空间几何体的截面、球的切接问题 讲义-2025届高三数学一轮复习

第2课时 空间几何体的截面、球的切接问题 核心考点⇄师生共研 考点一 几何体的内切球 例1 一个球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台下底面的半径为2，上底面的半径为1，则该球体的表面积为 [解析]如图，梯形 是该圆台的轴截面，过球心 作，垂足为，设球 的半径为，圆台的下底面圆心为，上底面圆心为，连接.在截面 中，，，.可得.又因为， 所以，所以该球体的表面积为 . 解题技法 几何体与球相切问题的解题策略 （1）体积分割法求内切球半径； （2）作出合适的截面（过球心、切点等），在平面上求解； （3）多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题. 对点训练 1. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. [解析]选.设球的半径为，由,得.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱 的底面三角形的边长为，则，所以,所以这个正三棱柱的体积.故选. 2. 已知圆锥的内切球半径为1，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为 . [解析]设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，因为圆锥侧面展开图为半圆，所以侧面展开图扇形弧长为，解得. 作出圆锥的轴截面如图所示，其中 为圆锥内切球球心，因为，所以，又，所以，解得，所以，所以圆锥的体积 . 考点二 几何体的外接球 例2 （1） [2024·广东广州模拟]已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周围成一旋转体，则此旋转体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. [解析]由题设，所得旋转体为两个圆锥体的组合，它们以三角形斜边上的高为底面半径，斜边长为两圆锥高之和，该旋转体外接球半径为三角形斜边的一半，为，故旋转体外接球的表面积为 .故选. （2） [2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. [解析]由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为，.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，连接（图略），则，其外接球的球心 在直线 上.设球 的半径为，当球心 在线段 上时，，解得（舍去）；当球心 不在线段 上时，，解得，所以，所以该球的表面积为 . 解题技法 求解多面体外接球问题的方法 解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置. 对点训练 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，是边长为的正三角形，则球的表面积为 [解析]如图所示，取 的中点，底面的中心为点，连接，，则易知点，，共线，,,，外接球的球心 在 上，连接.设外接球的半径为，则.在 中，利用勾股定理可得，解得,所以球 的表面积. 考点三 空间几何体的截面问题 例3 在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，体积分别为,,且，则 . [解析]由题意，延长线段 与 的延长线交于点，连接 交 于点，连接，故平面 延展后即为平面，将该正方体分成的两部分，其中一部分是三棱台. 由于，，故，不妨设正方体棱长为3，，，即. 解题技法 作截面应遵循的三个原则 （1）在同一平面上的两点可作直线； （2）凡是相交的直线都要画出它们的交点； （3）凡是相交的平面都要画出它们的交线. 对点训练 1. 在正方体中，，，分别是，，的中点，那么过，，三点的正方体的截面图形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 [解析]选.如图，连接，，分别取，，的中点为，，，连接，，，，则由正方体的性质可得，，，所以点，，，，，共面，所以六边形 即为过，，三点的正方体的截面图形.故选. 2. 已知圆锥的母线长为2，侧面积为 ，则过圆锥顶点的截面面积的最大值等于（ ） A. B. C. 3 D. 2 [解析]选.由圆锥的母线长为2，侧面积为 ，假设底面圆周长为，因此 ， 故底面圆周长为 ，底面圆的半径为. 由于轴截面为腰长为2，底边长为 的等腰三角形，根据余弦定理得轴截面的顶角是.故当截面是顶角为 的等腰三角形时面积最大，此时.故选. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（ ） A. B. C. D. [解析]选.如图所示的过球心的截面图，,.故选. 2. 一只会飞行的昆虫被长为的细绳绑在一个封闭的正方体空盒内的一角处（忽略捆绑长度），若空盒的棱长为，则飞虫活动范围的体积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.根据题意可知，飞虫的活动范围是半径 的球的. 易知 ，故飞虫活动范围的体积 . 3. 在矩形中，，，沿对角线进行翻折，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为在翻折过程中， 始终不变，因此 的中点到，，，四点的距离始终相等，故三棱锥 外接球的直径为，半径为2，所以外接球的体积为.故选. 4. （人教A版必修第二册P119例4改编）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（ ） A. 体积之比 B. 体积之比 C. 表面积之比 D. 表面积之比2 [解析]选.设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以,,所以；,，所以.故选. 5. 已知正四棱锥的侧棱长为,底面边长为2，则该正四棱锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.如图，设 为正四棱锥的底面中心，为正四棱锥内切球的球心，为 的中点，连接，，，则 为正四棱锥的高，为 的高.因为， ,所以，则.连接，，，，设该正四棱锥的内切球的半径为，则，即,解得，故该正四棱锥内切球的体积.故选. 6. （多选）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题图知，故 正确，错误；易知包装盒的高为，故，又，所以，故 错误，正确.故选. 7. （多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则下列关于半球的说法正确的是（ ） A. 半径是3 B. 体积为 C. 表面积为 D. 表面积为 [解析]选.如图，是正四棱锥的对角面，设球的半径为，是半球的直径，则正四棱锥底面边长为,方锥体积为,,半球体积为 ,表面积为 .故选. 8. （多选）已知在三棱锥中，，，，，则（ ） A. 三棱锥的外接球的体积为 B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为 [解析]选.如图，因为，，，所以，因为，由 可知， 所以 的中点 为三棱锥的外接球的球心，且球的半径为1，球的体积为，故 正确，错误； 当平面 平面 时，点 到平面 的距离最大，故此时三棱锥的体积最大，此时高为， 其最大值为， 故 正确，错误.故选. 9. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的半径为 [解析] 如图所示，将三棱锥补为长方体，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为，则，所以，.即三棱锥 的外接球的半径为. 10. 已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为 [解析]如图所示，因为，所以 为截面圆 的直径，且.连接，则 平面，,所以三棱锥 的体积. 11. 已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为 ，则该三棱柱的体积为 [解析]设底面三角形的内切圆的半径为，则其外接圆半径为，底面边长为，若正三棱柱有内切球，则正三棱柱的高， 则正三棱柱的外接球的半径，可得 ，解得（负值已舍去），所以该三棱柱的体积. 