第3讲 空间直线、平面的平行讲义——2025届高三数学一轮复习

第3讲 空间直线、平面的平行 课标要求 1.以立体几何的定义和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用定理和已获得的结论证明一些有关空间图形平行关系的简单命题. 考情分析 高考命题经常以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现，通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质定理.预计2025年高考这一部分知识仍会考查，以解答题第（1）问的形式出现，难度中档. 理一理 1. 线面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与①此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行 线面平行”）   性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与③交线平行（简记为“线面平行 线线平行”）   2. 面面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条⑤相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行”） 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面⑥相交,那么两条⑦交线平行 ［提醒］ 三种平行关系的转化 记一记 1.平行关系中的三个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 , ,则 . （2）垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 , ,则. （3）平行于同一个平面的两个平面平行,即若 , ,则 . 2.平行关系有关的性质 （1）夹在两个平行平面之间的平行线段的长度相等. （2）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. （3）同一条直线与两个平行平面所成的角相等. 用一用 1. 设 , , 为三个不同的平面，,为直线，给出下列条件： ① , , , ; ② , ； ③ , ; ④ , ,. 其中能推出 的条件是 .（填序号） 2. 如图，平面平面 ，所在的平面与 ， 分别交于，，若，，，则 核心考点⇄师生共研 考点一 直线与平面平行 角度1 直线与平面平行的判定 例1 （一题多解）如图所示，正方形与正方形所在的平面相交于 ，在，上各有一点 ， ，且 ，求证：平面. 解题技法 证明线面平行的两种常用方法 （1）判定定理法：关键是在平面内找出（或作出）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； （2）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 角度2 直线与平面平行的性质 例2 已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于.求证：. 解题技法 线面平行性质的应用 证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行. ［注意］ 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤. 对点训练 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，过，，三点的平面交于点.求证： （1） 平面； （2） 是的中点. 考点二 平面与平面平行 例3 如图所示，在三棱柱中，过的平面与上底面交于（与不重合）. （1） 求证：; （2） 若,,分别是,,的中点，求证：平面平面. 解题技法 ［注意］ 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线. 对点训练 如图所示，四边形与四边形都为平行四边形，,,分别是,,的中点.求证: （1） 平面; （2） 平面平面. 考点三 平行关系的综合应用 例4 如图，在四面体中，过棱上一点作平行于，的平面分别交四面体的棱，,于点，,. （1） 求证：四边形为平行四边形; （2） 若,分别在线段,上，，且,不重合，证明:平面. 解题技法 平行关系综合应用的解题方法 利用线面平行的判定和性质定理，可以实现与线线、面面平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用观察特殊位置或函数思想来解决. 对点训练 如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，若该截面为平行四边形. （1） 求证：平面,平面; （2） 若,,求四边形周长的取值范围. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 设，是空间中不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ， ，则 D. 若 ，，，则 2. “平面 与平面 平行”是“平面 内的任何一条直线都与平面 平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知在三棱柱中，,分别为,的中点，,分别为,的中点，则直线与直线、平面的位置关系分别为（ ） A. 