2.2 二元一次方程组和它的解（讲练）（7大题46题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 注意：（1）二元一次方程组一共要含有两个未知数，并不是每个方程都必须含有两个未知数。 （2）若每个方程都含有两个未知数，则这两个方程中的两个未知数必须相同，即方程组的各个方程中，同一个字母表示的是同一个数量。 【基础练习】 【练习1-1】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二元一次方程组的解的概念 二元一次方程组的解的写法 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。（公共解指同时满足方程组中的两个方程） 二元一次方程组的解要用大括号联立表示，如方程组的解为. 提示：(1)方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中某一个方程的解不一定是这个方程组的解.(2)一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况。 【基础练习】 【练习2-1】方程组的解为 A． B． C． D． 【练习2-2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【典例】下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 注意：二元一次方程组中一共含两个未知数，而不是每个方程都必须有两个未知数. 归纳：二元一次方程组有三个明显特征：(1)含有两个一次方程；(2)共含有两个未知数;(3)方程组中的每个方程都是整式方程. 【典例】已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组的解是______． 【变式2-1】四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 方法技巧：用代入验证法判断方程组的解 判断一对数值是否为某个二元一次方程组的解，最常用的方法是代入验证法，只有当这对数值同时满足方程组中的每一个方程时，才能说这对数值是此方程组的解，否则它不是此方程组的解. 【典例】关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 【变式3-1】已知是方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．25 D．﹣25 【变式3-2】已知是二元一次方程组的解，则______． 【典例】已知关于x，y的方程组是二元一次方程组，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3 【变式4-1】若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　． 【变式4-2】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【典例】甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组. 【变式5-1】甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了②中的b，解得试求的值. 【变式5-2】小明在解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的n，他得到的解为小红也粗心，看错了方程组中的m，她得到的解为，求原方程组． 提示:因看错一个方程而求出的方程组的错解，它仍是方程组中另一个没有看错的方程的解，因此可以将这组解代入没看错的方程求解相关问题. 【典例】篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果： 胜 负 合计 场数 y 10 积分 16 表中x，y满足的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】某校九年级两个班的师生一起到某区教育基地进行社会大课堂活动，该基地成人门票120元/人，学生门票98元/人，已知该校此次活动共支付6720元，且该校学生人数比教师人数9倍少3人，请问该校教师和学生各有几人？若设教师有x人，学生有y人，则根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，由长方形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分(阴影)的面积是5,广告牌所占的面积是30(厚度忽略不计)，除重叠部分外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3，设长方形面积是x,三角形面积是y，则根据题意，可列出二元一次方程组为(    ) A． B． C． D． 点拨： 列二元一次方程组同列一元一次方程类似，不同的是列二元一次方程组要设两个未知数，并找出问题中的两个等量关系. 【典例】我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【变式】如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． （1）下列方程组是和谐方程组的是（　　） A．；B．；C．． （2）请你补全和谐方程组，并求解． 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 3．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．5，1 D．2，4 4．若关于，的二元一次方程组的解为，则“”可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2024•四川成都中考真题） 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程组中，有无数组解的是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 9．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　 　． 11．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 12．一个二元一次方程组的解是试写出一个符合要求的方程组： ． 13．已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为：_________． 14．哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 15．已知方程组 (1)x分别取-3,-2,0,2,填写下表: (2)根据第1问中表内数据写出方程组的解. 16．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 17．小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 18．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”．提出了各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解．”乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试．”请你参考他们的讨论，求出这个题目的正确答案． 19．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 20．对于任意一个三位数m，将个位数字和百位数字对调后得到新的三位数n，记，若P为整数，则称m为“有趣数”，此时的P值称为m的“有趣值”．例如：432对调后的三位数为234，则，∵9为整数，∴432为“有趣数”． (1)试判断826，326是否为“有趣数”． (2)若f和s都是“有趣数”，且满足，（，，且x，y均为整数），把f和s的“有趣值”分别记和，满足，求出满足条件的三位数f和s． 1．（2022•四川眉山中考真题） 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 2．（2022•四川成都中考真题） 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 注意：（1）二元一次方程组一共要含有两个未知数，并不是每个方程都必须含有两个未知数。 （2）若每个方程都含有两个未知数，则这两个方程中的两个未知数必须相同，即方程组的各个方程中，同一个字母表示的是同一个数量。 【基础练习】 【练习1-1】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意； B、有一个方程不是整式方程，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意； C、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意； D、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；故答案为：A 【练习1-2】方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可． 【详解】解：符合二元一次方程组的定义； 中含有、、三个未知数，不是二元一次方程组； 符合二元一次方程组的定义； 中含有未知项的最高次数为2，不是二元一次方程组； 综上，是二元一次方程组的有2个， 故选：B． 