精品解析：江苏省泰州市海陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

海陵区2024~2025学年度第一学期期末学业质量监测试卷九年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用特殊角的三角函数的值，求出结果即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的值，熟记各特殊角的三角函数的值是解题的关键． 2. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解题的关键． 直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵共有9个小正方形，黑色的有3块， ∴击中黑色小正方形的概率． 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可判断． 【详解】解：可变形为：， 再变形可得：， 所以方程的左边一定是，选项中符合题意得只有D选项， 故选：D． 4. 如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，特殊的三角函数值，能够想清楚会有两种情况是解题关键； 如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，设与交于点，可知，，先通过三角函数值可知，得到，进而再对P点进行两种情况分析即可得到结果． 【详解】解：如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，设与交于点，可知，， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∵动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时， ∴的运动速度为， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 同理可知， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 综上点运动的时间为或． 故选：A． 5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么下列判断中错误的是（ ） ．．． 1 2 3 4 ．．． ．．． ．．． A. 该函数图像的顶点坐标是 B. 当时，随着的增大而增大 C. 当时， D. 该函数图像与轴交于正半轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据表格数据可得出二次函数的对称轴直线为，进而可得出顶点坐标是，时y随x增大而增大，由二次函数的对称性可得出当时，，进而可得出该函数图象与轴交于负半轴． 【详解】解：当和3，时， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴该函数图象的顶点坐标是，故选项A不符合题意； 由表可得时y随x增大而增大，故选项B不符合题意； ∵当时，， ∵ ∴当时，，故选项C不符合题意 ∴该函数图象与y轴的交点坐标为， 则该函数图象与轴交于负半轴，故选项D符合题意， 故选：D． 6. 如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例性质．根据比例的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 若一组数据的众数为3，则这组数据的中位数是______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先利用众数求出m的值，再利用中位数的求法即可解答． 【详解】解：∵一组数据的众数为3， ∴， ∴这组数据为：， ∴中位数为：， 故答案为： ． 9. 当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为_____时，看上去比较和谐（结果精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了黄金分割．利用黄金分割的概念进行解答，特别是利用黄金比进行计算，按照题意宽与高等于黄金比，可得得宽高，即可得到答案． 【详解】解：∵宽与高的比是黄金比，设窗户的宽为x米， ∴宽高， ∴， 解得， 故答案为： ． 10. 已知一元二次方程有两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为_____________cm2． 【答案】18π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】底面周长=6π， 圆锥的侧面积=×6π×6=18πcm2． 故答案为：18π 考点：圆锥的侧面积 12. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键． 设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升高度为米， ∵斜坡的坡度， ∴汽车前进的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为米， 故答案为：． 13. 如图，的弦、相交于点，，为，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为， ∴， ∵根据三角形的外角性质可知， ∴， 故答案为：100． 14. 如图，矩形的四个顶点在等腰的边上，，则矩形面积的最大值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】作于点，交于点，因为，，所以，则，由，证明，得，设矩形的面积为，，则，求得，所以，当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作于点，交于点，， ，， ， ， 矩形的边在上，顶点、分别在、上， ∴， ，， ， ， 设矩形的面积为，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 整理得， ， 当时，， 矩形面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了重心以及正切的求法，熟练掌握基本概念是解题关键； 连接并延长与交于点，先利用重心的性质可得，，再通过直角等腰三角形性质可知，进而再通过正切的定义即可求解． 【详解】解：连接并延长与交于点，如图， ∵为重心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为： ． 16. 正方形的边长为3，点是上一点，，连接，点是正方形边上一点，与相交于点．若，则___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了正方形基本性质，全等三角形基本性质，勾股定理等知识点，能够正确做出图形是解题关键； 先画出图形，然后确定好F点有两种情况，然后分别对每种情况进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长为3，，， ∴， 如图①，当在上时， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图②，当点在上，∵， ∴， ∴， 连接，可知四边形为矩形， ∴， 综上，的长为：或 ． 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程利用平方根定义开方即可求出解；； （2）利用零指数幂法则，立方根，绝对值，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 开方得：， 解得：． （2）原式 ． 18. 4张相同的卡片正面分别写有中国二十四节气中的“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”的字样，将卡片的背面朝上． （1）洗匀后从中随机抽取1张卡片，抽到“立春”的概率为_______； （2）洗匀后从中随机抽取2张卡片，用树状图或列表的方法，求抽到“雨水”和“春分”的概率（画图或列表时可将“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”分别用A、B、C、D表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用树状图法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得洗匀后从中随机抽取2张卡片的所有等可能的结果，再找出抽到“雨水”和“春分”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：因为洗匀后从中随机抽取1张卡片共有4种等可能的结果， 所以洗匀后从中随机抽取1张卡片，抽到“立春”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，洗匀后从中随机抽取2张卡片共有12种等可能的结果，其中，抽到“雨水”和“春分”的结果有2种， 所以抽到“雨水”和“春分”的概率为， 答：抽到“雨水”和“春分”的概率为． 19. 为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 8.6 乙 96 96 （1）_______，________； （2）你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； （3）若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1），； （2）选择甲，理由见解析 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查中位数，方差等知识点，熟练掌握基本公式和知识点是解题关键； （1）先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可；直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可； （2）可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可； （3）根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题． 【小问1详解】 解：甲的成绩从低到高依次为：， 其中位数为：， 乙的所有成绩为：， ∴其方差为： 【小问2详解】 解：选择甲，甲的成绩呈上升趋势，甲的最好成绩比乙高，甲比乙的高分次数多；选择乙，乙的方差较小，乙的成绩更稳定（答案不唯一，言之有理即可）； 【小问3详解】 解：若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则所有的成绩离平均成绩的差都会减少，故甲这10次成绩的方差将变小． 20. 如图，等边的边长为2，点在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）利用等边三角形的性质得到，再根据等角的补角相等得到，即可证得； （2）根据（1）中，得到，求得，又证明，进而得到的长． 【小问1详解】 证明：∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵等边边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 泰州文峰塔，又名南山寺塔，是“海陵八景”之一、为测量文峰塔（即图中）的高度，数学社团同学采用如下方法：在点处测得塔顶点的仰角为，然后沿着正对塔身方向前进了米至点，此时测得点的仰角为，点在同一平面内，点在上，且，请根据测量数据，求文峰塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】文峰塔高 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．根据等腰三角形的判定可得，设，则，根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：，，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 答：文峰塔高． 22. 泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． （1）如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； （2）每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 【答案】（1）， （2）每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价下降x元时，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元， 平均每天可卖出礼盒份； 小问2详解】 解：设每份礼盒售价下降x元， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去） 故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元． 23. 已知二次函数（其中为常数）． （1）若该函数图像经过点和，求的值； （2）若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； （3）若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 【答案】（1） （2）只有一个公共点，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题以及二次函数的图像和性质等知识． （1）利用待定系数法求解即可． （2）根据根的判别式判断即可． （3）法一：把两点分别代入二次函数得出和，然后做差即可比较． 法二：利用二次函数的图像和性质比较即可． 【小问1详解】 解：将和代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：， ， 图像与轴只有一个公共点． 【小问3详解】 解：法一： 由题意知 法二：对称轴为， 与关于对称轴对称， ∴当时，随着的增大而增大， ． ∴． 24. 已知是的直径，点在上． （1）如图1，若，点在上，，延长到点，使得．证明： ①点为的中点； ②直线是的切线； （2）如图2，若，仅使用圆规作的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①如图1，连接、，证明出是等边三角形，得到，然后由得到，进而求解即可； ②首先证明出是等边三角形，得到，然后由得到，进而得到，即可得到是的切线； （2）如图2，以为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧交于点． 【小问1详解】 ①如图1，连接、． ，， 是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ，即点为的中点； ②， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 如图所示，点即为所求． 证明：如图，连接，， 根据题意得， ∴四边形是菱形 ∴平分，即 ∴ ∴点D为的中点． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，切线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在第三象限，抛物线与轴，轴分别交于点． （1）直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当抛物线的对称轴在轴左侧时，求的取值范围； （3）连接，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的图象和性质，和与几何图形结合的综合能力，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． （1）由抛物线的表达式即可求解； （2）由题意得∶抛物线的对称轴为直线，解得，再由顶点在第三象限，确定的取值范围． （3）先得出坐标，可求得：的长，由勾股定理逆定理，可得是等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是抛物线的顶点， ∴． 【小问2详解】 解：， 其对称轴为直线， 抛物线的对称轴在轴的左侧， ，解得：， 又顶点在第三象限， ， 的取值范围． 【小问3详解】 证明：方法一：连接， 求得， 又， 可求得， 且， 于是和中，， ， ， 又， ， 即：； 方法二：连接， 由，求得： ，由，且， 是等腰直角三角形，且， ． 26. 在中，，在射线上有一个动点，作的垂直平分线，垂足为．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接． （1）如图1，求的值； （2）如图1，当，点，，在同一直线上时，________，_______； （3）如图2，在点和点的运动过程中，若，求的值； （4）如图3，在点和点的运动过程中，若，求证：． 【答案】（1） （2）， （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）作于点，先利用垂直平分线性质以及勾股定理求出的长度，再通过正切的计算即可； （2）作的垂直平分线，先根据垂直平分线性质证得，进而，通过比例式可求出，再证，再利用比例式即可求出； （3）作于点，连接交直线于点，同理先证，通过角度进而可知，得到与重合，再证得，再通过比例式变形即可得到结果； （4）作于点，作于点，设，用表示出，再通过勾股定理计算即可得证． 【小问1详解】 解：如图1，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵作的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵作于点，作的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 如图，作于点，连接交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴此时三点共线，与重合， 又，的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 变形得， ∴ 【小问4详解】 证明：如图，作于点，作于点， 易知四边形为矩形， ∴， 设，则， ∵，垂直平分， ∴为直角等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值为2， ∴． 【点睛】本题考查了正切，相似三角形，垂直平分线性质，勾股定理等知识点，综合程度较大，能够正确做出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海陵区2024~2025学年度第一学期期末学业质量监测试卷九年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么下列判断中错误的是（ ） ．．． 1 2 3 4 ．．． ．．． ．．． A. 该函数图像顶点坐标是 B. 当时，随着增大而增大 C. 当时， D. 该函数图像与轴交于正半轴 6. 如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如果，那么______． 8. 若一组数据的众数为3，则这组数据的中位数是______． 9. 当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为_____时，看上去比较和谐（结果精确到0.01）． 10. 已知一元二次方程有两个实数根，则______． 11. 已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为_____________cm2． 12. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 13. 如图，的弦、相交于点，，为，则___________°． 14. 如图，矩形的四个顶点在等腰的边上，，则矩形面积的最大值为_________． 15. 如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为___________． 16. 正方形的边长为3，点是上一点，，连接，点是正方形边上一点，与相交于点．若，则___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 4张相同的卡片正面分别写有中国二十四节气中的“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”的字样，将卡片的背面朝上． （1）洗匀后从中随机抽取1张卡片，抽到“立春”概率为_______； （2）洗匀后从中随机抽取2张卡片，用树状图或列表的方法，求抽到“雨水”和“春分”的概率（画图或列表时可将“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”分别用A、B、C、D表示）． 19. 为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 8.6 乙 96 96 （1）_______，________； （2）你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； （3）若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）． 20. 如图，等边的边长为2，点在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 泰州文峰塔，又名南山寺塔，是“海陵八景”之一、为测量文峰塔（即图中）的高度，数学社团同学采用如下方法：在点处测得塔顶点的仰角为，然后沿着正对塔身方向前进了米至点，此时测得点的仰角为，点在同一平面内，点在上，且，请根据测量数据，求文峰塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 22. 泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． （1）如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； （2）每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 23. 已知二次函数（其中为常数）． （1）若该函数图像经过点和，求值； （2）若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； （3）若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 24. 已知是的直径，点在上． （1）如图1，若，点在上，，延长到点，使得．证明： ①点为的中点； ②直线是的切线； （2）如图2，若，仅使用圆规作的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在第三象限，抛物线与轴，轴分别交于点． （1）直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当抛物线对称轴在轴左侧时，求的取值范围； （3）连接，求证：． 26. 在中，，在射线上有一个动点，作的垂直平分线，垂足为．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接． （1）如图1，求的值； （2）如图1，当，点，，在同一直线上时，________，_______； （3）如图2，在点和点的运动过程中，若，求的值； （4）如图3，在点和点的运动过程中，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$