高考重难突破四 立体几何中的综合问题讲义-2025届高三数学一轮复习

高考重难突破四 立体几何中的综合问题 考点一 翻折问题 例1 [2024·东北三省四市联合模拟]如图，在平面五边形中，是边长为2的等边三角形,,,,将沿翻折，使点翻折到点. （1） 证明：; （2） 若,求直线与平面所成角的正弦值. 解题技法 翻折问题的两个解题策略 对点训练 如图，已知为等边三角形，,分别为边,的中点，把沿折起，使点到达点,平面 平面,若,求直线到平面的距离. 考点二 探索性问题 例2 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且 ，侧面为等边三角形，，如图所示. （1） 求证：； （2） （一题多解）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解题技法 与空间角有关的探索性问题的解题流程 对点训练 [2024·山东菏泽模拟]已知在直三棱柱中，,,为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为 （1） 求证：平面 平面； （2） 在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置;若不存在，请说明理由. 考点三 最值（范围）问题 例3 [2024· 苏北四市调研节选]如图，在四棱锥中，侧面 底面,,且四边形为平行四边形，,,,.点在线段上且满足，试确定实数 的值，使得直线与平面所成的角最大. 解题技法 求最值、范围问题的常用思路 对点训练 如图所示，在等腰直角三角形中，为直角，，，沿把折起，使平面 平面，当四棱锥的体积最大时，的长为 课后达标⇄分级演练 1. 如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上. （1） 当,且点关于轴的对称点为时，求; （2） 当点是线段的中点，点在线段上运动时，求的最小值. 2. 如图1，在等边三角形中，点,分别为边,上的动点且满足,记.将沿翻折到的位置并使得平面 平面,连接,,如图2，点为的中点. （1） 当平面时，求 的值； （2） 试探究：随着 值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值. 3. 如图，四边形为菱形，, ,将沿折起，得到三棱锥，点,分别为和的重心. （1） 证明：平面; （2） 当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 4. [2024·山东济南模拟]如图，在三棱柱中，四边形是菱形，,平面 平面. （1） 证明：； （2） 已知,,平面与平面的交线为.在上是否存在点,使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考重难突破四 立体几何中的综合问题 考点一 翻折问题 例1 [2024·东北三省四市联合模拟]如图，在平面五边形中，是边长为2的等边三角形,,,,将沿翻折，使点翻折到点. （1） 证明：; 【解】证明：如图，在平面五边形 中，取 的中点,连接,， 因为 是边长为2的等边三角形，所以,,故翻折后有, 又,所以,又因为,由余弦定理得，,所以,又,, 平面,所以 平面. 因为,所以,所以 平面,又 平面,所以. （2） 若,求直线与平面所成角的正弦值. [答案] 由（1）得,,所以二面角 的平面角为.由题易得，在 中，,， 由余弦定理的推论得,所以,即二面角 的大小是. 在平面 内作,交 于点,因为 平面,所以,又,所以,,两两垂直，所以以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，由（1）易得，四边形 为矩形，又,,所以,,,,所以,,.设平面 的法向量为,则 即 取,则,,所以平面 的一个法向量为. 设直线 与平面 所成的角为 , 则. 解题技法 翻折问题的两个解题策略 对点训练 如图，已知为等边三角形，,分别为边,的中点，把沿折起，使点到达点,平面 平面,若,求直线到平面的距离. 解：如图，设 的中点为,的中点为,连接,,,则,因为平面 平面,平面 平面, 平面,所以 平面. 因为在 中，点,分别为边,的中点，所以. 因为 平面, 平面,所以 平面, 所以 到平面 的距离等于直线 上任意一点到平面 的距离.又，所以,,两两垂直,所以以点 为坐标原点，,，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,, 所以,.设平面 的法向量为,由 即 得 令,所以平面 的一个法向量为. 因为,设点 到平面 的距离为, 则.因为点 在直线 上， 所以直线 到平面 的距离为. 考点二 探索性问题 例2 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且 ，侧面为等边三角形，，如图所示. （1） 求证：； 【解】证明：由题意知,都是等边三角形，取 的中点，连接，，易得，， 又，, 平面， 可得 平面，又 平面，所以. （2） （一题多解）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 思路一:几何法,假设存在点，作出直线与平面所成的角，主要是寻求平面的垂线，求出,然后在中利用余弦定理求解. 思路二:等体积法,假设存在点，根据，求出点到平面的距离，由直线与平面所成角的余弦值，求出，然后在中利用余弦定理求解. 思路三:向量法,构造三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，假设存在点，利用共线向量定理引入参数，借助直线与平面所成角的计算公式，确定参数. [答案] 方法一（几何法）：假设存在点 符合题意. 由题意及（1）得，，又，所以在 中易得 ， 由（1）得 平面， 又，所以 平面， 因为 平面，所以平面 平面. 作，垂足为，则 平面，且 为 中点， 在 中，易得. 如图，取 中点，连接，，, 所以，又，所以,则四边形 为平行四边形， 则, 因为 平面，所以 平面， 则直线 与平面 所成的角为，且. 由已知， 即， 由，得. 在 中，由余弦定理的推论得,在 中，设，由余弦定理得,即， 即，解得 或， 所以存在点，使得直线 与平面 所成角的余弦值为，此时 或. 方法二（等体积法）：由方法一得 , 作，交 的延长线于点，则 ， 所以. 由（1）得 平面， 平面， 所以，所以 是直角三角形， 设点 到平面 的距离为， 由 得，得，设直线 与平面 所成的角为 ，由已知，所以， 所以，得， 下同方法一. 