精品解析：山东省 临沂市实验中学（北校）2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试题

2025年临沂市实验北九年级3月月考 （时间：120分钟，满分：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 经文化和旅游部数据中心测算，今年“五一”假期，全国国内旅游出游合计2．74亿人次，实现国内旅游收入亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键． 4. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】 解①得， 解②得， 不等式组的解集为，在数轴上表示为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别求得和，再进行判断即可． 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数中y随着x的增大而减小， ∴， ∴， ∵，， ∴该图像不经过的象限是第一象限， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 7. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键． 8. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为实际每天种植比原计划多，设原计划每天植树万棵，则实际每天种植棵，直接利用种植树木提前5天完成任务，表示出所有时间即可得出等式．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键． 【详解】解：设原计划每天植树万棵， 依题意可列方程是：． 故选：A． 9. 抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口向上可知，当时，因而，故该结论正确；由抛物线与轴有两个交点可知，一元二次方程有两个不相等的实数根，因而可得，即，故该结论错误；由与是关于对称轴的对称点可知，与时的函数值相等，而时，因而时，故该结论错误；由抛物线对称轴为直线可得，而时，即，故该结论正确；当时，取得其最小值，而当时，因而可得，即， 故该结论正确；综上，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 当时，， ， ， 故结论正确； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故结论错误； 与是关于对称轴的对称点， 由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等， 当时，， 当时，， 故结论错误； 抛物线对称轴为直线， ， 当时，， 即： ， 故结论正确； 当时，取得其最小值，此时， 而当时，， ， 整理，得：， 故结论正确； 综上，正确的结论有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，求函数值，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式，轴对称的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及其与一元二次方程的关系是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时；②当点P在上运动，点Q在上运动，即时；③当点P在上运动，点Q在上运动，即时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可． 【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时，此时， ∴； ②如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时， ∴； ③如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时， ∴， ∴ , ＝； 综上，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________． 【答案】a≥－2且a≠0 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案. 【详解】根据题意得：，解得：a≥－2且a≠0. 故答案为a≥－2且a≠0. 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，属于基础题型，掌握基本知识是解题的关键. 13. 已知：，求代数式的值________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，掌握整体代入是解答的关键．先由条件得到，然后把代数式变形为，然后整体代入解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可． 【详解】解：连接PB， 对于抛物线y=-x2+k， 对称轴是y轴， ∴PC=PB， ∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长， ∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3）， ∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4， 把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2， 所以点B的坐标为（-2，0）， 所以BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键． 15. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则_________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值．根据题目中的数据可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到 的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 故答案为：2025． 三、解答题（共6小题，共计70分） 16. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，分母有理化，正确计算，掌握运算法则和解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，将其化为整式方程求解，再检验即可； （2）首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得， 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 检验：当时，． 原分式方程的解是； （2）解：原式 ， 当时，原式； 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，，求出的面积． 【答案】（1）一次函数表达式，反比例函数表达式 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再求出的坐标，把的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （2））求出一次函数与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得， ∴反比例函数的表达式是， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：如图，设一次函数的图象与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴． 18. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买2根A种跳绳和1根B种跳绳共需80元；购买4根A种跳绳和3根B种跳绳共需190元． （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买A，B两种跳绳共60根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，要使此次购买跳绳的费用最少，A种跳绳和B种跳绳各需购买多少根？购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】（1）A种跳绳和B种跳绳的单价分别为25元和30元 （2）购买A种跳绳20根，购买B种跳绳40根，总费用最少，最少费用为1700元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键． （1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 设A种跳绳和B种跳绳的单价分别为x元，y元， 根据题意得： ， 解得 ， 答：A种跳绳和B种跳绳的单价分别为25元和30元； 【小问2详解】 设购买A种跳绳m根，购买的总费用为w元，则购买B种跳绳根， 根据题意，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，W取最小值，最小值为， 此时，， 故购买A种跳绳20根，购买B种跳绳40根，总费用最少，最少费用为1700元． 答：购买A种跳绳20根，购买B种跳绳40根，总费用最少，最少费用为1700元． 19. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】（1）图见解析 （2）①左，1；②B （3）①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【解析】 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【小问1详解】 描点、连线画出函数图象如图所示： 【小问2详解】 ①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B 【小问3详解】 ①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 20. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 【答案】（1） （2）球不能射进球门，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律： （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：依题意，当时，， 球不能射进球门． 【小问3详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 21. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，抛物线与轴交点个数由决定．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴抛物线解析式为， 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得， 解得， ∴“三倍点”坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，对称轴是直线, ①当即时， ， ②当即时， 若即， 则， 若即， 则， ③当时， ， 综上，当时，， 当时，． 【小问3详解】 由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得， 综上，的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年临沂市实验北九年级3月月考 （时间：120分钟，满分：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 经文化和旅游部数据中心测算，今年“五一”假期，全国国内旅游出游合计2．74亿人次，实现国内旅游收入亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：________． 12. 要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________． 13. 已知：，求代数式的值________． 14. 如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 15. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则_________． 三、解答题（共6小题，共计70分） 16. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，，求出的面积． 18. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买2根A种跳绳和1根B种跳绳共需80元；购买4根A种跳绳和3根B种跳绳共需190元． （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买A，B两种跳绳共60根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，要使此次购买跳绳的费用最少，A种跳绳和B种跳绳各需购买多少根？购买跳绳所需最少费用是多少元？ 19. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 20. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 21. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $