精品解析：山东省枣庄第三中学2024-2025学年高二下学期3月质量检测考试数学试题.

枣庄三中2024~2025学年度高二年级3月质量检测考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，有且只有一个选项符合题目要求． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解. 【详解】根据题意，， ， 则. 故选：B. 2. 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解. 【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数， 百位上的数字有除0外的5种选法， 十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法， 个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法， 所以总共有种不同的三位数， 故选：C 3. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象得出其单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，然后即可解出不等式. 【详解】由的图象可得出在上大于0 在上小于0 所以的解集为 故选：C 【点睛】本题考查的是函数的单调性与导数的关系，较简单. 4. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 5. 若曲线与直线相切，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线方程列式求解. 【详解】直线，即， 对于，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 由题意可得，解得. 故选：B. 6. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，得，代入曲线， 所以的最小值即为点到直线的距离. 故选：B. 7. 函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数可判断的单调性，再根据，求得，再根据不等式，结合函数的单调性，即可求出结果． 【详解】∵，都有成立，∴， 令，则于是有 ， 所以在上单调递增， ∵，∴， ∵不等式， ∴，即不等式解集是. 故选：B． 8. 已知函数，，若，，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意构造函数，得到，化为，借助导数求函数的单调性，从而确定函数的最小值即可. 【详解】因，，使得，所以， 即，令，， 则，所以函数在上单调递增，所以，即， 所以，令，，则，令，可得， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值即最小值，，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式： 积型：，①，构建； ②，构建； 商型：，①，构建； ②，构建； 和型：，①，构建； ②，构建. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 共有不同的安排方法有种 B. 若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理一一计算可得； 【详解】解：根据题意， 对于A：，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 每个学生有4种选法，则三个学生有种选法，故A正确； 对于B：三人到4个工厂，有种情况，其中甲工厂没有人去， 即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有种， 则工厂甲必须有同学去的安排方法有种，故B正确； 对于C：若同学必须去工厂甲，剩下2名同学安排到4个工厂即可， 有种安排方法，故C错误； 对于D：若三名同学所选工厂各不相同，有种安排方法，故D正确； 故选：ABD． 10. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对称中心是，结合题中“拐点”的定义，求出和的值，再通过求导画出函数的图象，结合图象，判断各选项即可. 【详解】对于A中，由，可得，则， 因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知， 且，解得，所以A正确； 对于B中，由，可知，则， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，则函数图象如图所示， 由图象可知，函数只有一个零点，所以B错误； 对于C中，因为，所以点恰好在的图象上， 画出函数的切线，如图所示， 由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确； 对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是， 所以且，解得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 若是的极值点，则在上单调递减 C. 对任意的，存在，使得 D. 函数的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数求导函数，分两种情况分别得出函数单调性及零点判断A，B，C，最后根据单调性判断最值判断D. 【详解】，当单调递增； 当时，在上，单调递增；在上，单调递减； 由题意知：若有两个零点，则，且，解得， 又时，时，，此时有两个零点，A正确． 若是的极值点，则，故在单调递减，B正确； 当时，在上，单调递增；在上，单调递减； 故，当，即时，无零点，故C错误； ，当时，单调递增，无最大值，故D错误； 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上） 12. 如图所示，用4种不同的颜色分别给，，，四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有______种． 【答案】48 【解析】 【分析】通过适当分步，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】事件给4个区域涂色可分为4步完成， 第一步，给A区域涂色，有4种颜色可选； 第二步，给B区域涂色，有3种颜色可选； 第三步，给C区域涂色，有2种颜色可选； 第四步，给D区域涂色，由于D区域可以重复使用区域B中已有过的颜色，故也有2种颜色可选． 由分步计数原理知，共有（种）涂色方法． 故答案为：. 13. 已知在处有极小值为, 求 __________. 【答案】15 【解析】 【详解】∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2 ∴f'（x）=3x2+2ax+b， 又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10， 当a=4，b=﹣11时， ，f（x）在 在（1，+∞）↑ ∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10； 当a=﹣3，b=3时，f'（x）=3（x﹣1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值． ∴a=4，b=﹣11；且f（1）=10是极小值． 此时 故答案为15. 点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，通过解方程组，可以求出两组满足条件的a，b的值，其中一组可导致f（x）在R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点． 14. 若直线是曲线与曲线的公切线，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【详解】由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故答案为：5． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在[0，3]的最值． 【答案】（1）减区间为，增区间为和 （2）， 【解析】 【分析】（1）求导并判断导函数分别为正，负的区间； （2）根据导函数，判断原函数的图像的单调性，并考虑端点和极大值点取最大值，端点和极小值点处取最小值. 【小问1详解】 的定义域为R， 令，解得或 x 1 ＋ 0 － 0 ＋ 极大 极小 所以减区间为，增区间为和 【小问2详解】 因为在单调递减，在上单调递增， ∴当时， 又∵， ∴当时， 16. 已知函数. （1）若在处的切线与直线垂直，求实数m的值； （2）若，求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意，列出方程，即可求解； （2）由，得到，求得，得出函数的单调区间，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 可得，即在处的切线的斜率为， 因为在处的切线与直线垂直， 可得，解得. 【小问2详解】 解：若，可得，所以，其中， 可得，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 分析】（1）求出导函数，对m分类讨论：和两种情况，研究单调性即可； （2）先求出，构造函数，再用导数证明即可. 【详解】解：（1）定义域为： ， 当时，在上递减； 当时，令，则， 当递减；当递增； 在上递减，在上递增， 综上所述：当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增. （2）因为 由（1）可知：在上递减，在上递增. ， 令，则 所以，在上为增函数， 所以 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. （4）利用导数证明不等式. 18. 已知函数.（其中为常数） （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，试讨论函数零点个数，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）只有1个，理由见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程； （2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解； （3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数. 【小问1详解】 解：当时，可得， 可得，所以且， 所以切线方程为，即， 即曲线所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 极小值 ↗ 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 【小问3详解】 解：当时，，令，解得（舍去） 所以函数在上有一个零点； 当 时，与在区间的情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 ↗ 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点. 【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （3）利用分离参数可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由已知条件得， 在点处的切线斜率为， 即， 【小问2详解】 的定义域为, ， 若，则，则在上单调递增； 若，由得，由得， 则单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 由得， 整理得， 当时，，即 令，则. 令，由（2）知，函数在上单调递增， 其中，， ∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即， ∴在上，在上， ∴在上，在上， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为， 又∵，∴，即， ∴，且为整数， ∴的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 枣庄三中2024~2025学年度高二年级3月质量检测考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，有且只有一个选项符合题目要求． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 3. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A B. C. D. 5. 若曲线与直线相切，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ） A B. C. D. 7. 函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确是（ ） A. 共有不同的安排方法有种 B. 若甲工厂必须有同学去，则不同安排方法有37种 C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 10. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 若是的极值点，则在上单调递减 C. 对任意的，存在，使得 D. 函数的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上） 12. 如图所示，用4种不同的颜色分别给，，，四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有______种． 13. 已知在处有极小值为, 求 __________. 14. 若直线是曲线与曲线公切线，则______． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在[0，3]的最值． 16. 已知函数. （1）若在处的切线与直线垂直，求实数m的值； （2）若，求函数的极值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 18. 已知函数.（其中为常数） （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$