第1讲 基本立体图形及其表面积与体积讲义-2025届高三数学一轮复习

第1讲 基本立体图形及其表面积与体积 课标要求 1.利用实物、计算软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3.会用斜二测画法画出简单立体图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图. 考情分析 高考命题常以空间几何体为载体，考查几何体的结构特征、直观图的画法、表面积与体积的计算，预计2025年高考会考查基本立体图形的展开图或截面图，空间几何体的体积是高考考查的热点，多以选择题或填空题的形式出现，难度中档 理一理 1. 空间几何体的结构特征 （1） 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相①平行且②全等 多边形 互相③平行且④相似 侧棱 ⑤平行且相等 相交于⑥一点，但不一定相等 延长线交于⑦一点 侧面形状 ⑧平行四边形 ⑨三角形 ⑩梯形 （2） 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，⑪垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 ⑫矩形 ⑬等腰三角形 ⑭等腰梯形 ⑮圆 侧面展开图 ⑯矩形 ⑰扇形 ⑱扇环 2. 直观图 （1） 画法：常用⑲斜二测画法. （2） 规则：①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴、轴的夹角为⑳  或  ,轴与轴和轴所在平面㉑垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍㉒分别平行于坐标轴，平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度㉓不变，平行于轴的线段在直观图中长度变为原来的㉔一半. 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 类别 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 ㉕   ㉖   ㉗   ［提醒］ 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 4. 柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） 锥体（棱锥和圆锥） ㉘   台体（棱台和圆台） 球 ㉙   ㉚   记一记 1.常见的几种四棱柱 2.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）；（2）. 3.与球切、接有关的几个常用结论 （1）设正方体的棱长为,球的半径为. ①若球为正方体的外接球，则; ②若球为正方体的内切球，则; ③若球与正方体的各棱相切，则. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,，外接球的半径为，则. （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为. 用一用 1. 如图所示，在直观图中，，则该平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 2. 若一个长方体的顶点都在球面上，且长方体同一顶点的三条棱长分别为1，2，3，则球的表面积为 第1课时 基本立体图形及其表面积、体积 核心考点⇄师生共研 考点一 基本立体图形 角度1 结构特征 例1 （多选）以下结论正确的有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 解题技法 辨别空间几何体的两种方法 角度2 直观图 例2 [2024·山东济南模拟]已知一个正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 解题技法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于轴的线段平行性不变，长度不变；平行于轴的线段平行性不变，长度减半. 角度3 展开图 例3 [2024·山东东营模拟]如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为 ,其中，，则该圆台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 4 解题技法 几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，注意一定要先观察立体图形的每一个面的形状. ［注意］ 利用空间几何体的表面展开图可求几何体的表面积及表面上两点间的距离问题. 对点训练 1. （多选）下列命题中错误的是（ ） A. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 平行六面体的每个面都是平行四边形 2. 如图，已知是水平放置的的直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. 是等边三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 是等腰三角形，但不是直角三角形 3. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧面积为，则一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为 考点二 空间几何体的表面积 例4 （1） 某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. （2） [2024·海南海口模拟]如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底（水杯和杯套的厚度忽略不计），则此杯套使用的皮革的面积为（ ） A. B. C. D. 解题技法 空间几何体的表面积的求法 （1）旋转体的表面积问题应注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. （2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意衔接部分的处理. 对点训练 [2024·广东模拟]已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为（ ） A. B. C. D. 考点三 空间几何体的体积 角度1 直接法（链接高考） 例5 [2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 【考题变式】 1. [2023·全国乙卷]（综合变式）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线， ，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 2. （条件变式）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 角度2 等积法 例6 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . 角度3 割补法 例7 如图是一个以为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，且 ，则所得的几何体的体积为 解题技法 几何体的体积计算要点 ［注意］ 求一些不规则几何体的体积常用割补法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决. 对点训练 1. 已知三棱柱的体积为6，则四面体的体积为 2. 如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 多面体至少有5个面 D. 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 2. （人教A版必修第二册 练习 改编）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为 ，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 4. [2024·江苏南京模拟]已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. [2023·全国甲卷]在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，,，则该棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. [2024·浙江模拟]如图，是正三棱锥且侧棱长为，，分别是，上的动点，的周长的最小值为，则侧棱，的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. （多选）如图，在三棱柱中，是上一点，且，记三棱锥，四棱锥，三棱锥的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. [2023·新课标Ⅱ卷]（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 9. 已知球的一个截面的面积为 ，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为  . 10. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为 11. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积为 12. 如图，设正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为 B 综合运用 13. [2023·天津卷]在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 14. （多选）某班级到一家工厂参加社会实践活动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该圆台轴截面的面积为 B. 与的夹角为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台侧面，从点到中点的最短距离为 15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为，高皆为的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离处的平面截这两个几何体，可横截得到及两截面.可以证明总成立.据此，短半轴长为1，长半轴长为3的椭球体的体积是 16. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子（如图1所示），其建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为，圆柱的高为，底面直径为.求： （1） 该蒙古包的侧面积； （2） 该蒙古包的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 基本立体图形及其表面积与体积 课标要求 1.利用实物、计算软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3.会用斜二测画法画出简单立体图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图. 考情分析 高考命题常以空间几何体为载体，考查几何体的结构特征、直观图的画法、表面积与体积的计算，预计2025年高考会考查基本立体图形的展开图或截面图，空间几何体的体积是高考考查的热点，多以选择题或填空题的形式出现，难度中档 理一理 1. 空间几何体的结构特征 （1） 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相①平行且②全等 多边形 互相③平行且④相似 侧棱 ⑤平行且相等 相交于⑥一点，但不一定相等 延长线交于⑦一点 侧面形状 ⑧平行四边形 ⑨三角形 ⑩梯形 （2） 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，⑪垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 ⑫矩形 ⑬等腰三角形 ⑭等腰梯形 ⑮圆 侧面展开图 ⑯矩形 ⑰扇形 ⑱扇环 2. 直观图 （1） 画法：常用⑲斜二测画法. （2） 规则：①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴、轴的夹角为⑳  或  ,轴与轴和轴所在平面㉑垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍㉒分别平行于坐标轴，平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度㉓不变，平行于轴的线段在直观图中长度变为原来的㉔一半. 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 类别 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 ㉕   ㉖   ㉗   ［提醒］ 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 4. 柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） 锥体（棱锥和圆锥） ㉘   台体（棱台和圆台） 球 ㉙   ㉚   记一记 1.常见的几种四棱柱 2.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）；（2）. 3.与球切、接有关的几个常用结论 （1）设正方体的棱长为,球的半径为. ①若球为正方体的外接球，则; ②若球为正方体的内切球，则; ③若球与正方体的各棱相切，则. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,，外接球的半径为，则. （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为. 用一用 1. 如图所示，在直观图中，，则该平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 [解析]选.由题意得 . 2. 若一个长方体的顶点都在球面上，且长方体同一顶点的三条棱长分别为1，2，3，则球的表面积为 [解析]设球的半径为，则， 则.所以 . 第1课时 基本立体图形及其表面积、体积 核心考点⇄师生共研 考点一 基本立体图形 角度1 结构特征 例1 （多选）以下结论正确的有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 [解析]对于，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正确；对于，根据柱体体积公式可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等，正确；对于，如图在圆锥 中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形，设截面为，设 为底面圆 的一条直径，若 为钝角，当 时，截面三角形的面积最大，错误；对于，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，只有当侧棱的延长线交于一点，这样的几何体才是棱台，错误.