第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系讲义——2025届高三数学一轮复习

第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理、三个推论，能运用四个基本事实和一个定理、三个推论判断有关命题的真假，并解决一些简单的证明问题. 考情分析 高考命题常考查异面直线的判断问题、平面与平面的交线问题、共点与共面问题.预计2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题或填空题的形式出现，为中、低档题. 理一理 1. 平面 （1） 四个基本事实 基本事实1：过①不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的②两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有③一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线④平行. （2） 三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有⑤一个平面. 推论2：经过两条⑥相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条⑦平行直线，有且只有一个平面. ［提醒］ 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 2. 空间中直线与直线的位置关系 （1） 相交 平行 任何 （2） 异面直线所成的角 ①定义：设,是两条异面直线,经过空间中任一点分别作直线,,我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）. ②范围：⑪  . ［提醒］ 两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直. （3） 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角⑫.相等或互补 3.空间中直线、平面的位置关系 位置关系 符号 直线和平面 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 平面和平面 两平面平行 两平面相交 ［提醒］ 直线 和平面 相交、直线 和平面 平行统称为直线 在平面 外，记作 . 记一记 1.异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.几个唯一性结论 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 用一用 1. 如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线成异面直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如果点是两条异面直线，外一点，则过点且与，都平行的平面个数的所有可能值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 无数 核心考点⇄师生共研 考点一 平面基本事实的应用 例1 如图，在正四棱台中，，，，分别为棱，，，的中点.求证： （1） ，，，四点共面； （2） ，，相交于一点. 解题技法 共面、共线、共点问题的证明方法 对点训练 1. 在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则（ ） A. 点必在直线上 B. 点必在直线上 C. 点必在平面内 D. 点必在平面内 2. 如图所示，平面 平面， ， ，， ，，则平面与平面 的交线是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 考点二 空间两条直线位置关系的判断 例2 （多选）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 与平行 B. 与是异面直线 C. 与是异面直线 D. 与是异面直线 解题技法 空间两直线位置关系的判定方法 对点训练 1. 已知空间三条直线，,,若与异面，且与异面，则（ ） A. 与异面 B. 与相交 C. 与平行 D. 与异面、相交、平行均有可能 2. 已知,是两条直线, , 是两个平面，则下列说法中正确的为 .（填序号） ①若平行于平面 内的无数条直线，则 ; ②若 , , ,则与是异面直线； ③若 ， ，则 ; ④若, ，则与 一定相交. 考点三 异面直线所成的角 例3 （一题多解）在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等， ,则异面直线与所成角的余弦值为 . 解题技法 用平移法求异面直线所成角的三个步骤 （1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角. （2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角. （3）三求：解三角形，求出所作的角. ［注意］ 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 对点训练 1. 如图，圆柱的轴截面为正方形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 在正四棱锥中，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第二册P143 T2改编）已知,,是三条不同的直线， , 是两个不同的平面，, , ,则“,相交”是“,相交”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知空间中有三条线段,,,且,那么直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交或平行 D. 