第七章：三角函数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

第七章：三角函数 单元测试 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）下列函数是周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项. 【详解】对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误. 对于函数，因为，所以是偶函数. 又因为，所以的周期是，满足题目要求，所以选项正确. 对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以选项错误. 对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数. 但的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误. 满足周期为的偶函数的函数是. 故选：B. 2．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案. 【详解】由题知，，解得，. 故选：C 3．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四 【分析】先应用同角三角函数关系得出，再应用诱导公式计算求解即可. 【详解】因为，所以，则， ． 故选：D. 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 5．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据图象求周期，然后可判断①；根据正切函数定义域可判断②；代入验证可判断③；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断④. 【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确； 对②，由图象可知时，函数无意义，故 由，得，即，故②错误； 对③，由，故③正确； 对④，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确． 故选：C. 6．（24-25高一下·江西·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较正弦值的大小、比较正切值的大小 【分析】根据诱导公式，把，再结合正弦函数的单调性可比较的大小，再引入1，可判断与的大小. 【详解】根据诱导公式，可得. 因为函数在上单调递增，所以 . 又在上单调递增，所以， 所以. 故选:D 7．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】先根据两向量平行的坐标关系求出的值，再将所求式子转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算. 【详解】已知，，且. 可得：，即.. ，将其变形为. 分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行）， 得到. 将代入可得： ，则. 故选：D. 8．（24-25高一上·广东深圳·期末）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数在物理学中的应用 【分析】根据定义法证明即可判断A；根据验证法计算即可判断B；根据即可判断C；判断的最小正周期为，即可判断D. 【详解】A选项，易知的定义域为， 又 ，故是奇函数，A正确； B选项，时，， 故，在上都是增函数， 在上单调递增，B正确； C选项，由， 得的最大值，故的振幅必然大于的振幅， 即声音甲的响度一定大于纯音的响度，C错误； D选项，对于， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率， 声音乙的频率更低，比低沉，D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，下列正确的选项为（    ） A．若角的终边在第一象限，则角为锐角 B．若，则 C．若角的终边过点，则 D．若角是三角形中一个内角且满足，则 【答案】BD 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】对于A，举例判断，对于B，由同角三角函数的关系求解判断，对于C，由任意角的三角函数的定义分析判断，对于D，由同角三角函数的关系列方程组求解判断. 【详解】对于A：若角为第一象限角，则，，当时，终边在第一象限，却不是锐角，所以A错误； 对于B：因为，，所以，所以B正确； 对于C：因为角的终边过点，所以，所以C错误； 对于D：若角是三角形中一个内角且满足，则为钝角，于是， 由，得，则， 因为，所以，所以D正确， 故选：BD. 10．（2024·山东枣庄·一模）已知函数，则（   ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】函数 ． 选项A：，故最大值为2，A正确； 选项B：时，不单调递增，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误. 故选：AC． 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）对于函数（），下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上有且只有一个零点 B．若函数在单调递增，则的取值范围为 C．若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 【答案】ABD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】由正弦函数的单调性可得A、B正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D正确. 【详解】对于A，当时，， 令，则， 当，为正弦函数的递减区间，此时， 所以有解，且只有一个零点，故A正确； 对于B，， 因为单调递增，所以，解得， 又，所以，故B正确； 对于C，由题可得，所以，故，此时， 令，则， 故，所以，故C错误； 对于D，， 若为偶函数，则，解得， 所以当时，的最小值为2，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·陕西·阶段练习） . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简求解． 【详解】 故答案为：. 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，且，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六 【分析】先由题设求出的范围，结合求出，再通过诱导公式求得的值，再利用同角三角函数的商数关系求得. 【详解】∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ， 故. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数在区间上单调，且，则的最大值为 . 【答案】9 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据给定单调性可得，由给定的函数值可得，求得，再取值代入验证即可. 【详解】令函数的周期为，由函数在区间上单调， 得，解得，即，解得， 由，得，即， 解得，当时，，， 由，得，解得，， 当时，，而当时，取得最大值1，不符合题意； 当时，，，由，得， 解得，，， 当时，，函数在上单调递增，符合题意， 所以的最大值为. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一上·河南·期中）已知某扇形的半径，周长． (1)求该扇形的面积； (2)求在区间上与该扇形的圆心角终边相同的角． 【答案】(1) (2)和． 【知识点】找出终边相同的角、扇形面积的有关计算 【分析】（1）用扇形的弧长面积公式即可求解. （2）先求得扇形的圆心角，用终边相同的角去表示，再根据整数的取值即可确定. 【详解】（1）（1）设扇形的弧长为l，因为，由题意，扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为． （2）由（1）可知，圆心角，故与终边相同的角的集合为，， S中适合的元素有，， 故在区间上与该扇形圆心角终边相同的角为和． 16．（15分）（24-25高一上·吉林·期中）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式进行齐次转化即可求解； （2）利用诱导公式以及任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）根据三角函数的定义，得， 所以； （2）， 又， 故原式． 17．（15分）（22-23高一下·江西萍乡·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角关系式可得，然后结合条件即得； （2）根据同角关系式可得，进而即得. 【详解】（1）∵， ∴，又∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴； （2）∵， ∴． 18．（17分）（24-25高一上·河北保定·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)求出实数，，和函数的解析式； (2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据表中的最值可得，根据，可解得的值，从而得出解析式； （2）根据伸缩平移变换可得，结合为对称中心，从而求得实数的最小值； （3）在（2）的条件下结合，利用三角函数的性质，数形结合即可得解. 【详解】（1）由题意得，所以， 所以， 故， 根据表中已知数据，，所以， ，所以， . （2）的图象向右平移个单位， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 可得的图象， 则，得， 所以当时，此时最小值为. （3）当取最小值时，， 当时，， 此时， 恰有两个实数根， 所以与的图象有两个交点， 结合图象可知，即， . 19．（17分）（22-23高一下·福建泉州·期中）为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)求的值和的大小； (2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？ 【答案】(1)； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由题意可得，，故，从而可得曲线段的解析式，令时，可得，根据几何知识求； （2）根据题意可得，利用三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，即， 且，则， 所以曲线段的解析式为. 当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以. （2）由（1）可知，，且, 则， 可得， 则矩形的面积为 ， 又因为，则， 可知当，即时，， 所以矩形取得最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章：三角函数 单元测试 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）下列函数是周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一下·江西·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东深圳·期末）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，下列正确的选项为（    ） A．若角的终边在第一象限，则角为锐角 B．若，则 C．若角的终边过点，则 D．若角是三角形中一个内角且满足，则 10．（2024·山东枣庄·一模）已知函数，则（   ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）对于函数（），下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上有且只有一个零点 B．若函数在单调递增，则的取值范围为 C．若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·陕西·阶段练习） . 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，且，则 . 14．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数在区间上单调，且，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一上·河南·期中）已知某扇形的半径，周长． (1)求该扇形的面积； (2)求在区间上与该扇形的圆心角终边相同的角． 16．（15分）（24-25高一上·吉林·期中）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 17．（15分）（22-23高一下·江西萍乡·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（17分）（24-25高一上·河北保定·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)求出实数，，和函数的解析式； (2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 19．（17分）（22-23高一下·福建泉州·期中）为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)求的值和的大小； (2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$