精品解析：河南省洛阳市新安县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年河南省洛阳市新安县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 对于非零实数，下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算即可判断求解，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 2. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 3. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即，且， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 4. 在中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①；②；③；④；⑤．其中，能判断为直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可． 【详解】①若，则，所以，所以是直角三角形，正确，符合题意； ②若，所以，所以是直角三角形，正确，符合题意； ③，最大角为，错误，不符合题意； ④若，设，则，则是直角三角形，正确，符合题意； ⑤若，，则是直角三角形，正确，符合题意； 故能判断为直角三角形的条件有：①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 6. 公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》的开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开．”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”“面”就是无理数．无理数中最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ） A. 可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B. 它是面积为2的正方形的边长 C. 可以用两个整数的比表示 D. 可以用反证法证明它不是有理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数与数轴、勾股定理、算术平方根、无理数的概念、反证法判断即可． 【详解】解：A．利用勾股定理，可以在数轴上找到唯一点与之对应，本选项说法正确，不符合题意； B．面积为2的正方形的边长为，本选项说法正确，不符合题意； C．是无理数，不可以用两个整数的比表示，本选项说法错误，符合题意； D．可以用反证法证明它不是有理数，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是无理数的概念、实数与数轴、反证法，掌握无理数的概念、反证法的一般步骤是解题的关键． 7. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵为直角三角形的三边，且。 ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键． 8. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 10. 如图，中，，，D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的是（    ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的识别图形是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到或，根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：①， ， ，， ， 故①正确； ②为中点，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ③， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 或为等腰三角形， ， ， ， ， 故③错误， ④， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 故选：D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 12. 为加强体育锻炼，增强学生体魄，九（1）班同学举办了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动项目．该班同学全员参与各活动项目（每人仅参与一项）（柱的高度从高到低排列）如图所示，已知条形统计图不小心被撕了一块，则条形统计图中（ ）内应填的体育活动项目是______． 【答案】足球 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，先求出总人数，再求出足球人数，继而得出另外两个项目的人数即可得出答案． 【详解】解：由扇形统计图知，总人数成（人）， 则足球人数为（人）， 所以篮球或跳绳的人数为16人， 则另一种体育活动项目的人数为（人）， 所以人数从高到低排列，位于第三的是足球项目， 故答案为：足球． 13. 已知a，b，c是三角形的三边长，且满足，则这个三角形的周长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式以及非负数的性质，熟练根据完全平方公式对原式进行变形是解题关键．根据一次项的系数将原式中常数项50拆分，分别与二次项构成完全平方式，从而分别配成完全平方，结合非负性分别求解即可． 【详解】解： 即： ． ∴这个三角形的周长为； 故答案为12 14. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质等，连接，可证，得到，进而得到，再求出的面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 【答案】25 【解析】 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：展开图为： 则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）, 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、整式的混合运算，熟练掌握相关知识点是关键． （1）根据算术平方根、立方根、去绝对值化简后再进行实数的加减运算即可； （2）根据积的乘方和幂的乘方运算法则化简后，再进行单项式的除法和乘法运算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算-化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解：， ， =， =， 当，时， 原式 18. 学校门口在学生上学、放学期间，经常出现拥堵现象．某数学学习小组为了解本校门口拥堵情况以及拥堵原因，随机抽取了部分家长（一名家长对应一名学生），并根据家长接送学生采用的交通工具调查结果绘制扇形统计图，如图所示： 交通工具 人数 步行 24 自行车 6 电动车 a 公共交通工具 6 私家车 b 请你根据以上信息解决下列问题： （1）被调查的家长总人数为 ． （2）表格中 ， ． （3）在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占 %；选择私家车接送学生的家长所对应的扇形圆心角的度数为 ． （4）针对此情况，对家长和学校各提一个合理的建议，以改善学校门口拥堵情况． 【答案】（1）200人 （2）84，80 （3）3， （4）给学校的建议：错峰放学；给家长的建议：减少私家车接送，尽量选择公交 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和统计表的综合应用．从统计图表中有效的获取信息是解题的关键． （1）利用步行的人数除以所占百分比求出总人数； （2）用总人数乘以电动车接送所占的百分比求出a的值，利用总人数减去其他方式的人数，求出b的值； （3）自行车接送学生的家长人数除以总人数，求出百分比，私家车接送学生的家长所占比例求出圆心角的度数； （4）合理即可． 【小问1详解】 解：被调查的家长总人数为（人）， 故答案为：200人； 【小问2详解】 解：（人）， （人）， ∴，； 故答案为：84，80； 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占， 选择私家车接送学生的家长所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：3，； 【小问4详解】 解：给学校的建议：错峰放学； 给家长的建议：减少私家车接送，尽量选择公交． 19. 如图，是等边三角形，D是的中点. （1）作图： ①过B作的平行线； ②过D作的垂线，分别交的延长线于E，F，G. （2）在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论. 【答案】（1） 解：作图如下：①如答图1；②如答图2. （2） （答案不唯一），证明如下： ∵， ∴， 又∵D是中点， ∴， 在与中， ∵， ∴. 【解析】 【分析】本题考查1作图（复杂作图）、全等三角形的判定、平行的性质； （1）根据平行线和垂线的作图方法作图. （2）根据作图方法，由可判定. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 问题背景：在中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网络就能计算它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上： ； （2）在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由． （3）在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数． 【答案】（1） （2）为直角三角形， 如图，即为所求． 为直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3） 图3，即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可． （2）借助网格，结合勾股定理画图，再利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论． （3）借助网格，利用勾股定理、勾股定理的逆定理按要求画图即可． 【小问1详解】 解：的面积为 故答案为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、无理数、二次根式的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. （1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2） （2）利用所学知识以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n） 【答案】（1）a3﹣b3；（2）（m﹣n）3. 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）利用分组分解法，先将前两项分为一组，根据（1）的立方差公式分解因式，再提公因式即可． 【详解】解：（1）原式=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3 =a3﹣b3； （2）原式=（m﹣n）（m2+mn+n2）﹣3mn（m﹣n） =（m﹣n）（m2﹣2mn+n2） =（m﹣n）3 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，熟练掌握立方差公式是关键． 22. 我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． （1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝ ；若，，则直角三角形的面积是 ______ ． （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？ 【答案】（1）5、； （2）图②的面积 又图②的面积 ∴ ∴，即； （3）5 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和三角形面积公式计算即可； （2）分别用不同的方式表示出梯形的面积，列出等式，根据整式的运算法则计算即可； （3）根据勾股定理计算. 【详解】（1）由勾股定理得，； ∵ ∴ ∵=9 ∴，解得 直角三角形面积= 故填：5、； （2）略 (3)由题意，知AF=AD=10，BC=AD=10，CD=AB=8， 在直角△ABF中，，即， ∴BF=6 又∵BC=10 ∴CF=BC−BF=10−6=4 设EF=x，则DE=x， ∴EC=DC−DE=8−x， 在直角△ECF中，， 即 解得 x=5，即EF=5. 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合运用，掌握梯形的面积公式、勾股定理以及翻折的性质是解题的关键. 23. （1）感知：如图1，平分，，，易知的数量关系为 ． （2）应用：如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点D作于点E，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）结论成立． 理由：如图中，作于E，于F． ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图中，连接． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）结论：．只要证明即可； （2）结论成立．如图②中，作于E，于F，只要证明即可； （3）如图③中，连接，作于F，首先证明，再证明即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （2）略； （3）略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省洛阳市新安县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 对于非零实数，下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 3. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 在中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①；②；③；④；⑤．其中，能判断为直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》的开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开．”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”“面”就是无理数．无理数中最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ） A. 可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B. 它是面积为2的正方形的边长 C. 可以用两个整数的比表示 D. 可以用反证法证明它不是有理数 7. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法确定 8. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 10. 如图，中，，，D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的是（    ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 填空：的平方根是___________． 12. 为加强体育锻炼，增强学生体魄，九（1）班同学举办了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动项目．该班同学全员参与各活动项目（每人仅参与一项）（柱的高度从高到低排列）如图所示，已知条形统计图不小心被撕了一块，则条形统计图中（ ）内应填的体育活动项目是______． 13. 已知a，b，c是三角形的三边长，且满足，则这个三角形的周长为______________． 14. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为_____． 15. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 学校门口在学生上学、放学期间，经常出现拥堵现象．某数学学习小组为了解本校门口拥堵情况以及拥堵原因，随机抽取了部分家长（一名家长对应一名学生），并根据家长接送学生采用的交通工具调查结果绘制扇形统计图，如图所示： 交通工具 人数 步行 24 自行车 6 电动车 a 公共交通工具 6 私家车 b 请你根据以上信息解决下列问题： （1）被调查的家长总人数为 ． （2）表格中 ， ． （3）在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占 %；选择私家车接送学生的家长所对应的扇形圆心角的度数为 ． （4）针对此情况，对家长和学校各提一个合理的建议，以改善学校门口拥堵情况． 19. 如图，是等边三角形，D是的中点. （1）作图： ①过B作的平行线； ②过D作的垂线，分别交的延长线于E，F，G. （2）在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论. 20. 问题背景：在中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网络就能计算它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上： ； （2）在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由． （3）在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数． 21. （1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2） （2）利用所学知识以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n） 22. 我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． （1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝ ；若，，则直角三角形的面积是 ______ ． （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？ 23. （1）感知：如图1，平分，，，易知的数量关系为 ． （2）应用：如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点D作于点E，试判断之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $