精品解析： 广东省广州市荔湾区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（上） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据此定义进行分析即可． 【详解】解：选项B、C、D的美术字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 2. 在显微镜下，有一种细胞形状可以近似的看成圆形，它的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，则n的值为（　　） A. 7 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数；据此表示即可． 【详解】解：∵， ∴n等于． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂、分式的基本性质．根据完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂、分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、当、异号时，不成立，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 5. 如果，则m的值为（　　） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则计算，再根据已知条件，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 6. 若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，然后依此可排除选项． 【详解】解：由三角形的三边关系可得， 即， ∴只有C选项符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 7. 如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角角边 D. 角边角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 根据题中条件证出和全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴就是的平分线. 故选：A 8. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：如图，在第一个三角形中，． 由全等三角形的性质可知． 故选：C． 9. 如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（　　） A. （0，1） B. （3，1） C. （1，﹣1） D. （0，0） 【答案】D 【解析】 【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点即为AB与AC的垂直平分线的交点，找到该点即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O， ∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 10. 如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A. n B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形对数是． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 平面直角坐标系中，点与点___________关于y轴对称． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． 【详解】解：平面直角坐标系中，点与点关于轴对称． 故答案为：． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分母不能等于0是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用、代数式求值等知识点，熟练掌握提公因式法成为解题的关键． 将左边因式分解可得，再结合即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 答案为：． 14. 已知一个正多边形每个内角都，则这个正多边形共有_____条对角线． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形内角和定理以及多边形对角线条数的计算公式是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求出其边数，再根据多边形的对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得：， ∴正六边形共有条对角线， 故答案为：9． 15. 如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明，然后利用全等三角形的性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：24． 16. 如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 根据．且，要构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：在中，，中，， 如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 故①正确，该选项符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故②是不正确； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故③正确，该选项符合题意； ， ， ， ， ， 故④正确，该选项符合题意； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘法，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）原式利用积的乘方运算法则和利用单项式乘单项式法则计算即可； （2）原式利用平方差公式，去括号合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先整理分式方程，然后方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：， 方程可化为， 方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，，不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，，，直线经过点且与轴平行． （1）在图中画出关于直线对称的，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，点关于直线的对称点为，且，则的值为 ． 【答案】（1）画图见解答； （2）4 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）由题意得，点的坐标为，即可得，求出的值即可． 【小问1详解】 如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 ∵点关于直线l的对称点为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 解得 故答案为：4． 20. 先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，值为 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 且， 且， 则可取， 原式． 21. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法． （1）先根据多项式乘多项式法则计算和，再根据两个同学的计算结果，确定原多项式即可； （2）根据（1）中所求原多项式，利用十字相乘法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴原来的二次三项式为：； 【小问2详解】 解：． 22. 如图，中，，平分，交于点D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若E是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． （1）证明和全等即可得出结论； （2）证明是的垂直平分线得，则，再根据得，然后在中，根据可得出的长，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴设， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23. 某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克． （1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克； （2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，西红柿的义卖单价是土豆义卖单价的2倍，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题）．如果小荔将采摘的蔬果全部义卖出去，那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元． 【答案】（1）西红柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克 （2）扣除采摘成本后，义卖所得是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，根据采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为元/千克，根据西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，土豆比西红柿多卖出12千克，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克， 根据题意得：， 解得：， 答：西红柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克； 【小问2详解】 解：设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴土豆义卖单价为5元/千克，西红柿的义卖单价为10元/千克， ∴扣除采摘成本后，义卖所得是（元）， 答：扣除采摘成本后，义卖所得是元． 24. 为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图2，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性． 【答案】（1） （2）第二小组的方案可行，证明见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据已知条件可判定是等腰直角三角形，据此可得河宽的长度就是线段的长度； （2）延长交的延长线于点E，，先证明得，，，设，则，，再根据可求出，由此得，则，进而，据此可得出答案； （3）观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D，河宽的长等于线段的长，证明即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 故答案为：； 【小问2详解】 解：第二小组的方案可行，证明如下： ∵点A，O，H在一条直线上且点H在左侧， ∴延长交的延长线于点E，如图4所示： ∵O是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第二小组的方案可行． 【小问3详解】 解：第三小组的设计方案是： 观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 此时线段的长就是河宽长，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长等于线段的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，，且a，b满足，点D为线段上一动点，连接． （1）直接写出 ， ； （2）点P是射线上一点，连接，，，．求的面积； （3）在（2）的条件下，点E是线段上一动点，以为边在上方作等边，连接．若，求的最小值（结果用含a的式子表示）． 【答案】（1），6 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）如图，分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，M．利用全等三角形的性质以及直角三角形30度角的性质证明即可解决问题； （3）如图，以为边在y轴右侧作等边，连接．证明，得出，即点F在与夹角为的直线上运动，作点D关于FG的对称点T，设直线交于点，连接，．证出O，，T共线，则的最小值线段的长，可得结论． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴， ∴，； 【小问2详解】 如图，分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，M． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过P作， ∴ ∴的面积； 【小问3详解】 如图，以为边在y轴右侧作等边，连接． ∵ ∴ ∵， ∴ ∴，即点F在与夹角为的直线上运动， 作点D关于FG的对称点T，设直线交于点，连接，． ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴当点F与重合时，点E与D重合，此时等边三角形， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴O，，T共线， ∴的最小值线段的长， ∵ ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，非负数的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（上） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在一些美术字中，有汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在显微镜下，有一种细胞形状可以近似的看成圆形，它的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，则n的值为（　　） A. 7 B. 6 C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 如果，则m的值为（　　） A. B. 4 C. D. 2 6. 若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11 7. 如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角角边 D. 角边角 8. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（　　） A. （0，1） B. （3，1） C. （1，﹣1） D. （0，0） 10. 如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形对数是（　　） A. n B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 平面直角坐标系中，点与点___________关于y轴对称． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 13. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 14. 已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有_____条对角线． 15. 如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为_______． 16. 如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程：． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，，，直线经过点且与轴平行． （1）在图中画出关于直线对称的，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，点关于直线的对称点为，且，则的值为 ． 20. 先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 21. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式． 22. 如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若E是的中点，，求的长． 23. 某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克． （1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克； （2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，西红柿的义卖单价是土豆义卖单价的2倍，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题）．如果小荔将采摘的蔬果全部义卖出去，那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元． 24. 为了测量一条两岸平行河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图2，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段 的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，，且a，b满足，点D为线段上一动点，连接． （1）直接写出 ， ； （2）点P是射线上一点，连接，，，．求面积； （3）在（2）条件下，点E是线段上一动点，以为边在上方作等边，连接．若，求的最小值（结果用含a的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $