探求球心位置的方法 培优讲义-2025届高三数学一轮复习

培优11 探求球心位置的方法 球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心. 类型一 定义找心 由球的定义确定球心，在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心. 典例1 在三棱锥中， 平面，，,, ，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 类型二 补形找心 补形找心的常用模型 （1）有两个面是共直角边的三棱锥，可补形成棱柱； （2）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可补形成正方体； （3）共顶点的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥分别可补形成长方体和正方体； （4）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体. 典例2 [2023·全国乙卷]已知点,,,均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形， 平面，则 类型三 作截面找心 如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. 典例3 已知四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面 平面，若，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【跟踪训练】 1. 已知高为4的圆锥外接球的体积为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此正三棱柱的5个面都相切，则球与球的表面积之比为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优11 探求球心位置的方法 球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心. 类型一 定义找心 由球的定义确定球心，在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心. 典例1 在三棱锥中， 平面，，,, ，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. [解析]在 中，由题意及余弦定理可得，则，所以，由 平面，得，又,， 平面，所以 平面，所以，所以 为直角三角形，又 为直角三角形，所以 是外接球的直径，取 为 的中点，即为球心，又,，所以，所以外接球的半径为，所以三棱锥 的外接球的表面积 . 类型二 补形找心 补形找心的常用模型 （1）有两个面是共直角边的三棱锥，可补形成棱柱； （2）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可补形成正方体； （3）共顶点的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥分别可补形成长方体和正方体； （4）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体. 典例2 [2023·全国乙卷]已知点,,,均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形， 平面，则 [解析]方法一： 如图，设 的外接圆圆心为，连接，因为 是边长为3的等边三角形，所以 的外接圆半径. 将三棱锥 补形为正三棱柱，由题意知 为侧棱，设球心为，连接，，则 平面，且. 又球的半径，，所以，解得. 方法二：如图，设 的外接圆圆心为，连接，因为 是边长为3的等边三角形，所以 的外接圆半径. 设三棱锥 的外接球球心为，连接,则 平面.又 平面，所以，连接，，由题意知.过 作 的垂线，设垂足为，则四边形 为矩形，所以，由 可知 为 的中点，则.所以在 中，由勾股定理可得，即，解得. 类型三 作截面找心 如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. 典例3 已知四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面 平面，若，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. [解析]如图，连接，，，取 的中点，连接,. 因为四边形 为矩形，所以 为四边形 的外接圆圆心. 在线段 上取， 因为 为等边三角形，所以 为 的外接圆圆心， 过点，分别作平面 和平面 的垂线，则两垂线的交点即为球 的球心，连接， 因为 为等边三角形，所以， 因为平面 平面，平面 平面， 平面， 所以 平面，所以； 同理可得，，所以四边形 为矩形， 所以，， 所以，即球 的半径， 所以球 的表面积 . 【跟踪训练】 1. 已知高为4的圆锥外接球的体积为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设圆锥外接球的球心为，半径为，圆锥的底面圆的半径为.由题意得 ，所以，所以球心 到圆锥底面的距离,所以，所以该圆锥的体积为.故选. 2. 已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此正三棱柱的5个面都相切，则球与球的表面积之比为 [解析]如图，由题意可得两球心，是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为， 则,，，在 中有，解得,所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$