绩分 b 90 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______，______； 为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由. 18.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， 作出关于x轴对称的并直接写出点坐标为______； 在x轴上作一点P，使点P到A，B两点的距离和最小，并直接写出点P的坐标______. 19.本小题8分 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮.利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度=温水的体积温水升高的温度.” 王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为 ①王老师的水杯容量为______ ml； ②接入水杯的温水吸收的热量为______用含t的代数式表示 嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为的水不计热损失，求嘉琪同学的接水时间列二元一次方程组解决问题 20.本小题8分 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休”.某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析. 【提出问题】已知，求的最小值. 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题. 【解决问题】 如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点.设，则则______+______的线段和； 在的条件下，已知，直接写出的最小值为______； 【应用拓展】直接写出的最小值为______. 21.本小题9分 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， 列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，______，______. 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象. 研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______；填“>”，“=”或“<”； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为______；注：直线为经过且垂直x轴的直线 ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值注：直线为经过且垂直y轴的直线 22.本小题12分 定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形. 如图1，四边形ABCD，，AC平分，则四边形ABCD为余缺四边形. 【概念理解】 用______填序号可以拼成余缺四边形. ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 如图1，余缺四边形ABCD，AC平分，若，，则______； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB， 求证：四边形ABPC为余缺四边形； 若，，则的值为______. 23.本小题12分 已知点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上. 如图1，若，直接写出的形状为______； 如图2，在的条件下，点M在线段BO上，作，过点C作交AN于点P，求证：且； 如图3，若，且，点Q为第二象限内一点，且，，直接写出线段QC的长为______. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：是无限循环小数，，是整数，是分数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选： 无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：在上表中，田径场的位置可以表示为A1区， 办公楼的位置可以表示为B2区， 故选： 根据田径场的位置在第一行第一列，可以表示为A1区，即可得出办公楼的位置． 此题考查了坐标确定位置，熟练掌握坐标确定位置是解答本题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：点P表示的点在与之间，整数部分应该是， 只有选项D符合要求． 故选： 利用实数与数轴的关系解答． 本题考查了实数与数轴，无理数的估算，解题的关键是掌握实数与数轴的关系，无理数的估算． 4.【答案】B  【解析】解：由，不能判断直线， 故A不符合题意； ， 直线， 故B符合题意； 由，不能判断直线， 故C不符合题意； 由，不能判断直线， 故D不符合题意； 故选： 根据平行线的判定定理判断求解即可． 此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选： 直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中运用勾股定理． 6.【答案】C  【解析】解：在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 分别以AB，BC为边在外侧作正方形ABDE和正方形BCFG， 正方形AEDB的面积+正方形BGFC的面积， 又， 图中阴影部分的面积， 故选： 在中，由勾股定理得出的值，再结合勾股定理以及正方形的面积公式即可推出结果． 本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、如果，那么或，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、的平方根是，是真命题，符合题意； 故选： 根据平行线的性质、实数的平方、三角形的外角性质、平方根的概念判断即可． 本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8.【答案】C  【解析】解：将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80，所以中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意； B.平均数为次，故本选项结论正确，不符合题意； C.在这10个数据中，80出现的次数最多，共5次，所以众数是80次，故本选项结论错误，符合题意； D.因为次，所以10分钟内心跳总次数为次，故本选项结论正确，不符合题意； 故选： 中位数是将一组数据由小到大由大到小排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．根据算术平均数的定义，中位数的定义和众数的定义分别求解即可． 本题考查了求一组数据的算术平均数，中位数和众数，掌握算术平均数，中位数和众数的定义是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：连接CE， ， 为等腰三角形， 平分， ， 由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为 故选： 连接CE，由题意得为等腰三角形，则可得，，由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，可得设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出x的值，进而可得答案． 本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：共买了一千个苦果和甜果， ； 共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， 可列方程组为 故选： 利用总价=单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11.【答案】45  【解析】解：， 故答案为： 根据算术平方根的定义计算即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 12.【答案】20  【解析】解：的角只能是等腰三角形的顶角， 等腰三角形的两个底角相等， 等腰三角形的底角度数 故答案为： 由等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理即可求出等腰三角形的底角度数． 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 13.【答案】3  【解析】解：根据题意，特征数为的一次函数表达式为： 因为此一次函数为正比例函数， 所以且， 解得： 故答案为： 根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值． 此题考查正比例函数的定义，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 14.【答案】10  【解析】解：由三角形内角和得， 由尺规作图知，AF平分， ； 是高， ， ， 故答案为： 由三角形内角和求得的度数，由角平分线可求得的度数；由高及三角形内角和可求得的度数，则由即可求解． 本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．熟练掌握以上知识点是关键． 15.【答案】4或  【解析】解：当时，如图1： ，，， ， 将折叠，使点B与点A重合， ， 的面积是； 当时，过A作于H，如图2： ，，， ， 设，则， 将折叠，使点B与点A重合， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 的面积是； 故答案为：4或 分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点B与点A重合，可得，即得的面积4；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是 本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出BC边上的高． 16.【答案】解： ； ， ①+②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 原方程组的解为：  【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； 利用加减消元法进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】10  95  90  【解析】解：由题意可知，50米跑成绩的众数， 立定跳远成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次，则95分与100分各出现2次，故，解得， 立定跳远成绩的中位数， 故答案为：10，95， 小明应该选择50米跑，因为立定跳远和50米跑的平均数相同，但50米跑的众数，中位数大于立定跳远的众数，中位数，所以小明应该选择50米跑． 根据众数，中位数的定义即可得到结论，根据扇形统计图求出m的值； 根据统计数据进行解答即可． 本题考查了折线统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数，方差，正确的理解题意是解题的关键． 18.【答案】    【解析】解：如图，即为所求． 由图可得，点坐标为 故答案为： 如图，连接，交x轴于点P，连接BP， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 由图可得，点P的坐标为 故答案为： 根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 连接，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 19.【答案】400    【解析】解：①， 王老师的水杯容量为400ml； 故答案为：400； ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 故答案为：； 设嘉琪接温水的时间为x s，接开水的时间为y s， 根据题意得：， 解得：， ， 嘉琪同学的接水时间为 ①由题意列式计算即可；②由题意列出代数式即可； 设嘉琪接温水的时间为x s，接开水的时间为y s，根据嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为的水，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20.【答案】AP  DP   5  【解析】解：由勾股定理可得，，， ； 故答案为：AP，DP； 作A关于直线BC的对称点，连接，连接交BC于，如图： 由A，关于直线BC对称可得，， ， 根据两点之间线段最短可知，当P与重合时，最短， ， ， ， 当时，的最小值为； 故答案为：； ， 可看作直角坐标系中，点到两点和的距离之和， 如图： 由图可知，当点为以点，点为端点的线段与x轴的交点时，点到两点和的距离之和最小， 的最小值为5； 故答案为： 观察图形，根据勾股定理可得答案； 作A关于直线BC的对称点，连接，连接交BC于，可得，，根据两点之间线段最短可知，当P与重合时，最短，再用勾股定理可得答案； 把变形为，可知可看作直角坐标系中，点到两点和的距离之和，构造图形，根据两点间距离公式可得答案． 本题考查四边形综合应用，涉及勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握“将军饮马“问题的解决方法． 21.【答案】，0； 如答图所示： ①<，<； ②； ③根据题意可得，由，得；，得或， 得， ， ， ， 解得  【解析】解：， 把代入中，得， 即； ， 把代入中，得， 即 故答案为：，0； 如答图所示： ①代入中，得； 把代入中，得 ； 由中图象可知，当时，或或， 当时， 故答案为：<，<； ②根据题意可得，点，关于直线对称， ， 故答案为：； ③根据题意可得，由，得；，得或， 得， ， ， ， 解得 根据自变量x的不同取值范围分别代入相应函数解析式中即可求解． 描点，连线画出函数图象即可． ①将，分别代入，中可比较，的大小；由中图象可知，大小． ②根据题意点，关于直线对称，即可得出； ③将分别代入分段函数中，求得点M，点N，点K的横坐标，再表示出MN，NK的长度，抓住，列出方程求解即可． 本题是两条直线相交或平行问题，考查了分段函数的函数值求法及其图象画法，一次函数图象上点的坐标特征，方程思想的运用，难度不大． 22.【答案】①   45  【解析】解：把两个直角三角形的斜边拼在一起，对应锐角的顶点重合，可以得到余缺四边形； 将两个等边三角形拼在一起，无论怎样拼接，拼成后的四边形对角都不会互补，即不能得到余缺四边形； 故答案为：①； 解：过C作交AB延长线于M，于N，如图： 平分，，， ， ； 故答案为：； ①证明：过P作交AC延长线于T，于K，如图： 平分，，， ， 在BC垂直平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， 平分， 四边形ABPC为余缺四边形； ②解：由①知，， ， ，，， ≌， ， 设， ，， ，， 由得， 解得， ，， ，， ； 故答案为： 根据新定义可知，把两个直角三角形的斜边拼在一起可以得到余缺四边形；而将两个等边三角形拼在一起，四边形对角不会互补，即不能得到余缺四边形，即可得答案； 过C作交AB延长线于M，于N，根据AC平分，，，知，故； ①过P作交AC延长线于T，于K，证明，可得，即可得，又AP平分，故四边形ABPC为余缺四边形； ②由①可得，再证明≌，有，设，得，解得，求出，，再用勾股定理即可得到答案． 本题考查四边形综合应用，涉及新定义，全等三角形判定与性质，角平分线的性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 23.【答案】等腰直角三角形    【解析】解：，则和均为等腰直角三角形， 则即为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 证明：，， ， 则点A、M、P、C四点共圆， 则， 则， ， 则为等腰直角三角形， 即且； 解：由图象的对称性知，， 则， 作于点M，则，则， 则， 延长AQ交BC于点N， ， ， ∽， 则AN：：：BM，即AN：：：7， 解得：，， 则，， 设，则， 则，即， 解得：，则， 则，， 则 故答案为： ，则和均为等腰直角三角形，即可求解； 证明点A、M、P、C四点共圆，即可求解； 证明∽，则AN：：：BM，即AN：：：7，解得：，，进而求解． 本题为三角形综合题，涉及到三角形相似、圆的基本性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用等，构建三角形相似是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$