精品解析：安徽省合肥市高新区2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题

八年级数学 下册16.1-17.2 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. B. 2，1 C. 0，1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是， 故选A． 3. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故不符合题意； B．与不同类二次根式，故不符合题意； C．与不是同类二次根式，故不符合题意； D．与是同类二次根式，故符合题意． 故选D． 4. 若一元二次方程的一个根为，则的值是（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键； 根据m是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 已知算式的值介于整数和之间，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的加减，解题的关键是掌握无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数．化简后用夹逼法估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴． 故选B． 6. 已知某运动会中乒乓球比赛的赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），一共进行了21场比赛，若设有支球队参加比赛，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，解题的关键理解单循环形式的比赛规则． 根据赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了21场比赛，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解∶ 设有支球队参加比赛，则每队参加场比赛，根据题意得∶ 故选：B． 7. 已知等腰三角形的两边长分别为，则此等腰三角形的周长为（　　） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，二次根式的加减，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 根据等腰三角形的定义分类讨论即可． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为， 当腰长是，底边长为时， ∵，， ∴此时不能构成三角形； 当腰长是，底边长是时， ∵， ∴能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为， 故选：C ． 8. 若，则的值为（　　） A. 或1 B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键． 设，而，可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不符合题意舍去）； ∴， 故选：C 9. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键； 先根据数轴推出，，，据此计算算术平方根、乘方和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 详解】解：有数轴得，， ∴，， ∴， ． 故选∶B． 10. 《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作．其书中有一种几何方法可以解形如的方程的正数解，方法如下：如图，将四张长为、宽为的长方形纸片（面积均为27）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，因此大正方形的边长为12，故得的正数解为．小辉按此方法解关于的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为25，则的值是（　　） A. 36 B. 38 C. 41 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的几何解法，根据题目给出的条件、找出合适的等量关系、列出方程是解答本题的关键．根据题意将x的方程化为，即长方形的长为，宽为x，再依据大正方形的面积为169，小正方形的面积为25，用代数式表示出边长即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为169，小正方形的面积为25， ∴关于 x的方程 化为， ∴图中长方形的长为，宽为x ， ∴图中小正方形的边长是， 大正方形的边长是， ∴， ， ∴， 故 ，， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据x的最高次数是2，系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14. 在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为___________． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和长方形．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，求一个数的算术平方根，是解题的关键． （1）根据较小正方形的面积为8，根据正方形面积公式直接开方求出边长； （2）先根据两个空白部分的对称性得出它们面积相等，进而推出重叠部分是正方形，求出其边长。再通过空白部分面积和较小正方形边长求出空白长方形的宽和长，从而得到较大正方形边长和面积，最后用大正方形面积减去重叠部分面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）∵较小的正方形面积为8， ∴较小正方形的边长为， 故答案为：； （2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴； ②由①得，重叠部分也为正方形， ∵重叠部分的面积为3， ∴重叠部分的边长为， ∴一个空白长方形的宽为：， ∵两处空白部分的面积为：， ∴一个空白长方形面积为： ， ∴一个空白长方形的长为：， ∴较大正方形边长为：， ∴大正方形面积， ∴阴影部分的面积为 故答案为：；9． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的除法和化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可 【详解】解： 或 ∴ 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程的方法是解题的关键 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，求代数式的值． 【答案】57 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式； 把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 18. 对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： （1）计算：． （2）若的值为1，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 【小问2详解】 ∵ ， ∴， 即， ∴， 解得 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】（1） （2）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 。 （）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果，。 （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式然后，与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论. 【小问1详解】 解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为． 【小问2详解】 解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确． 20. 观察下列一组等式，然后解答问题：，， （1）计算：． （2）比较与的大小． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，二次根式比较大小，熟练掌握分母有理化是解本题的关键．分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． （1）归纳总结得到一般性规律，原式利用规律计算，即可求出式子的值； （2）分母有理化后用作差法比较即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ……， 第个等式为：， ∴ ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： （1）直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． （2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可； （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【小问1详解】 解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 设（m为常数）， 将原方程化为① 方程①整理，得 ② 令解得， 当时，， 方程②化为 解得 ，， ，． 七、（本题满分12分） 22. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． （1）请写出第6个等式：___________． （2）通过上面等式发现，任意一个正奇数，都可以写成相邻两个非负整数平方差．如果与是两个相邻的整数，其中，设，，试说明：． （3）如果与是两个相邻的整数，求的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）121 【解析】 【分析】此题考查了数字变化规律，二次根式的性质和运算，完全平方公式，观察数字变化寻找规律和掌握二次根式运算法则是解题的关键； （1）根据所给的式子得出变化规律即可解答； （2）根据，，得出则a，b．然后利用完全平方公式算出，即可得出结论； （3）根据（2）得出的关系，，进一步运算即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察前面给出的等式： 可以发现规律：第n个等式左边是，右边是． 那么第6个等式，，左边是，右边是． 所以第6个等式为：． 【小问2详解】 已知，，其中． 则，． 所以． 又因为， 所以． 【小问3详解】 已知与是两个相邻的整数， 设，则． 由前面的结论可知，．即， 移项得， 两边同时除以2得． 两边同时平方得． 八、（本题满分14分） 23. 配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值． 解：． ， ， 当时，取最大值，最大值是5． 试利用配方法解决下列问题： （1）求出的最小值． （2）已知，试判断大小，并说明理由． （3）如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？ 【答案】（1）． （2）．理由见解析 （3）时，四边形面积的最小值，最小面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方的非负性求出当的值为3时，的面积有最大，最大值为．由四边形的面积得到当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为，即的最小值为． 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为9，即：当的值为3时，的面积最大，最大值为． ∵四边形的面积， 当的面积最大时，四边形的面积有最小值， 即当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学 下册16.1-17.2 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. B. 2，1 C. 0，1 D. 3. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的一个根为，则的值是（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 5. 已知算式的值介于整数和之间，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知某运动会中乒乓球比赛赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），一共进行了21场比赛，若设有支球队参加比赛，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形的两边长分别为，则此等腰三角形的周长为（　　） A B. 或 C. D. 8. 若，则的值为（　　） A. 或1 B. C. 1 D. 3 9. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A. B. C. D. 10. 《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作．其书中有一种几何方法可以解形如的方程的正数解，方法如下：如图，将四张长为、宽为的长方形纸片（面积均为27）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，因此大正方形的边长为12，故得的正数解为．小辉按此方法解关于的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为25，则的值是（　　） A. 36 B. 38 C. 41 D. 45 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值是___________． 13. 若是一元二次方程的根，则的值为___________． 14. 在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为___________． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，求代数式的值． 18. 对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： （1）计算：． （2）若的值为1，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 20. 观察下列一组等式，然后解答问题：，， （1）计算：． （2）比较与的大小． 六、（本题满分12分） 21 阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： （1）直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． （2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 七、（本题满分12分） 22. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． （1）请写出第6个等式：___________． （2）通过上面等式发现，任意一个正奇数，都可以写成相邻两个非负整数的平方差．如果与是两个相邻的整数，其中，设，，试说明：． （3）如果与是两个相邻的整数，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值． 解：． ， ， 当时，取最大值，最大值是5． 试利用配方法解决下列问题： （1）求出的最小值． （2）已知，试判断的大小，并说明理由． （3）如图，在中，，，，，分别是线段和上动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$