第4讲 空间直线、平面的垂直 讲义-2025届高三数学一轮复习

第4讲 空间直线、平面的垂直 课标要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形垂直关系的简单命题. 考情分析 高考命题常以线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定及其应用为重点，预计2025年高考仍会考查此内容，以解答题第（1）问的形式出现，难度中档. 理一理 1. 直线与平面垂直 （1） 定义：如果直线与平面 内的①任意一条直线都垂直，则直线与平面 互相垂直，记作 .直线叫做平面 的垂线，平面 叫做直线的垂面. （2） 判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条②相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线③平行     ［提醒］ “任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直. 2. 平面与平面垂直 （1） 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是⑥直二面角，就说这两个平面互相垂直. （2） 判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的⑦垂线,那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的⑧交线，那么这条直线与另一个平面垂直 记一记 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直. 3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 用一用 1. 已知,,是三条不同的直线， , , 是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ， ，，则 B. 若，，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 2. （多选）下列命题中正确的有（ ） A. 如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B. 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C. 如果直线 平面 ，直线，那么直线平面 D. 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 核心考点⇄师生共研 考点一 直线与平面垂直 例1 已知是所在平面外一点，且，为斜边的中点. （1） 求证: 平面; （2） 若,求证: 平面. 解题技法 证明线面垂直的步骤 对点训练 如图，在四棱锥中，四边形是矩形， 平面，，是的中点，，分别在，上，且，.证明：. 考点二 平面与平面垂直 例2 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面 平面，，，为的中点.求证： （1） ； （2） 平面 平面. 解题技法 证明面面垂直的2种方法 定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题 定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把面面垂直问题转化成证明线面垂直问题加以解决 对点训练 如图，在四棱锥中， 平面，底面为菱形，为的中点. （1） 求证： 平面； （2） 若 ，求证：平面 平面. 考点三 平行、垂直关系的综合应用 例3 如图，矩形所在平面与半圆所在平面垂直，是上异于，的点. （1） 证明： 平面； （2） 在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由. 解题技法 立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化 对点训练 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点. （1） 证明：平面； （2） 若平面 平面， .求证：. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知 , 是两个不同的平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若为一条直线， , , 为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. , B. , C. , D. , 3. 在正方体中，设为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 4. 如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面，且平面 平面 D. 平面 平面，且平面 平面 5. （多选）（人教A版必修第二册P158例8改编）如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于，的任意一点，，分别为，的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 平面 平面 C. D. 平面 6. 已知平面 ， 和直线，给出以下条件：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ，当条件 成立时，有 ；当条件 成立时，有 .（填序号） 7. 如图，在三棱锥中，平面 平面，若，则的形状为 8. 已知空间四边形的四条边相等，则对角线与的位置关系为垂直. 9. 如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，为棱的中点.证明： （1） 平面； （2） 平面 平面. B 综合运用 10. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若 平面，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 1 11. （多选）如图，在梯形中，， ，，，分别是，的中点，将四边形沿直线进行翻折，则下列结论可能正确的有（ ） A. B. C. 平面 平面 D. 平面 平面 12. 如图，在中， ，， ， 平面，，是上的一个动点，则的最小值为 13. 如图所示，在四棱锥中， 底面，，， ，，是的中点.求证： （1） ； （2） 平面. C 素养提升 14. 如图，在三棱柱中，侧棱 底面，为棱的中点，，，. （1） 求证：平面； （2） 求证： 平面； （3） 在棱上是否存在点，使得平面 平面？如果存在，求出此时的值并证明；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 空间直线、平面的垂直 课标要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形垂直关系的简单命题. 考情分析 高考命题常以线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定及其应用为重点，预计2025年高考仍会考查此内容，以解答题第（1）问的形式出现，难度中档. 理一理 1. 直线与平面垂直 （1） 定义：如果直线与平面 内的①任意一条直线都垂直，则直线与平面 互相垂直，记作 .直线叫做平面 的垂线，平面 叫做直线的垂面. （2） 判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条②相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线③平行     ［提醒］ “任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直. 2. 平面与平面垂直 （1） 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是⑥直二面角，就说这两个平面互相垂直. （2） 判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的⑦垂线,那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的⑧交线，那么这条直线与另一个平面垂直 记一记 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直. 3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 用一用 1. 已知,,是三条不同的直线， , , 是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ， ，，则 B. 若，，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 [解析]选.对于，若 ， ，，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得 ，故 正确；对于，若，，则 与 相交、平行或异面，故 错误；对于，若 ， ， ，则 与 平行或异面，故 错误；对于，若 ， ，则 与 相交、平行或 ，故 错误. 2. （多选）下列命题中正确的有（ ） A. 如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B. 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C. 如果直线 平面 ，直线，那么直线平面 D. 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 [解析]选.如果直线 平面 ,直线,那么直线 或 ，故 错误；若平面 平面 ，则 内有无数条直线垂直于平面 ，而非所有直线都垂直于平面 ，故 错误.故选. 核心考点⇄师生共研 考点一 直线与平面垂直 例1 已知是所在平面外一点，且，为斜边的中点. （1） 求证: 平面; 【证明】如图所示，取 的中点， 连接，.在 中，因为，分别为，的中点， 所以，所以. 因为，是 的中点， 所以.又, SE， 平面，所以 平面. 又 平面，所以.在 中,,为 的中点,所以.又,， 平面，所以 平面. （2） 若,求证[答案] : 平面. 由于,是 的中点,则.由（1）可知, 平面,又 平面, 所以.又,, 平面， 所以 平面. 解题技法 证明线面垂直的步骤 对点训练 如图，在四棱锥中，四边形是矩形， 平面，，是的中点，，分别在，上，且，.证明：. 证明：因为 平面， 平面， 所以，又，所以. 因为，是 的中点，所以. 又，， 平面，所以 平面. 因为，，所以. 又因为，，， 平面， 所以 平面，所以. 考点二 平面与平面垂直 例2 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面 平面，，，为的中点.求证： （1） ； 【证明】因为，为 的中点， 所以， 因为底面 为矩形，所以.所以. （2） 平面 平面. [答案] 因为底面 为矩形，所以. 又因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面. 又 平面，所以. 又因为，且，， 平面， 所以 平面. 又 平面，所以平面 平面. 解题技法 证明面面垂直的2种方法 定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题 定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把面面垂直问题转化成证明线面垂直问题加以解决 对点训练 如图，在四棱锥中， 平面，底面为菱形，为的中点. （1） 求证： 平面； 证明：因为 平面, 平面, 所以. 因为底面 为菱形，所以. 又，， 平面，所以 平面. （2） 若 ，求证：平面 平面. [答案] 因为 平面， 平面,所以. 因为底面 为菱形， ，故易知 为等边三角形，又 为 的中点，所以，所以. 又，， 平面，所以 平面. 因为 平面，所以平面 平面. 考点三 平行、垂直关系的综合应用 例3 如图，矩形所在平面与半圆所在平面垂直，是上异于，的点. （1） 证明： 平面； 【解】证明：由题意知，平面 平面， 平面 平面. 因为， 平面， 所以 平面，又 平面，故. 因为 为 上异于，的点，且 为直径，所以. 又，， 平面，所以 平面. （2） 在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由. [答案] 当 为 的中点时， 平面. 理由如下：如图，连接,交于点，连接，. 因为四边形 为矩形，所以 为 的中点. 连接，因为 为 的中点，所以. 又因为 平面， 平面，所以 平面. 解题技法 立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化 对点训练 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点. （1） 证明：平面； 证明：取 的中点，连接，，因为 为 的中点，所以，，又底面 为菱形， 为 的中点，所以，， 所以，，所以四边形 为平行四边形， 所以，因为 平面， 平面，所以 平面. （2） 若平面 平面， .求证：. [答案] 因为底面 为菱形， ，所以 ， 所以 为等边三角形，因为 为 的中点，所以， 因为，所以， 因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面，因为 平面， 所以. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知 , 是两个不同的平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]选.根据面面垂直的判定定理，可知若 ， ，则 成立，满足充分性；反之，若 ， ，则 与 的位置关系不确定，即不满足必要性.所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选. 2. 若为一条直线， , , 为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. , B. , C. , D. , [解析]选.对，若 , ,则 , 可能相交也可能平行，故 选项不正确；对，，若 , ，则可能有 ，故，选项不正确；对，若 , ，则必有 ，故 选项正确.故选. 3. 在正方体中，设为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 [解析]选.若，由 平面，为 在底面 上的射影，由三垂线定理的逆定理可得,但，显然矛盾，故 错误；若 平面,又 平面,且平面 平面,所以,但,显然矛盾，故 错误；由,为 在平面 上的射影，可得,故 正确；若 平面,则，又 平面,为 在底面 上的射影，可得，显然不成立，故 错误.故选. 4. 如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面，且平面 平面 D. 平面 平面，且平面 平面 [解析]选.因为，且 是 的中点，所以，同理有，易得 平面.因为 平面，所以平面 平面.又由于 平面，所以平面 平面.故选. 5. （多选）（人教A版必修第二册P158例8改编）如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于，的任意一点，，分别为，的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 平面 平面 C. D. 平面 [解析]选.因为，分别为，的中点，所以. 如果 则可得,而 与 相交，故 选项不正确； 因为点 是圆周上不同于，的任意一点,所以. 因为 垂直于半圆 所在的平面, 平面， 所以，又,, 平面， 所以 平面，又 平面， 所以平面 平面，故 选项正确； 因为，,所以,故 选项正确； 若 平面，又 平面，则，而这与 与 相交矛盾，故 选项不正确.故选. 6. 已知平面 ， 和直线，给出以下条件：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ，当条件 成立时，有 ；当条件 成立时，有 .（填序号） [解析]根据面面平行的定理可得，若 ， ，则 ； 根据线面垂直以及面面平行的定理可得，若 ， ，则 . 7. 如图，在三棱锥中，平面 平面，若，则的形状为 [解析]因为平面 平面，平面 平面，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，所以 为直角三角形. 8. 已知空间四边形的四条边相等，则对角线与的位置关系为垂直. [解析]取 的中点，记为，连接,，如图所示,由，得，同理可得，又，, 平面，所以 平面，因为 平面，所以. 9. 如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，为棱的中点.证明： （1） 平面； 证明：因为，且 为 的中点，所以.因为 平面， 平面，所以， 在正方形 中，， 又因为， 平面，， 所以 平面，又因为 平面，所以， 因为， 平面，， 所以 平面. （2） 平面 平面. [答案] 因为 平面，为正方形，所以,,又， 平面，， 所以 平面，因为 平面, 所以平面 平面. B 综合运用 10. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若 平面，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 1 [解析]选.由题意可得，，，， 平面， 所以 平面，又 平面，可得， 作 交 于点（如图），连接，， 因为,, 平面,所以 平面. 在矩形 中，， 所以四边形 是正方形， 所以， 所以，又 为 的中点， 所以 为 的中点，所以， 因为，所以. 11. （多选）如图，在梯形中，， ，，，分别是，的中点，将四边形沿直线进行翻折，则下列结论可能正确的有（ ） A. B. C. 平面 平面 D. 平面 平面 [解析]选.对于，因为,与 相交但不垂直，所以 与 不垂直，所以 错误；对于，设点 在平面 上的射影为点，当 时就有，而 可使条件满足，所以 可能正确；对于，当点 在平面 上的射影 落在 上时， 平面，从而平面 平面，所以 可能正确；对于，因为点 在平面 上的射影不可能在 上，所以 错误.故选. 12. 如图，在中， ，， ， 平面，，是上的一个动点，则的最小值为 [解析]如图，过点 作 于点，连接. 因为 平面， 平面，所以. 又因为，， 平面， 所以 平面. 又因为 平面，所以,此时 最短. 因为 ， ， ，所以,所以. 因为 平面， 平面，所以. 因为在 中,，， 所以. 13. 如图所示，在四棱锥中， 底面，，， ，，是的中点.求证： （1） ； 证明：在四棱锥 中， 因为 底面， 平面， 所以.因为，，， 平面，所以 平面.而 平面，所以. （2） 平面. [答案] 由， ，可得. 因为 是 的中点，所以. 由（1）知，，且，， 平面， 所以 平面. 而 平面，所以. 因为 底面， 底面，所以. 又，且，， 平面， 所以 平面，而 平面，所以. 又，， 平面，所以 平面. C 素养提升 14. 如图，在三棱柱中，侧棱 底面，为棱的中点，，，. （1） 求证：平面； 解：证明：连接，交 于点，连接，如图. 因为在 中，，分别为，的中点，所以 ，又因为 平面 ， 平面，所以 平面. （2） 求证： 平面； 证明：因为侧棱 底面， 平面，所以， 又因为 为棱 的中点，，所以.因为，， 平面，所以 平面，又 平面，所以.易知，又，所以在 和 中，，所以，所以 ，所以. 因为，， 平面，所以 平面. （3） 在棱上是否存在点，使得平面 平面？如果存在，求出此时的值并证明；如果不存在，请说明理由. [答案] 存在，当点 为 的中点，即 时，平面 平面. 证明如下：取 的中点，的中点，连接，，，. 因为，分别为，的中点，所以，且. 又因为 为 的中点，所以，且，所以四边形 为平行四边形，所以， 由（2）知 平面，所以 平面. 又因为 平面，所以平面 平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$