方法三（向量法）：由方法二知，，如图，以 的中点 为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴，过点 作垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，因此，，，，，，.设平面 的法向量为， 则 即 解得，令，则, 则平面 的一个法向量为， 设存在点，，满足题意， 则， 所以,,， 设直线 与平面 所成的角为 ，已知， 所以, 所以,， 解得 或,所以存在点，使得直线 与平面 所成角的余弦值为，此时 或. 解题技法 与空间角有关的探索性问题的解题流程 对点训练 [2024·山东菏泽模拟]已知在直三棱柱中，,,为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为 （1） 求证：平面 平面； 解：证明：取 的中点，连接，因为 为 的中点，所以，所以四边形 为平行四边形，所以，因为 与底面 所成角的余弦值为，所以 与底面 所成角的余弦值为， 由题意知， 平面，所以 即为 与底面 所成的角，所以，因为,所以，所以， 又，所以 是边长为2的等边三角形，取 的中点，的中点，连接,，则，， 平面，，，两两垂直，以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，，，，，，设平面 的法向量为，平面 的法向量为， 则 即 得，令，得，则平面 的一个法向量为， 即 令，得，，则平面 的一个法向量为， 因为， 所以，所以平面 平面. （2） 在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置;若不存在，请说明理由. [答案] 存在.设，则，, 设平面 的法向量为，则 即 若，则有 则，取，则， 此时,，不符合题意； 所以，令，得，， 则，所以,， 整理得，解得. 所以在线段 上存在一点，使得平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为，此时点 是线段 上靠近 的三等分点. 考点三 最值（范围）问题 例3 [2024· 苏北四市调研节选]如图，在四棱锥中，侧面 底面,,且四边形为平行四边形，,,,.点在线段上且满足，试确定实数 的值，使得直线与平面所成的角最大. 【解】如图，连接,在 中，,,,所以由余弦定理得,所以,所以,即.因为侧面 底面,侧面 底面,, 平面,所以 底面. 又, 底面,所以,. 所以,,两两垂直. 以 为坐标原点,,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,，. 设平面 的法向量为, 由 得 解得,令,则,所以平面 即平面 的一个法向量为. 设,由，得，则 , , ,所以，所以.设直线 与平面 所成的角为 ,则,所以当 时， 的值最大，即当 时，直线 与平面 所成的角最大. 解题技法 求最值、范围问题的常用思路 对点训练 如图所示，在等腰直角三角形中，为直角，，，沿把折起，使平面 平面，当四棱锥的体积最大时，的长为 [解析]由题意可知 是等腰直角三角形，因为平面 平面，,平面 平面， 平面,所以 平面. 设，则，， 四棱锥 的体积，， 令，解得（负值已舍去）， 当 时，， 当 时，, 所以当 时，四棱锥 的体积最大，即 的长为. 课后达标⇄分级演练 1. 如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上. （1） 当,且点关于轴的对称点为时，求; 解：由题意知,,,. 由 得,,故, 所以, 所以. （2） 当点是线段的中点，点在线段上运动时，求的最小值. [答案] 因为点 是线段 的中点，所以,而点 在线段 上运动， 故设点,,则 ,, 所以当 时，取得最小值，最小值为，此时点. 2. 如图1，在等边三角形中，点,分别为边,上的动点且满足,记.将沿翻折到的位置并使得平面 平面,连接,,如图2，点为的中点. （1） 当平面时，求 的值； 解：取 的中点为,连接,, 因为,,所以，. 又,所以,即,,,四点共面， 又 平面, 平面,平面 平面, 所以,即四边形 为平行四边形， 所以,即. （2） 试探究：随着 值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值. [答案] 不改变.取 的中点,连接,因为平面 平面,平面 平面,且, 平面,所以 平面,如图所示建立空间直角坐标系，不妨设,则,,, 所以,, 设平面 的法向量为, 则 即 化简可得 令,得,,则平面 的一个法向量为. 又易得平面 的一个法向量为, 所以,, 即随着 值的变化，二面角 的大小不变. 且,. 所以二面角 的正弦值为. 3. 如图，四边形为菱形，, ,将沿折起，得到三棱锥，点,分别为和的重心. （1） 证明：平面; 解：证明：延长,交 于点,延长,交 于点,连接. 因为点,分别为 和 的重心，所以点,分别为 和 的中点，所以, 又 平面, 平面, 所以 平面. （2） 当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. [答案] 当三棱锥 的体积最大时，点 到底面 的距离最大， 即平面 平面, 连接,因为 和 均为正三角形， 所以,,又平面 平面, 所以 平面,所以，,两两垂直， 以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 则,,,,,所以,,,， 又二面角 即二面角, 设平面 的法向量为, 则 即 取,则,,所以平面 的一个法向量为， 设平面 的法向量为, 则 即 得,取,则,所以平面 的一个法向量为, 所以,, 由图可知二面角 为钝二面角， 所以二面角 的余弦值为. 4. [2024·山东济南模拟]如图，在三棱柱中，四边形是菱形，,平面 平面. （1） 证明：； 解：证明：因为平面 平面,平面 平面,, 平面,所以 平面. 又 平面,所以. 因为四边形 是菱形，所以. 又,, 平面,所以 平面. 又 平面,所以. （2） 已知,,平面与平面的交线为.在上是否存在点,使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由. [答案] 存在.如图，取 的中点,连接,则. 由（1）知， 平面,则,. 以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,. 因为, 平面, 平面, 所以 平面. 因为平面 平面, 平面,所以. 设,则. 设平面 的法向量为,则 即 解得 令,则,所以. 若直线 与平面 所成角的正弦值为，则， 解得 或, 因此，存在点 满足题意，且线段 的长度为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$