平行或异面或相交均有可能 3. 在四棱锥中， 底面,底面为正方形，,,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个正方形，不在同一个平面内，点，分别为线段，的中点，则直线与的关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或异面 5. （多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 6. 在平行六面体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为 7. 在四棱锥中，底面为平行四边形，,分别为侧棱,的中点，则与平面的位置关系为 ，平面与平面的交线是  . 8. 如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为   . 9. 如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为，高为4.若，分别为，的中点. （1） 求证：,,,四点共面； （2） 若直线与直线交于点，求证：点在直线上. B 综合运用 10. （多选）如图，在正方体中，，分别是棱,的中点，平面 平面，则下列结论中错误的是（ ） A. 过点 B. 不一定过点 C. 的延长线与的延长线的交点不在上 D. 的延长线与的延长线的交点在上 11. 如图,和是异面直线,,,分别为线段,上的点,且,,则与所成角的大小为  . 12. 我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中,,，分别是和的中点，则平面截“堑堵”所得截面图形的面积为 13. 如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点. （1） 求证：直线与是异面直线； （2） 若，，求直线与所成的角的大小. C 素养提升 14. 如图，,是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂直的两条直径，过和母线的中点作一截面.已知圆锥侧面展开图的圆心角为 .求截面与圆锥的轴线的夹角的大小，并说明截线是什么曲线. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理、三个推论，能运用四个基本事实和一个定理、三个推论判断有关命题的真假，并解决一些简单的证明问题. 考情分析 高考命题常考查异面直线的判断问题、平面与平面的交线问题、共点与共面问题.预计2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题或填空题的形式出现，为中、低档题. 理一理 1. 平面 （1） 四个基本事实 基本事实1：过①不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的②两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有③一条过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线④平行. （2） 三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有⑤一个平面. 推论2：经过两条⑥相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条⑦平行直线，有且只有一个平面. ［提醒］ 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 2. 空间中直线与直线的位置关系 （1） 相交 平行 任何 （2） 异面直线所成的角 ①定义：设,是两条异面直线,经过空间中任一点分别作直线,,我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）. ②范围：⑪  . ［提醒］ 两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直. （3） 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角⑫.相等或互补 3.空间中直线、平面的位置关系 位置关系 符号 直线和平面 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 平面和平面 两平面平行 两平面相交 ［提醒］ 直线 和平面 相交、直线 和平面 平行统称为直线 在平面 外，记作 . 记一记 1.异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.几个唯一性结论 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 用一用 1. 如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线成异面直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析]选.与直线 成异面直线的有，，，共3条，故选. 2. 如果点是两条异面直线，外一点，则过点且与，都平行的平面个数的所有可能值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 无数 [解析]选.若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与，都平行的平面个数为0； 若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与，都平行的平面个数为0； 若过点 与直线 构成的平面不与直线 平行，或过点 与直线 构成的平面不与直线 平行，则过点 且与，都平行的平面个数为1.