精品解析：天津市双菱中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性检测（3月）数学试题

双菱中学高二年级数学学科第一次阶段性检测 一、单选题（本大题共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用导数运算律及求导公式计算判断A，C，再应用复合函数求导计算判断B，D. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项正确； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项错误. 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解. 【详解】， 令可得解得， 所以，所以， 故选:B. 3. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书4本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A. 21种 B. 252种 C. 143种 D. 127种 【答案】D 【解析】 【分析】根据两本书的各类分类讨论，由分类计数原理和分步计数原理计算． 【详解】由题意不同选法有． 故选：D． 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出导函数，再求出导数值，即可得到切线的斜率，从而得到切线的倾斜角. 【详解】因为，所以， 所以，所以曲线在点处的切线的斜率， 所以切线的倾斜角为. 故选：D. 5. 若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可. 【详解】函数的定义域为， ， 在定义域上单调递增等价于在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 分离参数得，所以，即. 【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可. 6. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再解不等式或得的单调性，根据的单调性，列出使得函数在上有最大值的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由题知，，， 由得，，由得或. 所以函数在上递减，在上递增，上递减， 若函数在上有最大值，则，解得. 故选：A． 7. 已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：D． 8. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　） A. 1440种 B. 960种 C. 720种 D. 480种 【答案】B 【解析】 【详解】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B． 9. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，由，可得，则直线与函数的图象有三个公共点，利用导数分析函数的单调性和极值，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】当时，无零点，所以. 由，可得，令，其中， 因为函数有三个零点， 所以直线与函数的图象有三个公共点， ，由，可得或，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 如下图所示： 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有三个公共点， 即有三个零点， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 10. 如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的展开式中各项系数之和为，令解得，得到其通项公式，再令x的指数为-2求解即可. 【详解】令，得展开式中各项系数之和为. 由，得， 通项公式为 令，得 所以的系数是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11. 函数的单调递增区间是_________ 【答案】 【解析】 【分析】先求函数定义域，再解不等式即可. 【详解】定义域为，，则， 则得；得， 则的单调递增区间为，递减区间为. 故答案为： 12. 已知是函数的一个极值点，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得，解方程，检验即可得出答案. 【详解】解：因为，所以. 又是的一个极值点，所以，解得或. 当时，，则无极值. 当时，，是的极小值点. 故答案为：. 13. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】． 【解析】 【分析】构造新函数，求导根据导数大于等于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以，所以在上是增函数， ，则上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以， 所以． 故答案为：． 14. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 15. 已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得. 【详解】∵，，使得成立， ∴． 由，得， 当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为． 又在上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为， ∴，即实数的取值范围是． 故答案为：. 三、简答题（本大题共4小题，共40分） 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求曲线过点的切线方程. 【答案】（1）；（2）或.. 【解析】 【分析】 （1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程； （2）设切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入点，解得切点坐标，进而得到切线方程. 【详解】(1)由题意得，所以 又因为，所以切线方程为 整理得. （2）或.设切点为， 因为切点在函数图像上，所以， 故曲线在该点处的切线为 因为切线过点， 所以 即. 解得或 当时，切点为，因为， 所以切线方程为， 当时，切点为，因为， 所以切线方程为 所以切线方程为或. 17. 已知函数，在处取得极值 （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据求出参数，的值； （2）由（1）可得，研究其在上的符号，进而确定的单调性，再求出闭区间上的最值. 【小问1详解】 由题设，，又处取得极值 所以，可得.经检验，满足题意. 【小问2详解】 由（1）知：， 在上，递增；在上，递减； 在上的最大值为， 而，，故在上的最小值为， 综上，上最大值为，最小值为. 18. 已知函数，其中是自然对数的底数，． （1）若，求的单调区间； （2）若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由可得出，构造函数，可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，因为，该函数的定义域为， ， 由可得或. ①当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； ②当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数的减区间为，无增区间； ③当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； 当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为. 【小问2详解】 解：当时，， 由可得，可得， 令，则， 由可得或，由可得. 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为， 因为函数、的图象有三个交点， 所以，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 已知函数，． （1）时，求函数在区间上的最值； （2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的符号判定函数单调性，进而求其最值； （2）作差分离常数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，构造，通过二次求导研究函数的单调性求其最值. 【小问1详解】 解：由题意，． 因为，所以当时，恒成立． 所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值为0； 当时，取得最小值为. 【小问2详解】 解：不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 设，． 则． 设， 则． ∵，∴，即． ∴函数在上单调递减， ∵，∴当时，，即． ∴函数在上单调递减． ∵当时，． ∴当时，有． ∴． ∴a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双菱中学高二年级数学学科第一次阶段性检测 一、单选题（本大题共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书4本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A. 21种 B. 252种 C. 143种 D. 127种 4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 5. 若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　） A. 1440种 B. 960种 C. 720种 D. 480种 9. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 10. 如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是______. 11. 函数的单调递增区间是_________ 12. 已知是函数的一个极值点，则____________. 13. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______． 14. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 15. 已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________. 三、简答题（本大题共4小题，共40分） 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求曲线过点的切线方程. 17. 已知函数，在处取得极值 （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值． 18. 已知函数，其中是自然对数的底数，． （1）若，求的单调区间； （2）若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）时，求函数在区间上的最值； （2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $