精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题

福鼎四中2024-2025学年第二学期第一次月考 高二数学试题 （满分150分，120分钟完卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数求导法则即可得解. 【详解】由题意，，，. 故选：C. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是； 故选：A. 4. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 5. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果. 【详解】根据导数的几何意义， 如图，分别表示在点处切线的斜率, 又， 由图可知， 故选：B. 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 7. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增， 对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键. 8. 设实数，若对任意，不等式恒成立，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得对任意，不等式恒成立，令，，结合函数的单调性得到对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，构造函数，利用导数求出，即可得解. 【详解】因对任意，不等式恒成立 即对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 因为，所以，又，所以， 令，，则， 所以在上单调递增， 由对恒成立，得到对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以， 故得，即的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则（    ） A. 有一个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数讨论函数的单调性，得出极值点，画出函数的大致图像即可判断A和B，利用函数关于某点中心对称的结论即可判断C，根据导数的几何意义求出曲线的切线方程即可判断D. 【详解】对于A：，令或，令， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，可画出函数的大致图像如图所示： 故A正确； 对于B：由选项A分析可知，函数的极小值为，故B错误； 对于C：∵，故C正确； 对于D：令，又 ∴斜率为-1切线方程为，即，故D正确； 故选：ACD 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可. 【详解】A选项：因为，可知在上单调递增， 且，则，所以，A正确； B选项：因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，B正确； C选项：令，则， 可知上单调递增， 因为，所以，即， 又因为，则，可得， 所以，C错误； D选项：由C可知，且， 则， 令 当单调递增，所以，所以， 所以， 所以，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处有极值10，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得. 【详解】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或. 当，时，， ，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意. 故答案为：. 13. 已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______. 【答案】或(写出其中一条即可) 【解析】 【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程. 【详解】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，分离，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】函数的定义域是， 令，得， 令， 令， 令解得， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，， 当时，， 所以，所以， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. ，当时，，， 所以，要使有两个解，则需. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的零点，可以考虑分离参数法，然后结合导数来进行求解.在利用导数研究函数的性质时，要是一次求导无法解决，可以考虑利用多次求导来进行求解.求解过程中要注意原函数和导函数之间的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（），且． （1）求的解析式； （2）求函数的图象在点处的切线方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式； （2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可. 【小问1详解】 由，得， 又，所以，解得，即． 【小问2详解】 由（1），得，， 所以，即切点为， 又切线的斜率为， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即． 16. 已知函数，且当时，有极值． （1）求，的值； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1），； （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数； （2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解. 【小问1详解】 由，得， 又当时，有极值， 所以，解得 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以当时，有极小值． 所以，满足题意． 【小问2详解】 由（1）知，． 令，得，， ，的值随的变化情况如下表： 3 4 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为． 17. 现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. （1）写出关于的函数关系式，并写出的范围； （2）要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【答案】（1） （2）当时容积取最大值，且最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义可得出的取值范围； （2）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. 【小问2详解】 铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 18. 已知函数（e是自然对数的底数，）. （1）设的导函数为，试讨论的单调性； （2）当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系. 【答案】（1）答案见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出，分为和两种情形，即可得结果； （2）根据（1）中的结论结合极大值的概念，求出满足，求出，结合二次函数的性质可得结果. 小问1详解】 ∵，∴ 令，则. ①若，则，所以单调递增； ②若，则当时，，所以所以单调递减；当时，，所以单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增； ∵，且 故存在两个零点且. 的符号及的单调性如下表所示： x + 0 - 0 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 由于是的一个零点，故，所以 于， ∵，∴ 所以. 19. 已知函数. （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可； （2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； 【小问2详解】 因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福鼎四中2024-2025学年第二学期第一次月考 高二数学试题 （满分150分，120分钟完卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 4. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 5. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知函数，则（    ） A. 有一个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线切线 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处有极值10，则实数_________． 13. 已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（），且． （1）求的解析式； （2）求函数的图象在点处的切线方程． 16. 已知函数，且当时，有极值． （1）求，的值； （2）求在上的最大值和最小值． 17. 现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. （1）写出关于的函数关系式，并写出的范围； （2）要使得无盖长方体铁盒容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 18. 已知函数（e是自然对数的底数，）. （1）设的导函数为，试讨论的单调性； （2）当时，若是极大值点，判断并证明与大小关系. 19. 已知函数. （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）设是函数两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$