平行、平行 B. 异面、平行 C. 平行、相交 D. 异面、相交 4. 在三棱台中，点在上，且,点是内（含边界）的一个动点，且有平面平面,则动点的轨迹是（ ） A. 三角形边界的一部分 B. 一个点 C. 线段的一部分 D. 圆的一部分 5. （多选）如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 6. 请为下列两个命题补全同一个条件，使其构成真命题（其中，为不同的直线， ， 为不重合的平面），则此条件为  . ① ； . 7. 在三棱柱中，截面与平面交于直线,则直线与直线的位置关系为 . 8. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件点 上时，有平面. 9. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，,分别是棱,上的点，从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立：是的中点；是的中点；平面.（只需选择一种组合进行解答即可） B 综合运用 10. （多选）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 11. 如图，在棱长为2的正方体中，的中点是点，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为 . 12. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别为线段,上一点，若，且平面，则 13. 如图，四边形为长方形，，，点，分别为，的中点.设平面 平面.证明： （1） 平面； （2） . C 素养提升 14. 如图，在几何体中，已知四边形是正方形，,，,,分别为,,的中点，为上靠近点的四等分点.求证： （1） 平面； （2） 平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 空间直线、平面的平行 课标要求 1.以立体几何的定义和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用定理和已获得的结论证明一些有关空间图形平行关系的简单命题. 考情分析 高考命题经常以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现，通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质定理.预计2025年高考这一部分知识仍会考查，以解答题第（1）问的形式出现，难度中档. 理一理 1. 线面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与①此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行 线面平行”）   性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与③交线平行（简记为“线面平行 线线平行”）   2. 面面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条⑤相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行”） 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面⑥相交,那么两条⑦交线平行 ［提醒］ 三种平行关系的转化 记一记 1.平行关系中的三个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 , ,则 . （2）垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 , ,则. （3）平行于同一个平面的两个平面平行,即若 , ,则 . 2.平行关系有关的性质 （1）夹在两个平行平面之间的平行线段的长度相等. （2）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. （3）同一条直线与两个平行平面所成的角相等. 用一用 1. 设 , , 为三个不同的平面，,为直线，给出下列条件： ① , , , ; ② , ； ③ , ; ④ , ,. 其中能推出 的条件是 .（填序号） [解析]在条件①或条件③中， 或 与 相交；在条件②中,由 , ，得 ,条件②满足；在条件④中， , ,又 ,从而 ,条件④满足. 2. 如图，平面平面 ，所在的平面与 ， 分别交于，，若，，，则 [解析]由面面平行的性质定理得，,所以，所以. 核心考点⇄师生共研 考点一 直线与平面平行 角度1 直线与平面平行的判定 例1 （一题多解）如图所示，正方形与正方形所在的平面相交于 ，在，上各有一点 ， ，且 ，求证：平面. 思路一：通过作平行四边形，在平面内寻找与平行的直线，再利用线面平行的判定定理给出证明. 思路二：通过对应线段成比例，在平面内寻找与平行的直线，再利用线面平行的判定定理给出证明. 思路三：通过寻找过且与平面平行的一个平面，利用平面与平面平行的性质证明. 【证明】 方法一：如图所示，作 交 于点，作 交 于点，连接. 因为正方形 和正方形 有公共边，所以，又，所以,又，所以,所以,又，所以，所以四边形 为平行四边形，所以.又 平面， 平面，所以 平面. 方法二：如图所示，连接 并延长交 于点，有，又因为正方形 与正方形 有公共边，所以，又，所以,所以， 从而有，所以,又 平面， 平面，所以 平面. 方法三：如图，在平面 内，过点 作 交 于点，连接,则 平面,因为,所以,又,,所以, 所以,所以, 所以,又，所以,又 平面， 平面， 所以 平面.又，, 平面，所以平面 平面，又 平面,所以 平面. 解题技法 证明线面平行的两种常用方法 （1）判定定理法：关键是在平面内找出（或作出）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； （2）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 角度2 直线与平面平行的性质 例2 已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于.求证：. 【证明】 如图所示，连接 交 于点，连接， 因为四边形 是平行四边形， 所以 是 的中点， 又 是 的中点， 所以. 又 平面， 平面， 所以 平面. 又因为平面 平面， 且 平面，所以. 解题技法 线面平行性质的应用 证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行. ［注意］ 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤. 对点训练 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，过，，三点的平面交于点.求证： （1） 平面； 证明：连接，，设，连接，, 因为底面 是平行四边形， 所以 是 的中点，又 是 的中点， 所以， 又 平面， 平面， 所以 平面. （2） 是的中点. [答案] 因为底面 为平行四边形， 所以， 因为 平面， 平面， 所以 平面. 因为平面 平面， 平面， 所以，又 是 的中点，所以 是 的中点. 考点二 平面与平面平行 例3 如图所示，在三棱柱中，过的平面与上底面交于（与不重合）. （1） 求证：; 【证明】因为在三棱柱 中， 平面 平面, 又平面 平面,且平面 平面,所以由面面平行的性质定理得. （2） 若,,分别是,,的中点，求证：平面平面. [答案] 因为,分别为,的中点，所以, 因为 平面, 平面， 所以 平面. 又,分别为,的中点，,所以, 所以四边形 是平行四边形,所以. 因为 平面, 平面， 所以 平面. 又因为,, 平面, 所以平面 平面. 解题技法 ［注意］ 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线. 对点训练 如图所示，四边形与四边形都为平行四边形，,,分别是,,的中点.求证: （1） 平面; 证明：如图所示，设 与 交于点, 连接,则 必过点, 连接,则 为 的中位线，所以. 因为 平面, 平面,所以 平面. （2） 平面平面. 证明：因为,分别为,的中点，所以. 因为 平面, 平面,所以 平面. 又因为 为 的中点, 所以 为 的中位线，所以. 因为 平面, 平面,所以 平面. 因为,, 平面, 所以平面 平面. 考点三 平行关系的综合应用 例4 如图，在四面体中，过棱上一点作平行于，的平面分别交四面体的棱，,于点，,. （1） 求证：四边形为平行四边形; 【证明】因为 平面，平面 平面, 平面,所以. 又由 平面，平面 平面, 平面，可得. 由平行公理可得,同理可得, 所以四边形 为平行四边形. （2） 若,分别在线段,上，，且,不重合，证明:平面. [答案] 如图，在 上取点，使得.连接,，则，又 平面， 平面，所以 平面. 同理由, 易证 平面， 又，, 平面，可得平面 平面.因为 平面，所以 平面. 解题技法 平行关系综合应用的解题方法 利用线面平行的判定和性质定理，可以实现与线线、面面平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用观察特殊位置或函数思想来解决. 对点训练 如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，若该截面为平行四边形. （1） 求证：平面,平面; 证明：因为四边形 为平行四边形， 所以. 因为 平面, 平面,所以 平面. 又因为 平面,平面 平面,所以, 又因为 平面, 平面,所以 平面.同理可得 平面. （2） 若,,求四边形周长的取值范围. 解：设, 由（1）知,,所以, 则,所以, 因为四边形 为平行四边形，所以四边形 的周长 . 又因为,所以, 故四边形 周长的取值范围是. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 设，是空间中不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ， ，则 D. 若 ，，，则 [解析]选.对于，若， ，则 或 ，故 错误；对于， ， ， ，则 与 平行或异面，故 错误；对于， ， ， ， ，则 与 相交或平行，故 错误；对于，由面面平行的性质定理得 正确.故选. 2. “平面 与平面 平行”是“平面 内的任何一条直线都与平面 平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]选.如图1，平面 与平面 平行，在平面 内任取一条直线，作平面 ，使得直线 ，即 且， 由面面平行的性质可知，因为 , ，故 ，充分性成立， 如图2，平面 内的任何一条直线都与平面 平行，不妨取两条相交直线,均平行于 ， 则平面 与平面 平行，必要性成立.故选. 3. 已知在三棱柱中，,分别为,的中点，,分别为,的中点，则直线与直线、平面的位置关系分别为（ ） A. 