12. 已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 [解析]依题意，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，如图所示.则，所以，当且仅当 时，取到等号，因此剩下的几何体的表面积 . B 综合运用 13. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. [解析]选.如图所示，设两个圆锥的底面圆的圆心为点， 设圆锥 和圆锥 的高之比为，即，设球的半径为，则,可得, 所以， 所以，， 因为，为球的直径， 所以,所以，所以， 因此，这两个圆锥的体积之和为 . 14. [2024·海南海口模拟]（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示.若某勒洛四面体内的四面体的高为，则（ ） A. B. 外接圆的半径为2 C. 四面体的体积为 D. 该勒洛四面体的表面积为 [解析]选.由题意可知勒洛四面体内的四面体是正四面体，设正四面体的棱长为，所以正四面体底面外接圆的半径，则正四面体的高， 解得，则，故 错误； 由，得正四面体底面外接圆的半径，故 正确； 所以正四面体的体积，故 正确； 因为两个该勒洛四面体的表面积小于半径为 的一个球的表面积，而半径为 的一个球的表面积为 .所以该勒洛四面体的表面积小于 ，故 错误.故选. 15. 如图，在多面体中，四边形为矩形， 平面，，，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为 ，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为 [解析]如图添加的三棱锥为直三棱锥， 可以将该多面体补成一个直三棱柱,因为 平面，，，所以，直三棱柱 的体积,添加的三棱锥的体积为. 如图，分别取，的中点，，连接，与 交于点，连接,， 因为四边形 为矩形，所以 为，的中点，在直三棱柱 中， 平面， 平面，即 ，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点，即为外接球的半径，因为,,所以，所以所求外接球的表面积为 . 16. 在如图所示的四棱锥中，底面是长方形，底面周长为8，，且是四棱锥的高，设. （1） 当时，求三棱锥的体积； 解：当 时，，，则，所以. （2） 求四棱锥外接球的表面积的最小值. [答案] 将四棱锥 补成长方体，如图所示，则四棱锥 的外接球和长方体 的外接球相同.因为，所以，则四棱锥 外接球的半径， 易知当 时，取得最小值，此时四棱锥 外接球的表面积最小，最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 空间几何体的截面、球的切接问题 核心考点⇄师生共研 考点一 几何体的内切球 例1 一个球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台下底面的半径为2，上底面的半径为1，则该球体的表面积为 解题技法 几何体与球相切问题的解题策略 （1）体积分割法求内切球半径； （2）作出合适的截面（过球心、切点等），在平面上求解； （3）多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题. 对点训练 1. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的内切球半径为1，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为 . 考点二 几何体的外接球 例2 （1） [2024·广东广州模拟]已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周围成一旋转体，则此旋转体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. （2） [2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解题技法 求解多面体外接球问题的方法 解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置. 对点训练 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，是边长为的正三角形，则球的表面积为 考点三 空间几何体的截面问题 例3 在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，体积分别为,,且，则 . 解题技法 作截面应遵循的三个原则 （1）在同一平面上的两点可作直线； （2）凡是相交的直线都要画出它们的交点； （3）凡是相交的平面都要画出它们的交线. 对点训练 1. 在正方体中，，，分别是，，的中点，那么过，，三点的正方体的截面图形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 2. 已知圆锥的母线长为2，侧面积为 ，则过圆锥顶点的截面面积的最大值等于（ ） A. B. C. 3 D. 2 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（ ） A. B. C. D. 2. 一只会飞行的昆虫被长为的细绳绑在一个封闭的正方体空盒内的一角处（忽略捆绑长度），若空盒的棱长为，则飞虫活动范围的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在矩形中，，，沿对角线进行翻折，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 4. （人教A版必修第二册P119例4改编）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（ ） A. 体积之比 B. 体积之比 C. 表面积之比 D. 表面积之比2 5. 已知正四棱锥的侧棱长为,底面边长为2，则该正四棱锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. （多选）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ） A. B. C. D. 7. （多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则下列关于半球的说法正确的是（ ） A. 半径是3 B. 体积为 C. 表面积为 D. 表面积为 8. （多选）已知在三棱锥中，，，，，则（ ） A. 三棱锥的外接球的体积为 B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为 9. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的半径为 10. 已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为 11. 已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为 ，则该三棱柱的体积为 12. 已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 B 综合运用 13. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. 14. [2024·海南海口模拟]（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示.若某勒洛四面体内的四面体的高为，则（ ） A. B. 外接圆的半径为2 C. 四面体的体积为 D. 该勒洛四面体的表面积为 ，故 错误.故选. 15. 如图，在多面体中，四边形为矩形， 平面，，，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为 ，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为 16. 在如图所示的四棱锥中，底面是长方形，底面周长为8，，且是四棱锥的高，设. （1） 当时，求三棱锥的体积； （2） 求四棱锥外接球的表面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$