真题解构与重构 立体几何 讲义-2025届高三数学一轮复习

真题解构与重构 立体几何 立体几何是研究现实世界中物体形状、大小与位置关系的学科，在高中数学教学中是十分重要的教学内容.每年的高考试题中，经常出现两小一大的类型，即选填2题，解答1题.考试的知识基本涉及立体几何的全部教学内容，运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认知和探索空间图形的性质，体现空间想象、逻辑推理与数学运算等核心素养.通常利用转化与化归思想及数形结合思想解决空间元素之间的关系，很多方面的论证都是以初中平面几何的知识为基础进行的.下面以2023年新课标Ⅱ卷第20题为例进行解构与重构，对高考立体几何的复习有明显的导向作用. ［真题呈现］ [2023· 新课标Ⅱ卷]（12分）如图，三棱锥中，，, ，为的中点. （1） 证明：; [答案] ［规范解答］证明：方法一：如图，连接，， 因为，且 为 的中点，所以［1分］ 因为 ，，， 所以. 可得，故［3分］ 因为,, 平面，所以 平面［4分］① ［关键步骤］ ①利用线面垂直的性质定理，把证明线线垂直转化为证明线面垂直 又 平面 ，所以［5分］ 方法二：由已知得,,两边同乘，得 .［3分］② ②把证明线线垂直转化为证明向量数量积为0，向量的分解是捷径 设 ,因为 , 所以, 所以［5分］ （2） 点满足，求二面角的正弦值. [答案] 由（1）知，，. 不妨设 ，因为 ，所以. 由题可知 为等腰直角三角形，故.［6分］ 因为 ，所以 . 在 中， , 所以 ，所以,,两两垂直.③ ③寻找三条两两垂直的直线是建立空间直角坐标系的关键 所以以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则,,,,,. 设 ，因为 ，所以 ，可得 .所以 ［8分］ 设平面的法向量为, 则 即 取，则,.④ ④找到平面的法向量是坐标法求解二面角的关键 设平面的法向量为, 则即得，取, 则,［10分］④ 所以,.［11分］⑤ ⑤将二面角问题转化为法向量的夹角求解,注意二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补 记二面角的大小为， 则,, 故二面角 的正弦值为.［12分］ ［真题分析］试题主要考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法.通过空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化与化归思想和数形结合思想.试题源于教材人教A版选择性必修第一册例2，试题呈现对称和谐之美，是立体几何真题中的精品试题. ［真题解构］ 解构1 “空间角平分线”的基本性质与垂直关系 如图，，，是空间不共面的三条直线，在平面内的射影为.若.求证： （1） 平分； 证明：如图,过点 分别作，垂足为. ，垂足为.连接 与，在 与 中，因为，， 所以, 所以，. 又因为 平面， 平面，所以. 又，， 平面， 所以 平面，又 平面， 所以. 同理,易知. 所以,即 平分. （2） ; [答案] 由（1）知，. . 所以.（此结论用于求异面直线所成的角或直线与平面所成的角时较简捷） （3） 若，则. [答案] 如图，设平面，连接. 由（1）知,又，所以 为 的中点，即. 又因为 平面， 平面，所以. 由于，， 平面， 所以 平面. 又 平面，所以. 评注 在（3）的证明中，用基底法更为简捷，如下： 取基底,,, . 因为，所以 . 所以，即. 解构2 线线垂直与线面垂直 如图，三棱锥中，,, .求证：平面 平面. 证明：设 为 的中点，连接 与，设. 由于, ， 所以. 又， 所以， 则,且， 即,故. 因此. 所以. 又，为 的中点，所以. 又，， 平面， 所以 平面. 又 平面，所以平面 平面. 解构3 试题中垂直关系的递进 如图，在三棱锥中，，， ，为的中点.若点满足.求证： （1）； （2）. 证明：方法一：（1）由解构2知，，，，， 平面， 所以 平面. 又 平面，所以. 又因为，所以四边形 是平行四边形，所以. 因此. （2）设,由（1）知四边形 是平行四边形，所以. 由解构2知,, . 在 中，由余弦定理得 . 由,，，, 平面，知 平面，又 平面，所以. 所以在 中，,所以在 中，,所以. 方法二：设,,,以{,,}为基底，由题意知,,, ,, . （1）由于,所以,. 所以 ， 所以,即. （2） . 所以 . 所以,即. 解构4 如图，在三棱锥中，，， ，求二面角的余弦值. 解：方法一：由解构2知，平面 平面. 取 的中点，过 作，垂足为，连接,. 由解构3知 平面. 又, 平面， 所以,. 又，， 平面， 所以 平面. 又， 平面， 所以，， 则 即为二面角 的平面角. 设, 又 ,,所以,,所以,, , 所以, 故二面角 的余弦值为. 方法二：取 的中点，连接，，由解构2知，，，两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则,,,,. 设平面 的法向量为, 则 即 取,则,,所以. 又平面 的一个法向量为. 所以,. 由图易知二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为. 评注 解构4与原题（2）问的关系 由解构3知平面 平面. 因此二面角的平面角 等于 与二面角的平面角 的和，即 ，所以.即真题（2）问中的二面角的正弦值为. ［真题重构］ 真题呈现点、线、面、体关系的和谐优美，将其关系与度量进行重构，是复习立体几何行之有效的方法. 重构1 如图，在三棱锥中，，， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设 的中点为，由已知得 与 是全等的等腰直角三角形，故点 到三棱锥 的四个顶点的距离都等于,即三棱锥 外接球的半径.所以三棱锥外接球的表面积 .故选. 重构2 在重构1中，条件不变，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.方法一：设 的中点为，则在如图所示的空间直角坐标系中， ,0,,,,,,0,,,,,，，，，，，,， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为. 方法二：设,,, 且,,, ，, , 则,设异面直线 与 所成角为 ，,. 所以异面直线 与 所成角的余弦值为. 方法三： 由题意将底面补成正方形，连接，则 即为 与 所成的角，由解构2知，是 的垂直平分线，所以,所以 ，即 与 所成角的余弦值为. 重构3 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形， ，，.点为棱的中点，点为棱上一点，且，平面 平面. 求证： （1） 平面； 证明：由条件易得， ，在 中，由余弦定理得，解得，在 中， ，由余弦定理得， 解得，所以，则 ，所以. 又平面 平面，且平面 平面， 平面，所以 平面. （2） 平面. [答案] 由（1）可知.取棱 的中点，连接，， 因为 为棱 的中点，所以，且.又，， 所以，且，所以四边形 为平行四边形，所以. 又 平面， 平面， 所以 平面. 重构4 如图，在四棱锥中， 平面，,，且,,. （1） 求证：; 解：证明：由题易知四边形 是直角梯形，因为,, 所以,,则，所以 是等腰直角三角形，且. 因为 平面， 平面，所以，又，， 平面，所以 平面， 又 平面，所以. （2） 若点在线段上，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积. [答案] 过点 作 于点，以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,,， 取平面 的一个法向量为 设,则,, 设平面 的法向量为, 则 即 令，可得,,则, 所以,，即, 解得. 故. 重构5 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，，，. （1） 证明：平面 平面； 解：证明： 如图，连接， 因为四边形 为菱形，所以，，， 在 和 中，，，， 所以，所以，所以，因为，， 平面，所以 平面， 因为 平面，所以平面 平面. （2） 若与平面所成角为 ，求二面角的余弦值. [答案] 如图，在平面 内，过点 作 的垂线，交 于点，由（1）可知，平面 平面，又平面 平面，所以 平面， 所以直线，，两两垂直，以 为坐标原点， 直线,,分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易得 为 与平面 所成的角，所以 ， 则，， ,0,， ,0,，，,,，,1,. 设平面 的法向量为, 则 即 取，则,，可得平面 的一个法向量为, 同理可得平面 的一个法向量为, 所以,， 由图易知二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 真题解构与重构 立体几何 立体几何是研究现实世界中物体形状、大小与位置关系的学科，在高中数学教学中是十分重要的教学内容.每年的高考试题中，经常出现两小一大的类型，即选填2题，解答1题.考试的知识基本涉及立体几何的全部教学内容，运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认知和探索空间图形的性质，体现空间想象、逻辑推理与数学运算等核心素养.通常利用转化与化归思想及数形结合思想解决空间元素之间的关系，很多方面的论证都是以初中平面几何的知识为基础进行的.下面以2023年新课标Ⅱ卷第20题为例进行解构与重构，对高考立体几何的复习有明显的导向作用. ［真题呈现］ [2023· 新课标Ⅱ卷]（12分）如图，三棱锥中，，, ，为的中点. （1） 证明：; （2） 点满足，求二面角的正弦值. ［真题解构］ 解构1 “空间角平分线”的基本性质与垂直关系 如图，，，是空间不共面的三条直线，在平面内的射影为.若.求证： （1） 平分； （2） ; （3） 若，则. 解构2 线线垂直与线面垂直 如图，三棱锥中，,, .求证：平面 平面. 解构3 试题中垂直关系的递进 如图，在三棱锥中，，， ，为的中点.若点满足.求证： （1）； （2）. 解构4 如图，在三棱锥中，，， ，求二面角的余弦值. 重构1 如图，在三棱锥中，，， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 重构2 在重构1中，条件不变，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 重构3 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形， ，，.点为棱的中点，点为棱上一点，且，平面 平面. 求证： （1） 平面； （2） 平面. 重构4 如图，在四棱锥中， 平面，,，且,,. （1） 求证：; （2） 若点在线段上，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积. 重构5 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，，，. （1） 证明：平面 平面； （2） 若与平面所成角为 ，求二面角的余弦值. 的余弦值为. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$