平行、平行 B. 异面、平行 C. 平行、相交 D. 异面、相交 [解析]选.因为在三棱柱 中，,分别为,的中点，,分别为,的中点，所以 平面, 平面,,所以由异面直线的定义得直线 与直线 是异面直线. 取 的中点,连接,,如图， 则,. 又 平面, 平面, 平面, 平面, 所以 平面,平面. 因为,, 平面, 所以平面 平面, 因为 平面, 所以 平面. 4. 在三棱台中，点在上，且,点是内（含边界）的一个动点，且有平面平面,则动点的轨迹是（ ） A. 三角形边界的一部分 B. 一个点 C. 线段的一部分 D. 圆的一部分 [解析]选.如图，过点 作 交 于点，连接,又, 平面, 平面,所以 平面,同理 平面,又,, 平面,所以平面 平面,所以 不与 重合，否则没有平面. 5. （多选）如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 [解析]选.由题意知，是 的中位线， 所以，又，故 不正确； 因为 平面， 平面， 所以 平面，故 正确； 同理，可得 平面，故 正确； OM与平面 相交于点，故 不正确. 6. 请为下列两个命题补全同一个条件，使其构成真命题（其中，为不同的直线， ， 为不重合的平面），则此条件为  . ① ； . [解析]①体现的是线面平行的判定定理，缺少的条件是：“为平面 外的直线”；②同样缺少“为平面 外的直线”. 7. 在三棱柱中，截面与平面交于直线,则直线与直线的位置关系为 . [解析]在三棱柱 中，, 平面, 平面,所以 平面.又 平面,平面 平面,所以. 8. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件点 上时，有平面. [解析]连接,,.因为，，，分别为棱，，，的中点，是 的中点,所以，， 因为, 平面，, 平面,所以 平面,平面,又,, 平面,所以平面 平面. 因为点 在四边形 及其内部运动，平面， 所以点 在线段 上. 9. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，,分别是棱,上的点，从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立：是的中点；是的中点；平面.（只需选择一种组合进行解答即可） 证明：选 是 的中点，是 的中点作为已知条件，证明 平面. 取 的中点,连接,（图略）, 由已知得,,,,所以,所以四边形 是平行四边形，则. 因为 平面, 平面,所以 平面. 选 是 的中点，平面 作为已知条件，证明 是 的中点. 取 的中点,连接,（图略）, 由已知得,,因为,所以,因为 平面, 平面,所以平面 平面.因为 平面, 平面,所以,所以四边形 是平行四边形，则. 因为,所以, 即 是 的中点. 选 是 的中点，平面 作为已知条件，证明 是 的中点. 取 的中点,连接,（图略）, 由已知得,, 所以四边形 是平行四边形，则. 因为 平面, 平面,所以 平面, 因为 平面,,, 平面,所以平面 平面,因为 平面,所以 平面,因为 平面, 平面 平面,所以, 因为 是 的中点，所以 是 的中点. B 综合运用 10. （多选）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 [解析]选.连接，，在正方体 中，且， 所以四边形 是平行四边形， 所以，又因为 平面， 平面，所以 平面， 由题意得，所以， 所以，，，四点共面， 即点 在平面 内，故，正确； 再连接，显然 不在平面 内， 所以 与平面 不平行，故 错误； 由 平面，可知点 不在平面 内，故 错误.故选. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，的中点是点，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为 . [解析]如图所示，易知截面是菱形. 分别取棱，的中点，，连接，，，，则菱形 为符合题意的截面.连接，，易知，，，所以截面的面积. 12. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别为线段,上一点，若，且平面，则 [解析]如图，连接 交 于点，连接 交 于点，连接， 由 平面，可得，因为，所以，所以 为 的中点，作，所以， 因为，则, 所以. 13. 如图，四边形为长方形，，，点，分别为，的中点.设平面 平面.证明： （1） 平面； 证明：取 中点，连接，， 因为点，分别为，的中点， 所以，. 因为四边形 为长方形，所以，且，, 所以，， 所以四边形 为平行四边形，所以. 因为 平面， 平面，所以 平面. （2） . [答案]由（1）知 平面，又 平面，平面 平面，所以. C 素养提升 14. 如图，在几何体中，已知四边形是正方形，,，,,分别为,,的中点，为上靠近点的四等分点.求证： （1） 平面； 证明：如图，连接,，设 与 相交于点，连接，因为四边形 是正方形，则 为 的中点， 又 为 的中点，于是，，即四边形 为平行四边形，则， 又 平面， 平面， 所以 平面. （2） 平面平面. [答案] 取 的中点，连接,,，因为，且， 则四边形,都为平行四边形，有,,，于是四边形 为平行四边形，即有， 而 为 上靠近点 的四等分点， 则 为 的中点，又 为 的中点， 则， 因此，又 平面， 平面，则 平面，同理可证，又 平面， 平面，则 平面， 又,, 平面， 所以平面 平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$