故选. 解题技法 辨别空间几何体的两种方法 角度2 直观图 例2 [2024·山东济南模拟]已知一个正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. [解析]如图1，是边长为2的正三角形，取 的中点为，连接，以 为坐标原点，，所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系.再建立一个平面直角坐标系，使 ，如图2，在 轴上取点，，且使，在 轴上取点，且使,连接,，则 即为 的直观图，所以.故选. 解题技法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于轴的线段平行性不变，长度不变；平行于轴的线段平行性不变，长度减半. 角度3 展开图 例3 [2024·山东东营模拟]如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为 ,其中，，则该圆台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 4 [解析]因为圆台 的侧面展开图扇环的圆心角为 ，所以在圆锥 中有 ，所以，又在圆锥 中有 ，所以， 所以该圆台的高.故选. 解题技法 几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，注意一定要先观察立体图形的每一个面的形状. ［注意］ 利用空间几何体的表面展开图可求几何体的表面积及表面上两点间的距离问题. 对点训练 1. （多选）下列命题中错误的是（ ） A. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 平行六面体的每个面都是平行四边形 [解析]选.对于，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故 正确；对于，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故 错误；对于，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分才是圆台，故 错误；对于，平行六面体的每个面都是平行四边形，故 正确.故选. 2. 如图，已知是水平放置的的直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. 是等边三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 是等腰三角形，但不是直角三角形 [解析]选.将直观图还原成原图形，如图所示， 设，则可得，， 从而， 所以， 即，故 是等腰直角三角形.故选. 3. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧面积为，则一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为 [解析]将正三棱柱 沿侧棱 展开，得到的侧面展开图如图所示， 依题意，则，又侧面积为，所以，则. 依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点 的最短路线为. 考点二 空间几何体的表面积 例4 （1） 某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. [解析]由题意可知该几何体的表面积为 .故选. （2） [2024·海南海口模拟]如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底（水杯和杯套的厚度忽略不计），则此杯套使用的皮革的面积为（ ） A. B. C. D. [解析]由题意可知杯套部分依然是圆台，则此杯套使用的皮革的面积即为对应圆台的侧面积加下底面面积.如图，作出水杯的轴截面，作 于点， 设 为杯套部分对应的轴截面，交 于点，则，， 则由 可得,所以，故，故此杯套使用的皮革的面积为.故选. 解题技法 空间几何体的表面积的求法 （1）旋转体的表面积问题应注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. （2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意衔接部分的处理. 对点训练 [2024·广东模拟]已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设圆锥底面圆的半径为，则圆锥的母线长，圆柱的母线长等于圆锥的高，记圆锥和圆柱的侧面积分别为，，则.故选. 考点三 空间几何体的体积 角度1 直接法（链接高考） 例5 [2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 ［分析及溯源］ 试题将正四棱台的三个关键量——上底边长、下底边长、侧棱长转化成平面几何关系求出高，从而利用台体体积公式求出其体积，试题弥补了教材中一个缺失的重要概念——正四棱台（教材中没有正四棱台的概念）.试题源于教材人教A版必修第二册练习. [解析]方法一： 如图，连接,交于点,连接，交于点，连接,则 即为正四棱台 的高. 过点 作，垂足为， 则， 因为，，， 则，，故， 则，即. 所以所求体积. 方法二： 将正四棱台补成如图所示的正四棱锥，设 为正四棱台 上底面的中心，连接,,则 平面. 由，知，平面 为正四棱锥的中截面，故，,所以正四棱锥 的高，故.由棱锥的性质知，故正四棱台 的体积为. 【考题变式】 1. [2023·全国乙卷]（综合变式）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线， ，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.在 中，， ，由余弦定理得，,设等腰三角形 底边 上的高为，则，解得，由勾股定理得，母线，则该圆锥的高，所以该圆锥的体积为 .故选. 2. （条件变式）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 [解析]如图所示，正四棱锥 的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥 后，得到正四棱台，且,.记，分别为正四棱台 上、下底面的中心，,分别为,的中点，连接,,,，则,,.易知,所以,即,解得,所以,所以该正四棱台的体积. 角度2 等积法 例6 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . [解析]如图，由正方体的棱长为2， 得,又易知 为三棱锥 的高，且，所以. 角度3 割补法 例7 如图是一个以为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，且 ，则所得的几何体的体积为 [解析]方法一（分割法）：如图，过点 作 平行于，交 于点，作 平 行于，交 于点，连接.由题意可知四边形， 都是矩形，，，，又 ，所以，所以，因为截面 把这个几何体分割为直三棱柱 和四棱锥，又因为直三棱柱 的体积，四棱锥 的体积，所以所求几何体的体积为. 方法二（补形法） 如图，延长 至点，使得，延长 至点，使得，连接，，，得到直三棱柱，所以所求几何体的体积等于直三棱柱 的体积减去四棱锥 的体积. 因为, ， 所以所求几何体的体积为. 解题技法 几何体的体积计算要点 ［注意］ 求一些不规则几何体的体积常用割补法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决. 