故选. 核心考点⇄师生共研 考点一 平面基本事实的应用 例1 如图，在正四棱台中，，，，分别为棱，，，的中点.求证： （1） ，，，四点共面； 【证明】连接，，如图所示，因为 为正四棱台，所以，又，，，分别为棱，，，的中点，所以，，则，所以，，，四点共面. （2） ，，相交于一点. [答案] 因为，所以，所以 为梯形，则 与 必相交.设，因为 平面，所以 平面，因为 平面，所以 平面， 又平面 平面，所以，则，，相交于一点. 解题技法 共面、共线、共点问题的证明方法 对点训练 1. 在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则（ ） A. 点必在直线上 B. 点必在直线上 C. 点必在平面内 D. 点必在平面内 [解析]选.如图，连接，，，因为，所在直线相交于点，所以 且，因为 平面， 平面，所以 平面，且 平面，又因为平面 平面，所以.故选. 2. 如图所示，平面 平面， ， ，， ，，则平面与平面 的交线是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 [解析]选.由题意知，， ，所以 ， 又因为，所以 平面， 所以点 在平面 与平面 的交线上. 又因为 平面， ，所以点 在平面 与平面 的交线上，所以平面 平面. 考点二 空间两条直线位置关系的判断 例2 （多选）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 与平行 B. 与是异面直线 C. 与是异面直线 D. 与是异面直线 [解析]把正方体的平面展开图还原，如图，连接,,由正方体的结构特征可知，与 异面，故 错误； 与 平行，故 错误； 平面, 平面, 平面,,故 与 是异面直线，故 正确； 平面, 平面, 平面,,故 与 是异面直线，故 正确. 解题技法 空间两直线位置关系的判定方法 对点训练 1. 已知空间三条直线，,,若与异面，且与异面，则（ ） A. 与异面 B. 与相交 C. 与平行 D. 与异面、相交、平行均有可能 [解析]选.如图所示，在长方体中，,与 都异面，但是,所以，错误；,与 都异面，且,也异面，所以 错误;,与 都异面，与 相交.故选. 2. 已知,是两条直线, , 是两个平面，则下列说法中正确的为 .（填序号） ①若平行于平面 内的无数条直线，则 ; ②若 , , ,则与是异面直线； ③若 ， ，则 ; ④若, ，则与 一定相交. [解析]①忽略了 在平面 内这一情况，故①错误； ②直线 与 没有交点，所以直线 与 可能异面也可能平行，故②错误； ③直线 与平面 没有公共点，所以 ，故③正确； ④直线 与平面 可能相交也可能平行，故④错误. 考点三 异面直线所成的角 例3 （一题多解）在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等， ,则异面直线与所成角的余弦值为 . 思路一：运用直接平移法，作已知直线的平行线，找到异面直线所成的角，并运用余弦定理求解. 思路二：运用补形法，在原三棱柱上底面补上一个大小相同的三棱柱，再通过平移并结合余弦定理求解. 思路三：运用补形法，将三棱柱补成平行六面体，解法更显直观. 思路四：运用向量法，设异面直线与所成角为 ,依法求，，并代入公式得解. [解析]方法一（平移法）：如图所示，作 底面,由 可知，为 的角平分线，且, 平面,,于是,四边形 为矩形. 取 的中点,连接 交 于点,连接,，则 为 的中点，. 所以异面直线 与 所成的角等于 与 所成的角，即 或其补角.设三棱柱的棱长为2,由题意即可得,,.于是. 故异面直线 与 所成角的余弦值为. 方法二（补形法一） 在三棱柱 的上底面补上一个大小相同的三棱柱,如图所示，连接，且 交 于点,则 或其补角为异面直线 与 所成的角.设,易知,,,所以在 中，有. 故异面直线 与 所成角的余弦值为. 方法三（补形法二）： 将三棱柱补为平行六面体，再放同样的一个平行六面体，如图所示，就是异面直线 与 所成的角. 设三棱柱的棱长为1，易得,即. 在 中，易求,易得,所以.从而在 中，求得.在 中，由余弦定理的推论得. 方法四（向量法）：不妨设 长为1,因为,,所以,所以.因为,所以. 因为, 设异面直线 与 所成角为 ,则. 解题技法 用平移法求异面直线所成角的三个步骤 （1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角. （2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角. （3）三求：解三角形，求出所作的角. ［注意］ 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 对点训练 1. 如图，圆柱的轴截面为正方形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.如图，过点 作圆柱的母线交下底面于点,连接,易知 为 的中点，设正方形 的边长为2，则，,所以.连接,则.因为,所以异面直线 与 所成角即为（或其补角）.在 中，，所以异面直线 与 所成角的余弦值为. 2. 在正四棱锥中，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . [解析]如图，连接，相交于，连接，则 为 的中点，又 为 的中点，所以，所以 为异面直线 与 所成的角. 又 为等边三角形，且边长为2，故，又，， 所以，所以 ， 所以. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第二册P143 T2改编）已知,,是三条不同的直线， , 是两个不同的平面，, , ,则“,相交”是“,相交”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]选.