二元一次方程组的解的概念 二元一次方程组的解的写法 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。（公共解指同时满足方程组中的两个方程） 二元一次方程组的解要用大括号联立表示，如方程组的解为. 提示：(1)方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中某一个方程的解不一定是这个方程组的解.(2)一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况。 【基础练习】 【练习2-1】方程组的解为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程组解的概念，将4组解分别代入原方程组，一一进行判断即可. 【详解】解：将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D． 【练习2-2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 【典例】下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、有三个未知数，不是二元一次方程组，故A错误，不合题意； B、有两个未知数，且次数为一次，故B正确，符合题意； C、含有未知数项和的次数不是1，因此不是二元一次方程组，故C错误，不合题意； D、含有未知数项xy的次数为2，因此不是二元一次方程组，故D错误，不合题意． 故选：B． 【变式1-1】下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故此选项错误； B、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确； C、含有三个未知数，故此选项错误； D、未知数的次数是2，故此选项错误； 故选：B． 【变式1-2】观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 注意：二元一次方程组中一共含两个未知数，而不是每个方程都必须有两个未知数. 归纳：二元一次方程组有三个明显特征：(1)含有两个一次方程；(2)共含有两个未知数;(3)方程组中的每个方程都是整式方程. 【典例】已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于，的二元一次方程和关于，的二元一次方程的公共解， ∴关于，的二元一次方程组的解是 故答案为：． 【变式2-1】下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、把代入方程组，每一个方程都不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程组，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程组，两个方程都成立，所以是方程组的解，故此选项符合题意； D、把代入方程组，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可． 【详解】解：将代入中得：，方程左右两边相等， 将代入中得：，方程左右两边相等， ∴是方程组的解， 故选：A． 方法技巧：用代入验证法判断方程组的解 判断一对数值是否为某个二元一次方程组的解，最常用的方法是代入验证法，只有当这对数值同时满足方程组中的每一个方程时，才能说这对数值是此方程组的解，否则它不是此方程组的解. 【典例】关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【解析】 【分析】把代入关于x、y的方程组，求出m，n，再把m，n的值代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：把代入关于x、y的方程组得： ， 把①代入②得：n＝3， ∴3m+n ＝3×2+3 ＝6+3 ＝9， 故选：B． 【变式3-1】已知是方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．25 D．﹣25 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程组中，即可得到，于是问题得解． 【详解】解：把代入方程组中，得， ∴（a+b）（a﹣b）＝1×5＝5， 故选：A． 【变式3-2】已知是二元一次方程组的解，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】把代入二元一次方程组得出关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的代入m-n计算，即可得出答案． 【详解】解：把代入二元一次方程组得：， 解得：， ， 故答案为：． 【典例】已知关于x，y的方程组是二元一次方程组，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：m＝﹣3． 故选：C． 【变式4-1】若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】解：两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组， 则a＝0， 故答案为：0． 【变式4-2】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【典例】甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组. 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知是的解， 于是可得，解得， 同理可得， 故原方程组为， 【变式5-1】甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了②中的b，解得试求的值. 【答案】0 【解析】 【详解】解：将代入②，解得， 将代入①，解得， 将，代入， 原式． 【变式5-2】小明在解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的n，他得到的解为小红也粗心，看错了方程组中的m，她得到的解为，求原方程组． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意得： 解得： 原方程组是： 提示:因看错一个方程而求出的方程组的错解，它仍是方程组中另一个没有看错的方程的解，因此可以将这组解代入没看错的方程求解相关问题. 【典例】篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果： 胜 负 合计 场数 y 10 积分 16 表中x，y满足的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．由题意可得胜场，负场，合计10场，则；胜一场得2分，负一场得1分，合计16分，则．即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：B 【变式6-1】某校九年级两个班的师生一起到某区教育基地进行社会大课堂活动，该基地成人门票120元/人，学生门票98元/人，已知该校此次活动共支付6720元，且该校学生人数比教师人数9倍少3人，请问该校教师和学生各有几人？若设教师有x人，学生有y人，则根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】设教师有x人，学生有y人，根据该校此次活动共支付6720元，且该校学生人数比教师人数9倍少3人，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设教师有x人，学生有y人， 依题意，得 故选A． 【变式6-2】如图，由长方形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分(阴影)的面积是5,广告牌所占的面积是30(厚度忽略不计)，除重叠部分外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3，设长方形面积是x,三角形面积是y，则根据题意，可列出二元一次方程组为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】设长方形面积是x,三角形面积是y，由重叠部分(阴影)的面积是5,广告牌所占的面积是30与长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3分别列出方程即可得到二元一次方程组，即可进行判断. 【详解】设长方形面积是x,三角形面积是y，根据题意可得 故选A. 点拨： 列二元一次方程组同列一元一次方程类似，不同的是列二元一次方程组要设两个未知数，并找出问题中的两个等量关系. 【典例】我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵； （2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b． 【详解】（1）解：整理方程得，， 因此矩阵形式为：； （2）根据矩阵形式得到方程组为： ， 将代入上述方程得，， 解得：． 【变式】如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． （1）下列方程组是和谐方程组的是（　　） A．；B．；C．． （2）请你补全和谐方程组，并求解． 【答案】（1）C（2）符合题意，（答案不唯一）， 【解析】 【分析】（1）根据“和谐方程组”的概念进行判断； （2）根据“和谐方程组”的概念进行填空． 【详解】解：（1）A．中的常数项不同，不是和谐方程组，故不符合题意； B．中另一个未知数的系数和常数项均不同，不是和谐方程组，故不符合题意； C．符合和谐方程组的概念，故符合题意． 故答案为：C． （2）根据题意知，符合题意，（答案不唯一）． 解这个方程组可得：． 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．含有三个未知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．是二元一次方程组，故本选项符合题意； C．第一个方程的最高次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．含有三个未知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 3．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．5，1 D．2，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据题意，把代入方程中可求出的值，由此即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 把代入方程得， ， ∴被遮盖的两个数分别是， 故选：． 4．若关于，的二元一次方程组的解为，则“”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的定义，分别把代入四个选项中的式子中看计算的结果是否为2，以及根据二元一次方程组的定义进行求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴“”不可以表示为，故此选项不符合题意； B、不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、当时，，则“”可以表示为，故此选项符合题意； D、当时，，则“”不可以表示为，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024•四川成都中考真题） 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 6．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 7．下列方程组中，有无数组解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解每一个选项的方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：A、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意； B、解得方程组无解，故此选项不符合题意；C、， ①×2②，得0x-0y=0，则x、y可取任何值，所以方程组有无数组解，故此选项符合题意； D、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意；故选：C． 8．已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断． 【详解】解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 如果，则，解得， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 故选：C． 9．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 10．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　 　． 【答案】﹣2或﹣3 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义： （1）含有两个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是1． 【详解】解：由二元一次方程组的概念，得 c+3＝0，a﹣2＝1，b+3＝1 解得 c＝﹣3，a＝3，b＝﹣2 所以a+b+c＝﹣2． 或c+3＝0，a﹣2＝0，b+3＝1， 解得 c＝﹣3，a＝2，b＝﹣2， 所以a+b+c＝﹣3． 故答案为：﹣2或﹣3． 11．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 12．一个二元一次方程组的解是试写出一个符合要求的方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根据未知数的解写方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组解的定义．求和的值，即可组成方程组． 【详解】解：，， ，， 可得方程组， 故答案为：（答案不唯一）． 13．已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为：_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知方程组的解和换元法求解即可； 【详解】解：设，， ∵ ∴ ∴原方程组可化为， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于m，n的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组中， 解得：， 故答案为：． 14．哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）（3），见解析 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：(1)、(3)是二元一次方程组，因为他们是共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 15．已知方程组 (1)x分别取-3,-2,0,2,填写下表: (2)根据第1问中表内数据写出方程组的解. 【答案】（1）8,2，-1，-7，，2，，4  （2） 【解析】 【分析】（1）将x的值代入到方程中依次可得到y的值（2）由（1）题可知方程组的解为x＝－1、y＝2. 【详解】(1)将x的值分别代入两个方程中,解得y的值.表中依次填8;2;－1;－7;;2;;4. (2)方程组的解是 16．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 17．小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】 【解析】 【详解】解：依题意，把代入②得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； 则原方程为： 18．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”．提出了各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解．”乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试．”请你参考他们的讨论，求出这个题目的正确答案． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的含义是解题的关键． 先把所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】解：将方程组化简得， ， 解得． 19．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，它不符合（1）中的规律 【解析】 【分析】（1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数，常数与解的关系，确定第４个方程组； （2）通过观察，知第n个方程组为解为，将解代入方程组验证； （3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律． 【详解】（1）解： （2） 把代入得，所以成立． （3）将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律． 20．对于任意一个三位数m，将个位数字和百位数字对调后得到新的三位数n，记，若P为整数，则称m为“有趣数”，此时的P值称为m的“有趣值”．例如：432对调后的三位数为234，则，∵9为整数，∴432为“有趣数”． (1)试判断826，326是否为“有趣数”． (2)若f和s都是“有趣数”，且满足，（，，且x，y均为整数），把f和s的“有趣值”分别记和，满足，求出满足条件的三位数f和s． 【答案】(1)826是有趣数；326不是有趣数 (2)或 【解析】 【分析】（1）根据“有趣数”的定义进行验证即可； （2）根据“有趣数”的定义表示出和，结合可得，找到满足条件的x和y值，分别根据定义验证是否满足题意即可． 【详解】（1）解：， ∵9为整数， ∴826为“有趣数”， ， ∵不是整数， ∴不是“有趣数”， （2）解：∵，，f和s的“有趣值”分别记和， ∴， ， ∵， ∴，整理可得， ∵，，且x，y均为整数， ∴，，或， 将代入，可得，， 符合题意，∴ 将代入，可得，， 不是整数，不符合题意； 将代入，可得，， 符合题意，∴ 将代入，可得，， 不是整数，不符合题意， ∴满足条件的三位数f和s分别为或． 1．（2022•四川眉山中考真题） 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设1头牛两银子，1只羊两银子， 由题意可得：， 故选：A． 2．（2022•四川成都中考真题） 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$