山东省郓城第一中学2024-2025学年高二上学期数学期末测试题(一)

高二上学期期末测试题(一) 高二上学期期末测试题(一) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在四面体中，，，，点在上，且满足，为的中点，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为(    ) A. B. C. D. 3.已知，，过点的直线与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是(    ) A. 或 B. C. D. 或 4.“”是直线与直线平行的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知，是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 6.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为(    ) A. B. C. D. 7.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石(    ) A. 块 B. 块 C. 块 D. 块 8.已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在棱长为的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是(    ) A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 平面 10.已知：，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，则(    ) A. 当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆 B. 当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线 C. 当时，点的轨迹为一条直线 D. 当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线 11.已知数列的前项和，则下列说法正确的是(    ) A. B. 为中的最大项 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，当，，不共线时，面积的最大值是          ． 14.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的集合是          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． 求证：平面； 求证：平面； 求平面与平面 的 夹角的大小． 16.本小题分 已知圆：，直线：，． 求证：对，直线与圆总有两个不同的交点、； 求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； 是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 17.本小题分 已知椭圆：的离心率为，，，，，的面积为． 求椭圆的方程； 设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点求证：为定值． 18.本小题分 已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列． 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和． 19.本小题分 已知数列是首项为的等比数列，公比，且是和的等差中项． 求的通项公式； 设数列满足，求的前项和． 高二上学期期末测试题(一) 答案和解析 1.【答案】  【解析】如图，连接， 是的中点，， ，， ． 故选：． 2.【答案】  【解析】向量， ， ， 向量在向量方向上的投影向量的模为． 故选D． 3.【答案】  【解析】因为，，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为直线过点与线段不相交， 所以， 即的取值范围是． 故选：． 4.【答案】  【解析】当时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是，，显然两直线是重合的，舍去． 当时，两直线的斜率都存在，且它们的斜率相等， 则，解得：． 经验证，时，两直线不重合，符合条件． 综上，， 所以“”是直线与直线平行的充要条件． 5.【答案】  【解析】由题意可知：，，， 直线的方程为：， 由，， 则， 代入直线的方程得，整理得：， 离心率． 故答案选：． 6.【答案】  【解析】抛物线的焦点坐标为， 则直线的方程为， 双曲线的方程为的渐近线方程为， 的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直， ，， ，， 双曲线的方程为， 故选：． 7.【答案】  【解析】设每一层有环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，， 由等差数列性质知，，成等差数列，且， 则，得， 则三层共有扇形面石板为 故选C． 8.【答案】  【解析】由题知 ， 又，故， 则． 9.【答案】  【解析】在棱长为的正方体中，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： E、、分别为、、的中点， 则，，，，，，， 对于：，， ，故A错误； 对于：，， 设直线与所成角为， ，， 故直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于：，故C错误； 对于：连接、， ， 、、、四点共面， ，平面，平面， 平面，故D正确， 故选：． 10.【答案】  【解析】不妨设点，则， 对于选项A： 若，则， 即，此时， 所以此时对应的轨迹为椭圆，除去、两点，所以选项A正确． 对于选项B： ，则，整理得 ，， 所以此时对应的轨迹为双曲线，除去、两点，所以选项B正确． 对于选项C： ，则，整理得 ，， 所以此时对应的轨迹为两条射线，所以选项C错误； 对于选项D： 当，则，整理得 ，即， 所以此时对应的轨迹为抛物线除去、两点，所以选项D正确． 11.【答案】  【解析】对于：当  时，  ； 当  时，  ， 经检验，当  时，  ， 故  ，A正确； 对于：令  ，则  ， 故当  时，  ，故  和  为  中的最大项，B错误； 对于：  ，C正确； 对于：   ，D错误． 故选： 12.【答案】  【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，， ，，． 设平面的法向量为，则，即 令，得，  点至平面的距离为． 13.【答案】  【解析】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则，， 设， 因为满足， 所以， 两边平方并整理得， 即， 所以点的轨迹为圆， 要使的面积最大，只需点到轴的距离最大，最大距离为， 此时面积为， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】由， 因为为整数且， 所以，，． 故答案为． 15.【答案】解：侧棱底面，而，底面，故，， 底面是正方形，故AD， 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设  ． 依题意得  ，  ，  ，  ． 所以  ，  ，  ． 设平面的一个法向量为  ， 则有  即  取  ，则  ， 因为  平面，因此  平面． 解：依题意得  ， 因为  ， 所以  ． 由已知  ，且  ，，平面， 所以  平面． 解：依题意得  ，且  ，  ． 设平面的一个法向量为  ， 则  即  ， 取  ． 同理可得 的 一个法向量为  ， 所以  ． 所以平面与平面的夹角为  ．   【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的向量求法，考查空间角的向量求法，属于中档题． 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为  ，由  证明； 由  ，结合  ，利用线面垂直的判定定理证明； 求得平面的一个法向量为  ，同理可得平面的一个法向量为  ，由  求解． 16.【答案】证明：圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线：的距离． 所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点； 解：设弦的中点为， 因为直线：恒过定点， 可知直线的斜率存在， 所以， 化简得：， 它是一个以为圆心，以为半径的圆，且不含点； 解：假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为， 由于圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 化简得，解得或．  【解析】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，与圆有关的轨迹问题，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是较难题． 由圆心到直线：的距离，即可得解； 设弦的中点为，直线恒过定点，分为直线的斜率存在和不存在，进行求解即可； 利用圆心到直线的距离为，求出的范围． 17.【答案】解：Ⅰ由题意可得， 又的面积为，可得， 且， 解得，，， 可得椭圆的方程为； Ⅱ设椭圆上点， 可得，， 当时， 直线：，令，可得， 则； 直线：，令，可得， 则 可得 ， 当时，由题意得，则， 则为定值．  18.【答案】解：由题意，， 在等差数列中，设公差为， 由，得，则， 又，，成等比数列， ，，成等比数列，得， 即，得， ，， 数列的通项公式为：． 由题意及得，，在数列中，， 在数列中，， ， ，， 两式相减得 ， ．  19.【答案】解：由题可知数列是首项为的等比数列，公比，且是和的等差中项， 故，即， 即有，解得舍去， 由，可得的通项公式； 由可得 ， 则 ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$