对点训练 1. 已知三棱柱的体积为6，则四面体的体积为 [解析]，因为三棱柱 的体积为6，所以四面体 的体积为2. 2. 如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为 [解析]如图所示，将圆柱补全，可知该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，将圆柱从点 处水平分成上、下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积 . 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 多面体至少有5个面 D. 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 [解析]选.对于,各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故 错误；对于,有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故 错误；对于,多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体图形，故 错误；对于,根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故 正确.故选. 2. （人教A版必修第二册 练习 改编）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为 ，则（ ） A. B. C. D. 3 [解析]选.令圆锥底面圆半径为，则，解得，所以圆锥的高，因此圆锥的体积 ，解得.故选. 3. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ） A. B. C. 2 D. [解析]选.过点 作,垂足为.因为，，，，所以，所以，所以原四边形中 的长度为.故选. 4. [2024·江苏南京模拟]已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. [解析]选. 圆台的轴截面如图所示，，分别为圆台上、下底面圆的圆心，连接，过点 作， 因此有， 因为母线与下底面所成角的正切值为， 所以, 所以,， 该圆台的表面积为 .故选. 5. [2023·全国甲卷]在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，,，则该棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 [解析]选.如图，取 的中点，连接,，因为 是边长为2的等边三角形，，所以,,所以，又,所以，所以，又,, 平面，所以 平面,所以.故选. 6. [2024·浙江模拟]如图，是正三棱锥且侧棱长为，，分别是，上的动点，的周长的最小值为，则侧棱，的夹角为（ ） A. B. C. D. [解析]选.把正三棱锥沿 剪开，展开形成三个全等的等腰三角形，分别为，，，连接，交 于点，交 于点，则线段 的长就是 周长的最小值，，又，所以，所以 是等腰直角三角形， ，所以 ， 则侧棱，的夹角为 .故选. 7. （多选）如图，在三棱柱中，是上一点，且，记三棱锥，四棱锥，三棱锥的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题可知,, ， 根据棱柱的性质易得,又,所以，正确，错误； 因为 , 所以，错误，正确.故选. 8. [2023·新课标Ⅱ卷]（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 [解析]选.在 中，由余弦定理得,如图，连接，易知圆锥的高，底面圆的半径. 对于,该圆锥的体积 ,故 正确；对于,该圆锥的侧面积 ，故 错误；对于，取 的中点，连接,,因为，所以，同理可得,则二面角 的平面角为 ，所以，,所以,故 正确；对于，,，故 错误.故选. 9. 已知球的一个截面的面积为 ，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为  . [解析]依题意设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为 ，所以，又,即,解得，所以球 的表面积 . 10. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为 [解析]由题意可知，正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转 弧度后，所形成的几何体为柱体，该柱体是底面半径 为2，高 为2的圆柱的八分之一，所以几何体的表面积. 11. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积为 [解析]将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过点 作底面的平行平面，与过点 的母线交于点，连接，，由题意知 ，则， 故圆柱底面的半径为, 则容器内液体的体积为 . 12. 如图，设正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为 [解析]如图，设正三棱锥的底面边长为，斜高为，过点 作，与 交于点，连接，则，.因为，所以.所以.因为,所以.所以.所以,所以.所以，.所以. B 综合运用 13. [2023·天津卷]在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. [解析]选.等体积法:如图，因为,,所以,所以（其中 为点 到平面 的距离，因为平面 和平面 重合，所以点 到平面 的距离也为）.故选. 14. （多选）某班级到一家工厂参加社会实践活动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该圆台轴截面的面积为 B. 与的夹角为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台侧面，从点到中点的最短距离为 [解析]选.对于，由题意可得， 所以圆台高为，所以圆台轴截面 的面积为，故 正确； 对于，由已知及题图得，且 ，所以 ，即 与 的夹角为 ，故 错误； 对于，圆台的体积，故 正确； 对于，将圆台一半侧面展开，如图中，且 为 中点，而圆台对应的圆锥体一半侧面展开为扇形，且，因为，所以在 中，，即点 到 中点的最短距离为，故 正确.故选. 15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为，高皆为的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离处的平面截这两个几何体，可横截得到及两截面.可以证明总成立.据此，短半轴长为1，长半轴长为3的椭球体的体积是 [解析]因为 总成立，所以半椭球体的体积为,所以椭球体的体积， 因为椭球体的短半轴长为1,长半轴长为3. 所以椭球体的体积 . 16. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子（如图1所示），其建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为，圆柱的高为，底面直径为.求： （1） 该蒙古包的侧面积； 解：由题意可知，，，. [答案] 圆锥部分的侧面积，圆柱部分的侧面积, 故该蒙古包的侧面积. （2） 该蒙古包的体积. [答案]圆锥部分的体积,圆柱部分的体积,故该蒙古包的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $$