第6讲 空间向量的应用讲义-2025届高三数学一轮复习

第6讲 空间向量的应用 课标要求 1.会用向量法证明线面的平行、垂直关系. 2.了解并掌握利用空间向量求空间距离的方法. 3.会用向量法求异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角等各种空间角. 4.体会向量方法在研究立体几何中的作用. 考情分析 高考命题常以空间几何体为载体考查空间位置关系、空间距离与空间角，预计2025年的高考立体几何解答题主要考查空间线面位置关系及空间角的计算，试题难度中档. 理一理 1.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或共线，则称此向量为直线的方向向量. （2）平面的法向量：直线 ，取直线的方向向量,则向量为平面 的法向量. （3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一. 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线，的方向向量分别为， ①   直线的方向向量为，平面 的法向量为 ②   平面 ， 的法向量分别为， ③   3.空间距离 （1）点到直线的距离：如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线上的投影向量，则点到直线的距离. （2）点到平面的距离：如图，已知平面 的法向量为，是平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，则是直线的方向向量，且点到平面 的距离. （3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 4. 空间角的定义 （1） 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的④射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是⑤  ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 .直线与平面所成角的范围：⑥  . （2） 二面角 从一条直线出发的⑦两个半平面所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作⑧垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. （3） 平面与平面的夹角 平面 与平面 相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于⑨  的二面角称为平面 与平面 的夹角. ［提醒］ 二面角与两个平面的夹角的区别与联系：二面角的取值范围是，两个平面的夹角的取值范围是. 5.空间向量与空间角的关系 （1）异面直线所成角 设异面直线，所成的角为 ，其方向向量分别为，，则，. （2）直线与平面所成角 如图所示，设为平面 的斜线,,为的方向向量,为平面 的法向量， 为与 所成的角，则,. （3）平面与平面的夹角 设平面 ， 的法向量分别是，，平面 与平面 的夹角为 ，则，. 第1课时 空间向量的应用（一） 核心考点⇄师生共研 考点一 证明平行、垂直 例1 如图，已知 平面,，，，，，点和分别为和的中点.求证： （1） 平面； 【证明】 因为,为 的中点，所以. 因为 平面，， 所以以 为原点，过 作平行于 的直线为 轴，，所在直线分别为 轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，所以， 所以，， ，，， 则. [答案] ，，. 设平面 的法向量为， 则 即 取 所以 是平面 的一个法向量. 因为，所以. 又 平面,所以 平面. （2） 平面 平面. [答案] 因为 平面， 平面, 所以，又，，, 平面,所以 平面, 所以 为平面 的一个法向量. 同理易证 平面， 所以 为平面 的一个法向量. 因为，所以， 故平面 平面. 解题技法 利用空间向量证明线、面垂直、平行的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； （2）建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； （3）通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； （4）根据运算结果解释相关问题. ［注意］ 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外. 对点训练 在直三棱柱中， ，，，点在线段上，且，，，分别为,，的中点.求证： （1） 平面； 证明：以 为坐标原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，设，则, 所以,,,，，即，. 又，, 平面,因此 平面. （2） 平面平面. [答案] 由题意及（1）知，,,, 则，,,, 即，,又，, 平面,因此 平面. 结合（1）可知平面 平面. 考点二 探究与平行、垂直有关的存在性问题 例2 在直三棱柱中，,,,. （1） 在线段上是否存在点，使得? 【解】在直三棱柱 中，,,,则,,两两垂直.如图，以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则,,,,,,. [答案] 假设在线段 上存在点，使得, 设，其中，则，故. 因为，所以,解得, 所以在线段 上存在点，使得,此时点 与点 重合. （2） 在线段上是否存在点，使得平面? [答案] 假设在线段 上存在点，使得 平面，设，其中， 则，故. 又,平面, 所以存在实数,使 成立， 所以 解得 所以在线段 上存在点，使得 平面，此时点 是线段 的中点. 解题技法 存在问题的两种探索方式 对点训练 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，， ， 平面，，，. （1） 求证：; 解：如图，在平面 内过点 作直线，交 于点，以 为坐标原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则,,,.设,则. 证明：，, 因为，所以,即. （2） 设点在棱上，,若平面，求 的值. [答案] 由题意知，,,,. 因为,所以,. 设平面 的法向量为， 则 即 令,得,，所以 是平面 的一个法向量.因为 平面，所以,所以,即.因为,所以. 考点三 求空间距离 例3 如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.求： （1） 点到直线的距离； 【解】以 为坐标原点，,所在直线分别为 轴、轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则,，，，，因为 是 的中点，所以. [答案] ，， 则，，. 设点 到直线 的距离为, 则. （2） 点到平面的距离； [答案] 设平面的法向量为,则由,, 得即 令，则,, 即,,是平面的一个法向量. 易知,设点到平面的距离为， 则. （3） 直线到直线的距离. [答案] 因为直线与直线为异面直线，，,设直线与直线的公垂线的方向向量为, 则即 解得 令,则,即. 又.设直线到直线的距离为， 则. 解题技法 利用向量法求点到平面的距离的步骤 对点训练 1. 空间中有三点,,,则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. [解析]选.因为, 所以直线 的一个单位方向向量为. 因为,故,,所以点 到直线 的距离为 . 2. 在如图所示的几何体中，为正方形且边长为2，平面 平面，为的中点，且，，则点到平面的距离为 [解析]因为，平面 平面，平面 平面，且 平面，所以 平面， 因为 为 中点，，由三线合一得，又，所以 为等腰直角三角形，因为四边形 为正方形且边长为2，故，取 的中点，连接，则,,两两垂直， 以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,，，，.设平面 的法向量为， 则 即 令，得,，故 是平面 的一个法向量，所以点 到平面 的距离为. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知为平面 的一个法向量，为平面 内一点，则点到平面 的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. [解析]选.易知，设点 到平面 的距离为，则.故选. 2. （人教A版选择性必修第一册 例1（2）改编）已知，，，则平面的一个法向量的坐标是（ ） A. B. C. D. ,, [解析]选.由题可知，. 设 是平面 的法向量， 则 即 可得 显然，，,,不是平面 的法向量的坐标，是平面 的一个法向量的坐标.故选. 3. [2024·河南郑州模拟]已知点，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 1 [解析]选.由题得，，则，，，设点 到直线 的距离为，则，所以的面积为.故选. 4. 在正三棱柱中，,为的中点，为线段上的一点，且，则（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 [解析]选.取 的中点，连接，，易知，，两两垂直，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则,, ，.设，则.由，得，解得,故.故选. 5. （多选）如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥的体积为定值 [解析]选.在正方体 中，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,,,. 设,,,， 则,， 因为,所以，即. 连接,,,,对于，，则， 所以，即，故 正确; 对于，,，即 与 不垂直，从而 与平面 不垂直，故 不正确； 对于，，则，当且仅当 时取等号，故 正确； 对于,不论点 如何移动，点 到平面 的距离均为4， 而,为定值，故三棱锥 的体积为定值，故 正确. 故选. 6. 已知为矩形所在平面外一点，且，,,.则与平面的位置关系是平行. [解析]如图，设，，，则,由题意知,. 因此,所以 与，共面. 又因为 平面,所以 平面. 7. [2024·山东聊城模拟]在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为 [解析]取，，则，，所以点 到直线 的距离为. 8. 在底面为直角梯形的四棱锥中， 底面,, ，，，则点到平面的距离是 [解析]以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,.设 为平面 的法向量，则 即 取，得 是平面 的一个法向量.因为，所以点 到平面 的距离. 9. 如图，在直三棱柱中，,,,，是的中点.求证： （1） ； 证明：由题意知， 所以，所以,,两两垂直. 如图，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,,,,, ,2,， 所以,， 因为，所以， 即. （2） 平面. [答案] 方法一：设 与 的交点为， 则，连接. 因为,， 所以，所以, 即. 因为 平面， 平面，所以 平面. 方法二：易知，,2,,. 设平面 的法向量为， 所以 即 取,则,, 即 是平面 的一个法向量. 又因为,， 所以. 又因为 平面,所以 平面. B 综合运用 10. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点.求： （1） 点到直线的距离； 解：以 为坐标原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， ,,， 所以， ， 取，,,， 则，，则点 到直线 的距离为 . （2） 点到平面的距离. [答案] 由（1）知,,，,,， 设平面 的法向量为， 则 即 取，则，，所以 是平面 的一个法向量，又,,，故点 到平面 的距离为. 11. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，,,为上一点，. （1） 求证： 平面； 解：证明：因为，， 所以，所以. 又，，， 平面， 所以 平面. （2） 在侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. [答案] 存在.证明如下：以点 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，,,,, 故,,,. 设平面 的法向量为， 则 即 令，则，,则 是平面 的一个法向量，假设侧棱 上存在一点,且，使得 平面,即. 又因为， 故，解得， 所以存在点，且点 为 的中点时, 使得 平面. C 素养提升 12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，,，且 ，为的中点. （1） 求证：； 解：证明：连接,设 与 交于点，连接. 因为,所以. 因为底面 是边长为2的菱形，所以. 因为，, 平面,所以 平面, 因为 平面，所以. （2） 在侧棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. [答案] 存在.因为,所以，又,，, 平面,所以 平面. 以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，由题意得，, 则,,,,, 所以,,,.假设在侧棱 上存在点 满足题意，设，，则.设平面 的法向量为,则 即 取，得,,所以 是平面 的一个法向量. 所以点 到平面 的距离， 解得.所以在侧棱 上存在点 满足题意，且. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 空间向量的应用 课标要求 1.会用向量法证明线面的平行、垂直关系. 2.了解并掌握利用空间向量求空间距离的方法. 3.会用向量法求异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角等各种空间角. 4.体会向量方法在研究立体几何中的作用. 考情分析 高考命题常以空间几何体为载体考查空间位置关系、空间距离与空间角，预计2025年的高考立体几何解答题主要考查空间线面位置关系及空间角的计算，试题难度中档. 理一理 1.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或共线，则称此向量为直线的方向向量. （2）平面的法向量：直线 ，取直线的方向向量,则向量为平面 的法向量. （3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一. 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线，的方向向量分别为， ①   直线的方向向量为，平面 的法向量为 ②   平面 ， 的法向量分别为， ③   3.空间距离 （1）点到直线的距离：如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线上的投影向量，则点到直线的距离. （2）点到平面的距离：如图，已知平面 的法向量为，是平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，则是直线的方向向量，且点到平面 的距离. （3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 4. 空间角的定义 （1） 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的④射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是⑤  ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 .直线与平面所成角的范围：⑥  . （2） 二面角 从一条直线出发的⑦两个半平面所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作⑧垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. （3） 平面与平面的夹角 平面 与平面 相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于⑨  的二面角称为平面 与平面 的夹角. ［提醒］ 二面角与两个平面的夹角的区别与联系：二面角的取值范围是，两个平面的夹角的取值范围是. 5.空间向量与空间角的关系 （1）异面直线所成角 设异面直线，所成的角为 ，其方向向量分别为，，则，. （2）直线与平面所成角 如图所示，设为平面 的斜线,,为的方向向量,为平面 的法向量， 为与 所成的角，则,. （3）平面与平面的夹角 设平面 ， 的法向量分别是，，平面 与平面 的夹角为 ，则，. 第1课时 空间向量的应用（一） 核心考点⇄师生共研 考点一 证明平行、垂直 例1 如图，已知 平面,，，，，，点和分别为和的中点.求证： （1） 平面； （2） 平面 平面. 解题技法 利用空间向量证明线、面垂直、平行的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； （2）建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； （3）通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； （4）根据运算结果解释相关问题. ［注意］ 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外. 对点训练 在直三棱柱中， ，，，点在线段上，且，，，分别为,，的中点.求证： （1） 平面； （2） 平面平面. 考点二 探究与平行、垂直有关的存在性问题 例2 在直三棱柱中，,,,. （1） 在线段上是否存在点，使得? （2） 在线段上是否存在点，使得平面? 解题技法 存在问题的两种探索方式 对点训练 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，， ， 平面，，，. （1） 求证：; （2） 设点在棱上，,若平面，求 的值. 考点三 求空间距离 例3 如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.求： （1） 点到直线的距离； （2） 点到平面的距离； （3） 直线到直线的距离. 解题技法 利用向量法求点到平面的距离的步骤 对点训练 1. 空间中有三点,,,则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 在如图所示的几何体中，为正方形且边长为2，平面 平面，为的中点，且，，则点到平面的距离为 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知为平面 的一个法向量，为平面 内一点，则点到平面 的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. （人教A版选择性必修第一册 例1（2）改编）已知，，，则平面的一个法向量的坐标是（ ） A. B. C. D. ,, 3. [2024·河南郑州模拟]已知点，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 在正三棱柱中，,为的中点，为线段上的一点，且，则（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 5. （多选）如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥的体积为定值 6. 已知为矩形所在平面外一点，且，,,.则与平面的位置关系是平行. 7. [2024·山东聊城模拟]在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为 8. 在底面为直角梯形的四棱锥中， 底面,, ，，，则点到平面的距离是 9. 如图，在直三棱柱中，,,,，是的中点.求证： （1） ； （2） 平面. 10. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点.求： （1） 点到直线的距离； （2） 点到平面的距离. 11. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，,,为上一点，. （1） 求证： 平面； （2） 在侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. C 素养提升 12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，,，且 ，为的中点. （1） 求证：； （2） 在侧棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$