充分性：若,相交， , ,则其交点在交线 上，故,相交；必要性：若,相交，,可能为相交直线或异面直线.综上所述，“,相交”是“,相交”的充分不必要条件.故选. 2. 已知空间中有三条线段,,,且,那么直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交或平行 D. 平行或异面或相交均有可能 [解析]选.根据条件作出示意图，得到以下三种可能的情况， 由图可知,有相交、平行、异面三种情况.故选. 3. 在四棱锥中， 底面,底面为正方形，,,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意，将四棱锥扩充为长方体,连接，（图略），则,所以 为异面直线 与 所成的角，因为,,底面 为正方形，所以,，由余弦定理的推论可得.故选. 4. 如图，两个正方形，不在同一个平面内，点，分别为线段，的中点，则直线与的关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或异面 [解析]选.取 的中点，连接，,,则， 又，所以，则,,,确定平面， 又 平面， 平面，， 平面， 所以直线 与 是异面直线.故选. 5. （多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 [解析]选.因为, 平面，所以 平面.因为， 平面，所以 平面，所以 是平面 和平面 的公共点.同理可得，点 和 都是平面 和平面 的公共点，所以，，三点在平面 与平面 的交线上，即，，三点共线，又,所以,,,四点共面，故，正确；根据异面直线的判定定理可得 与 为异面直线，故，，，四点不共面，故 不正确；根据异面直线的判定定理可得 与 为异面直线，故，，，四点不共面，故 不正确. 6. 在平行六面体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为 [解析]如图，满足条件的有，，，，，共5条. 7. 在四棱锥中，底面为平行四边形，,分别为侧棱,的中点，则与平面的位置关系为 ，平面与平面的交线是  . [解析]由题易知,,所以,又 平面, 平面,所以 平面,因为,所以,,,四点共面，所以 为平面 与平面 的交线. 8. 如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为   . [解析]如图，将原图补成正方体，连接,,则,所以 为异面直线 与 所成的角. 在 中，,所以. 9. 如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为，高为4.若，分别为，的中点. （1） 求证：,,,四点共面； 证明：连接（图略）,由于，分别为，的中点，所以，又，所以， 所以,,,四点共面. （2） 若直线与直线交于点，求证：点在直线上. [答案]由, 平面，得 平面，同理，由, 平面，得 平面，又平面 平面，所以. B 综合运用 10. （多选）如图，在正方体中，，分别是棱,的中点，平面 平面，则下列结论中错误的是（ ） A. 过点 B. 不一定过点 C. 的延长线与的延长线的交点不在上 D. 的延长线与的延长线的交点在上 [解析]选.连接，，在正方体 中，取 的中点， 连接，则,，所以四边形 是平行四边形，又 平面， 平面，所以，故 正确，错误； 如图，设 的延长线与 的延长线交于点，的延长线与 的延长线交于点，因为 平面，所以 平面， 因为 平面，所以 平面，所以，因为 平面，所以 平面， 因为 平面，所以 平面，所以，故 错误，正确.故选. 11. 如图,和是异面直线,,,分别为线段,上的点,且,,则与所成角的大小为  . [解析]在平面 中,过 作,交 于点,连接,如图.因为,所以,又,所以,则,所以（或其补角）即为 与 所成的角, 在 中,,,, 所以, 所以 , 所以 与 所成角的大小为 . 12. 我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中,,，分别是和的中点，则平面截“堑堵”所得截面图形的面积为 [解析]延长,与 的延长线交于点,则 平面,连接,与 交于点,连接,得到的四边形 是平面 截“堑堵”所得截面图形.由题意易得,所以,易证,所以,又,所以，,,,故, ,连接,在 中，解三角形易得,所以 中 边上的高, 中 边上的高. 所以平面 截“堑堵”所得截面图形的面积. 13. 如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点. （1） 求证：直线与是异面直线； 解：证明：假设 与 不是异面直线，则 与 共面，从而 与 共面，即 与 共面，所以，，，四点在同一平面内，这与 是 所在平面外一点相矛盾.故直线 与 是异面直线. （2） 若，，求直线与所成的角的大小. [答案] 取 的中点，连接，，则，，所以相交直线 与 所成的角，即为异面直线 与 所成的角.因为,所以,又因为，所以,所以 为等腰直角三角形.即异面直线 与 所成的角的大小为 . C 素养提升 14. 如图，,是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂直的两条直径，过和母线的中点作一截面.已知圆锥侧面展开图的圆心角为 .求截面与圆锥的轴线的夹角的大小，并说明截线是什么曲线. 解：如图，设圆 的半径为,母线,则圆锥侧面展开图的中心角为 ,所以,所以,所以圆锥的母线与轴的夹角,连接.因为,分别是,的中点，所以.所以,所以,即. 又因为,,,, 平面, 所以 平面, 又 平面,所以. 又因为,, 平面, 所以 平面.所以 是截面与轴线的夹角， 所以截面与轴线的夹角的大小为. 由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面 与圆锥面的截线为一抛物线. 学科网（北京）股份有限公司 $$