3.1 同底数幂的乘法（第一课时 讲练）（7大题型51题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

法则内容 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母表示：(都是正整数) 法则解读 （1）同底数幂的乘法法则是根据正整数指数幂的意义推出的，对于任意实数a，任意的正整数，===。即=（都是正整数）。 （2）三个或三个以上同底数幂相乘时也具有这一性质，如:= (都是正整数),底数可以是单项式，也可以是多项式. （3）此法则可以逆用：= (都是正整数） 注意：（1）同底数幂的乘法性质只有在底数相同且“乘法”时才能使用， (2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂，即 =，不要误认为指数是0. (3）底数可以是单项式或多项式.如：与可视为底数为的同底数的幂，进行乘法运算为·=＝. 【基础练习】 【练习1-1】同底数幂乘法公式： am·an ＝________（m、n都是正整数）即同底数幂相乘，底数____，指数_____ ． 【答案】am＋n 不变 相加 【解析】 【分析】根据法则填空即可 【详解】am·an ＝am＋n（m、n都是正整数） 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【练习1-2】（）试一试：根据乘方的意义填空： ①； ②； ③； ④（其中为正整数）； （）想一想：观察上述结果，请写出规律：______（其中为整数）． （）算一算：①； ②． 【答案】（）①；②；③；④；（）；（）①；②． 【解析】 【分析】（）根据乘方的意义计算即可求解； （）根据（）中结果写出规律即可； （）利用（）中所得的规律计算即可求解； 本题考查了有理数的乘方，同底数幂相乘，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）①； ②； ③； ④； 故答案为：；；；； （）由上述结果可得规律：（其中为整数）， 故答案为：； （）①； ②． 【练习1-3】在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； 【详解】（1）①， ②， ③， 故答案为： （2）， 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）①； ② 【典例】的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】解：． 故选择C． 【变式1-1】计算 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-2】计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 【答案】（1）m6（2）﹣（m﹣n）8． 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3 ＝（﹣m）1+2+3 ＝（﹣m）6 ＝m6； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4 ＝（m﹣n）•[﹣（m﹣n）3]•（m﹣n）4 ＝﹣（m﹣n）8． 【典例】计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案． 【详解】解：．   【变式2-1】计算= ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据运算法则进行计算即可求解，掌握同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．把互为相反数的底数化为同底数，再利用同底数幂的乘法法则计算即可求解．要注意负数的奇次幂中“”的处理． 【详解】解： ． 注意：（1）运用同底数幂的乘法法则时，底数一定要相同，若不相同，应先整理为相同的底数；（2）在计算过程中一定要注意符号问题，尤其是“-” 易错警示：把互为相反数的底数化为同底数时出现错误 把互为相反数的底数化为同底数时，要注意负数的奇次幂中“-”的处理. 【典例】若，，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选： A． 【变式3-1】已知，，m、n为正整数，则 . 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记是解本题的关键；由幂的运算可得，再整体代入计算即可答案. 【详解】解：∵，， ， 故答案为： 【变式3-2】已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的法则进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【典例】计算a•a•ax＝a12，则x等于（　　） A．10 B．4 C．8 D．9 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法即可求出答案， 【详解】解：由题意可知：a2+x＝a12， ∴2+x＝12， ∴x＝10， 故选：A． 【变式4-1】已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：∵5×10=50，，，， ∴2a×2b=2c，即：2a+b=2c， ∴， 故选：B． 【变式4-2】已知10a＝20，10b＝50，则a+b的值是 　 　． 【答案】3 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法即可得出10a•10b＝10a+b＝103，从而可求得a+b的值． 【详解】解：∵10a＝20，10b＝50， ∴10a•10b＝10a+b＝20×50＝1000＝103， ∴a+b＝3． 故答案为：3． 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，无法合并，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【变式5-1】代数式“”表示（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，根据题意与选项对比即可． 【详解】解：表示5个a相乘， A．，不符合要求，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】下列计算结果正确的是(         ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟记“同底数幂相乘底数不变指数相加”即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意，故不选； B、，底数不同不能运算不符合题意，故不选； C、，不符合题意，故不选； D、，符合题意，故选D． 故选：D． 【典例】如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．记（m，12）＝a，（m，8）＝b，（m，96）＝c．则a、b和c的关系是（　　） A．ab＝c B．ab＝c C．a+b＝c D．无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到4a＝12，mb＝8，mc＝60．再根据同底数幂的乘法法则，进而解决此题． 【详解】解：由题意得，ma＝12，mb＝8，mc＝96． ∴ma•mb＝mc． ∴ma+b＝mc． ∴a+b＝c． 故选：C． 【变式6-1】规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用， （1）根据定义可得，由即可得出． （2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：（1）由定义可知即， ∵， ∴， （2）由定义可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为3；． 【变式6-2】规定． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)243 (2)1 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． （2）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以，则， 解得． 【典例】数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值． 【详解】解：如果实施5次运算结果为1， 则变换中的第6项一定是1， 则变换中的第5项一定是2， 则变换中的第4项一定是4， 则变换中的第3项可能是1，也可能是8． 则变换中的第2项可能是2，也可能是16． 当变换中的第2项是2时，第1项是4；当变换中的第2项是16时，第1项是32或5， 则的所有可能取值为4或32或5，一共3个， 故选：D． 【变式7-1】在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤： （1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______； （2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________； （3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形； （4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____． 【答案】 2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故可求解； （3）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，由图（3）的图形，得出图（1）经过第2次分形后即可得到； （4）观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变． 【详解】（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为； （2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），原图形的周长为4a， 观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故此时图形的周长为； （3）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形； （4）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变． ∴经过n次分形得到的图形周长是4a×2n=，面积是． 故答案为；；2；；． 【变式7-2】在计算时，小明发现每一个加数都是下一个加数的2倍，于是他的做法是： 令， ， ， 即． 仿照上述做法，解决下列问题： (1)______． (2)计算：（写出计算过程）． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）令，则，即，计算求解即可； （2）令，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． 1．化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，，即可求出答案． 【详解】 故选D 2．计算：的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：原式． 故选B． 3．已知am＝2，an＝3，则am+n等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．18 【答案】B 【解析】 【分析】根据am+n＝am•an，代入数据即可求解． 【详解】解：∵am＝2，an＝3， ∴am+n＝am•an＝2×3＝6． 故选：B． 4．如果a2m﹣1•am+2=a7，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得，，由恒等式的意义可得关于m的方程，2m﹣1+（m+2）=7，解方程即可求解。 【详解】解：根据题意得：2m﹣1+（m+2）=7， 解得：m=2． 故答案为：A 5．已知，，，则x，y，z之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即：， ∴； 故选A． 6．下列四个算式，正确的有(    ) ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；对各选项计算后即可选取答案． 【详解】解：，本小题计算错误； ，本小题计算正确； ，本小题计算正确； ，本小题计算正确． 故选C． 7．我们定义一个新运算：，如，那么为（ ） A． B． C． D．32 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义运算，列出算式，再根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：由题意得：=， 故选A． 8．若x＝，y＝，用含x的式子表示y，则y＝（ ） A．3x+5 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据x=32m+1，y=5+9m，通过变形，可以用含x的代数式表示y，本题得以解决． 【详解】解：∵x=32m+1=3•32m，y=5+9m， ∴32m=， ∴y=5+9m=5+（32）m=5+32m=， 故选B． 9．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程 为 千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，同底数幂的乘法运算．利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 10．计算：(1)(－2)×(－2)2×(－2)3=_____________；    (2)(－x)9·x5·(－x)5·(－x)3=___________；(3)an＋4·a2n－1·a=____________； 【答案】     26     －x22     a3n＋4 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算即可求出答案． 【详解】(1)(－2)×(－2)2×(－2)3=（-2）1+2+3=（-2）6=26；   (2)(－x)9·x5·(－x)5·(－x)3=-x9+5+5+3=-x22； (3)an＋4·a2n－1·a=an+4+2n-1+1=a3n+4. 故答案为(1). 26；(2). －x22；(3). a3n＋4. 11．已知，，则_______． 【答案】36 【解析】 【分析】先化简，再把，代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴把，代入得： 故答案为： 12．已知2a＝5，2b＝6，2c＝30，那么a、b、c之间满足的等量关系是 　 　． 【答案】a+b＝c 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法法则即可求得答案． 【详解】解：∵5×6＝30， ∴2a•2b＝2c， 即2a+b＝2c， 那么a+b＝c， 故答案为：a+b＝c． 13．若 ，则x=　 　． 【答案】6 【解析】 【分析】把等式左边各因数写成与右边相同的底数幂的形式，根据同底数幂乘法的运算法则可得指数的方程，解方程即可． 【详解】解：∵ ， 则 ， 即 ， ∴ ， 解得 ． 故答案为：6． 14．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 15．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 【答案】(1)21 (2)26；42； (3) 【解析】 【分析】（1）根据题干中的规律求解即可； （2）分别表示出①-③中周长的计算方法，发现规律求解即可； （3）根据题意得出这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，利用同底数幂的乘法即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：第6个正方形的边长为：3+5=8， 第7个正方形的边长为：5+8=13，第8个正方形的边长为：8+13=21， 故答案为：21； （2）①的周长为， ②的周长为， ③的周长为， ∴④的周长为， 第⑤个的周长为：； 故答案为：26；42； （3）根据题意得：这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和， ∴x、y、z满足的关系式为：； 故答案为：． 17．（1）若，，则________； （2）若、是正整数，且，则、的值分别为________． 【答案】35 ，，，． 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）求根据得到即，再由、是正整数求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵、是正整数， ∴ 或或或． 故答案为：35； ，，，． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） （5） ． 19．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 21．（1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）m＝7；（2）96 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据，得到即，计算即可； （2）根据，得到，计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得． （2）∵， ∴， ∴， 解得． ∴． 22．规定m*n＝3n×3m． （1）求2*3； （2）若2*（x+1）＝81，求x的值． 【答案】（1）243（2）1 【解析】 【分析】（1）根据定义新运算可得2*3＝33×32，然后进行计算即可解答． （2）根据定义新运算可得3x+1×32＝34，然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）因为m*n＝3n×3m， 所以2*3＝33×32＝27×9＝243； （2）因为2*（x+1）＝81， 所以3x+1×32＝34， 则x+1+2＝4， 解得x＝1． 23．为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．设，求出，用，求出的值，进而求出S的值． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 即． 24．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 【答案】(1)①2，4，6；② (2)，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算． （1）①根据材料叙述，结合，，即可得出答案； ②根据①的答案可得出、、之间满足的关系式； （2）设，，则，分别表示出及的值，即可得出猜想． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，； 故答案为：2，4，6； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：设，，则， 故可得，， 即． 故答案为：． 1．（2020·贵州毕节·中考真题）已知，下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】A. 不能进行运算，故此选项错误； B. ，计算正确，故此选项符合题意； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项错误． 故选：B． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024•东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 法则内容 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母表示：(都是正整数) 法则解读 （1）同底数幂的乘法法则是根据正整数指数幂的意义推出的，对于任意实数a，任意的正整数，===。即=（都是正整数）。 （2）三个或三个以上同底数幂相乘时也具有这一性质，如:= (都是正整数),底数可以是单项式，也可以是多项式. （3）此法则可以逆用：= (都是正整数） 注意：（1）同底数幂的乘法性质只有在底数相同且“乘法”时才能使用， (2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂，即 =，不要误认为指数是0. (3）底数可以是单项式或多项式.如：与可视为底数为的同底数的幂，进行乘法运算为·=＝. 【基础练习】 【练习1-1】同底数幂乘法公式： am·an ＝________（m、n都是正整数）即同底数幂相乘，底数____，指数_____ ． 【练习1-2】（）试一试：根据乘方的意义填空： ①； ②； ③； ④（其中为正整数）； （）想一想：观察上述结果，请写出规律：______（其中为整数）． （）算一算：①； ②． 【练习1-3】在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 【典例】的值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算 ． 【变式1-2】计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 【典例】计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【变式2-1】计算= ． 【变式2-2】计算：． 注意：（1）运用同底数幂的乘法法则时，底数一定要相同，若不相同，应先整理为相同的底数；（2）在计算过程中一定要注意符号问题，尤其是“-” 易错警示：把互为相反数的底数化为同底数时出现错误 把互为相反数的底数化为同底数时，要注意负数的奇次幂中“-”的处理. 【典例】若，，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【变式3-1】已知，，m、n为正整数，则 . 【变式3-2】已知，求的值． 【典例】计算a•a•ax＝a12，则x等于（　　） A．10 B．4 C．8 D．9 【变式4-1】已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知10a＝20，10b＝50，则a+b的值是 　 　． 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】代数式“”表示（   ） A．； B．； C．； D．． 【变式5-2】下列计算结果正确的是(   ) A． B． C． D． 【典例】如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．记（m，12）＝a，（m，8）＝b，（m，96）＝c．则a、b和c的关系是（　　） A．ab＝c B．ab＝c C．a+b＝c D．无法确定 【变式6-1】规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【变式6-2】规定． (1)求； (2)若，求的值． 【典例】数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式7-1】在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤： （1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______； （2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________； （3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形； （4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____． 【变式7-2】在计算时，小明发现每一个加数都是下一个加数的2倍，于是他的做法是： 令， ， ， 即． 仿照上述做法，解决下列问题： (1)______． (2)计算：（写出计算过程）． 1．化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2．计算：的结果是（ ） A． B． C． D． 3．已知am＝2，an＝3，则am+n等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．18 4．如果a2m﹣1•am+2=a7，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知，，，则x，y，z之间的关系是（   ） A． B． C． D． 6． 下列四个算式，正确的有(    ) ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7．我们定义一个新运算：，如，那么为（ ） A． B． C． D．32 8．若x＝，y＝，用含x的式子表示y，则y＝（ ） A．3x+5 B． C． D． 9．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程 为 千米． 10．计算：(1)(－2)×(－2)2×(－2)3=_____________；    (2)(－x)9·x5·(－x)5·(－x)3=___________；(3)an＋4·a2n－1·a=____________； 11．已知，，则_______． 12．已知2a＝5，2b＝6，2c＝30，那么a、b、c之间满足的等量关系是 　 　． 13．若 ，则x=　 　． 14．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 15．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 17．（1）若，，则________； （2）若、是正整数，且，则、的值分别为________． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 19．计算． (1)； (2)． 20．已知，，求的值． 21．（1）已知，求m的值． （2）已知，求的值． 22．规定m*n＝3n×3m． （1）求2*3； （2）若2*（x+1）＝81，求x的值． 23．为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 24．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 1．（2020·贵州毕节·中考真题）已知，下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024•东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$