专题01 任意角的概念、弧度制与三角函数（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

专题01 任意角的概念、弧度制与三角函数 目录 典型详解 类型一、由终边求三角函数值 类型二、判断角的象限 类型三、弧度制与角度值的换算 类型四、扇形中的弧长或者面积 类型五、有关扇形面积的最值 类型六、由终边的点求三角函数值 类型七、三角函数值的符号判断 类型八、同角的正余弦正切求值 类型十、齐次式求正切（一次分式型） 类型十一、齐次式求正切（二次型） 类型十二、同角三角函数求最值 类型十三、诱导公式的应用 压轴专练 类型一、由终边求三角函数值 1、终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 注意： 1、 确定终边位置，根据定义直接计算三角函数值，注意条件是否是单位圆。 2、 可以构造直角三角形，根据点坐标构造直角三角形三边长来求三角函数值，但是注意最后算出的函数值的正负。 3、若终边在y轴上，则tan值不存在 例1．（25-26高一上�四川成都�期末）在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的定义即可求解. 【详解】因为角的终边在直线上， 所以角的终边在一、三象限的角平分线上， 故终边在直线上的所有角组成的集合为 . 故选：C 变式1-1． （25-26高一上·广东·期末）与的终边关于原点对称的角的集合为 . 【答案】 【分析】根据对称及终边相同的角求解即可. 【详解】由题意，所求角终边与角的终边相同， 所以所求角的集合为. 故答案为： 变式1-2． （25-26高一下·全国·课后作业）如果角与的终边相同，角与的终边相同，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由终边相同角的概念即可求解. 【详解】由角与的终边相同，可得， 由与的终边相同，可得， 所以， ， 所以ABC错误，D正确， 故选：D 变式1-3．（25-26高一上·上海·期末）已知，若与的终边相同，且，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义求解即得. 【详解】由题意， 又与的终边相同，且， 所以， 故答案为：. 类型二、判断角的象限 1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角． 2、已知角象限，判断或象限：先写区间通式，再除以或乘以，讨论取余情况。常见情况： 2倍角：在第1，3象限，可能在1或2象限；在第2，4象限，可能在3或4象限； 半角（）：在第1象限， 在第1象限；在第2象限 → 在第1或3象限；在第3象限， 在第2或3象限；在第4象限， 在第2或4象限 3、所有锐角都是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角。锐角是 的子集，而第一象限角是无穷多个区间并集。 例2．（多选）（2025高一上·江苏·专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【分析】根据角α是第二象限角的特点，求出角2α的范围进行判断即可. 【详解】因为角α是第二象限角， 所以， 所以 所以2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角， 即其终边不可能在第一、二象限. 故选：AB 变式2-1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 变式2-2．（25-26高一上·天津·期末）已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三个集合的范围，进而结合特殊角度判断ABC，根据判断D. 【详解】由题知第一象限角， 锐角，小于90°的角 对于A，三个集合的范围完全不同，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，，但，故错误； 对于D，，故正确. 故选：D 变式2-3．（多选）（25-26高一上·陕西榆林·月考）下列结论正确的有（    ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．终边在直线上的角的集合是 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．若是第三象限角，则可能是第二象限角 【答案】BC 【分析】举反例判断A；根据终边在直线上角的表示判断B；根据的范围求出的范围即可判断C；先根据的范围求出的范围，然后分类讨论即可判断D. 【详解】若取为锐角，但也是锐角，A错误； 终边落在直线上的角的集合是， 终边落在直线上的角的集合是， 所以终边在直线上的角的集合是，B正确； 若是第二象限角，则，， 所以，，所以是第一象限角或第三象限角，C正确； 若是第三象限角，则， 所以. 当时，； 当时，； 当时，， 所以可能是第一、三或四象限角，不可能是第二象限角，D错误. 故选：BC. 类型三、弧度制与角度值的换算 1、角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. 2、弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度 3、角度制和弧度制的互化：，，． 例3．（25-26高一上·天津南开·月考）用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 . 【答案】. 【分析】先将角度制的150°转换为弧度制，再根据终边相同的角的集合公式写出结果即可. 【详解】因为， 所以与150°角终边相同的角的集合为 . 变式3-1．（25-26高一上·四川成都·月考）将角度化为弧度，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度化弧度公式计算可得结果. 【详解】易知, 故选：B 变式3-2．（25-26高一上·重庆·月考）已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接） 【答案】 【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可. 【详解】由题意可得，， 所以． 故答案为：. 变式3-3．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）把弧度化成角度为 . 【答案】 【分析】利用弧度与角度的互化可得结果. 【详解】. 故答案为：. 类型四、扇形中的弧长或者面积 扇形中的弧长与面积公式： 扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 应用弧度制解决问题时应注意： 1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 2、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 例4．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形弧长公式及面积公式求解即可． 【详解】设扇形的半径r，根据扇形弧长公式可得， 解得，根据扇形面积公式可得， 故选：C． 变式4-1．（广东江门市2025-2026学年普通高中高一上学期调研测试（一）数学试题）已知扇形AOB的半径为3，面积为3，则扇形AOB的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的弧长与面积公式列方程求解即得. 【详解】设扇形的圆心角为，则扇形的弧长为， 由，解得， 故扇形AOB的周长为. 故选：B. 变式4-2．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，所以， 因此. 故选：C. 变式4-3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 类型五、有关扇形面积的最值 求扇形面积最大值的问题时，先用参数表示出扇形的面积，然后转化为函数的求最值问题. 例5．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是 ． 【答案】 【分析】根据扇形周长公式得出弧长与半径的关系，再结合扇形面积公式，利用二次函数的性质求出面积最大时半径的值，进而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 已知扇形的周长，由扇形周长公式， 可得，移项可得， 又扇形面积， 将代入面积公式可得， 根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值， 当时，可得， 所以圆心角. 故答案为： 变式5-1．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 变式5-2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 ． 【答案】2 【分析】利用扇形面积公式，结合二次函数求出最大值，即可求解半径. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大． 故答案为：2 变式5-3．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出扇形的半径和弧长，根据周长得到弧长与半径的关系，再表示出扇形面积，最后利用二次函数性质求面积最大时的半径. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 扇形的周长为弧长与两个半径之和，即，因此， 扇形的面积公式为，将代入得： ， 这是一个关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向下，当时，取得最大值. 故选：A. 类型六、由终边的点求三角函数值 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。 2、用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 例6．（广东省佛山市2025-2026学年高一普通高中供题训练数学试题）已知点在角的终边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求解即得. 【详解】点在角的终边上，且，得， 解得，所以. 故选：B 变式6-1．（25-26高一上·河北邯郸·月考）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则，， 则 故选：D. 变式6-2．（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点（其中），则的值为 . 【答案】/0.2 【分析】根据任意角的正弦、余弦的定义求出，即可求得的值. 【详解】因为，所以. 由任意角的正弦、余弦的定义得，. 所以. 故答案为:. 变式6-3．（2025高一上·江苏·专题练习）设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则= ；= . 【答案】 【分析】先求得，然后由三角函数定义求得. 【详解】依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则， ，解得，则 所以， . 故答案为:，. 类型七、三角函数值的符号判断 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 例7．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】由为第二象限角即可判断三角函数值的符号. 【详解】因为为第二象限角，则, 所以或或,所以B、C、D选项正确, 对于A选项 ，由于，所以该选项错误. 故选：BCD 变式7-1．（安徽2025-2026学年高一上学期2月初期末质量检测数学（人教A版）试题B）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【分析】先判断三角函数值的符号，即可得到是第四象限的角 【详解】由，得或，又， 所以，即角是第四象限的角. 故选:D. 变式7-2．（25-26高一上·上海静安·期末）“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质，以及必要不充分条件的概念，判断结果即可. 【详解】当时，或， 则为第二象限角或为第三象限角， 当角为第二象限角时，，则； 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件； 故选：B． 变式7-3．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由题意，得到为第二象限角，得到，结合，即可求解. 【详解】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得 当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意； 当为偶数时，可得为第一象限角，满足， 综上可得为第一象限角. 故选：A. 类型八、同角的正余弦正切求值 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 2、注意在利用平方和关系求值的时候，需要开方，则需要考虑函数值的正负性。 例8．（广东江门市2025-2026学年普通高中高一上学期调研测试（一）数学试题）若是第三象限角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出，进而求得正切值. 【详解】因为，， 所以，化简得， 解得或，又是第三象限角， 所以，进而得到. 所以. 故选：D. 变式8-1．（25-26高一上·广西柳州·期末）若为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为第二象限角得出，根据平方关系已知求即可. 【详解】若为第二象限角，则， 由于，则， 故选：D. 变式8-2．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，，其中，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 变式8-3．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知为第二象限角，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先化简原式，可得，即可根据同角关系求解. 【详解】， 由于为第二象限角，故， 则， 故，则，得， 因为，所以， 因为，所以. 故答案为： 类型九、与互化 对 通过该关系式可以对与进行互化。 例9．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】求的平方，利用计算求解. 【详解】， . 故答案为：. 变式9-1．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若，则 ， . 【答案】 / / 【分析】应用平方关系及的关系求目标函数值. 【详解】由题设， 所以，则， 由. 故答案为：， 变式9-2．（多选）（2025高一上·江苏扬州·专题练习）已知且，下列说法不正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、的值，进而分析判断. 【详解】因为，解得或， 又，则，可得. 所以，，，， 故AD正确，BC错误. 故选：BC. 变式9-3．（多选）（25-26高一上·江苏扬州·月考）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，求得，结合三角函数的基本关系式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为是方程的两根， 可得， 对于A，由，平方可得， 解得，所以，解得，所以A错误； 对于B，由， 因为且，所以， 所以，则，所以B正确； 对于C，联立方程组，解得， 所以，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：BD. 类型十、齐次式求正切（一次分式型） 对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式，则可以上下同除来构造 例10．（江苏省连云港市2025-2026学年高一数第一学期考试学试题）若，则的值为 . 【答案】2 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系计算即可. 【详解】， 则的值为2. 故答案为：2. 变式10-1．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用弦化切可求三角函数式的值. 【详解】由， 则 ， 故答案为：. 变式10-2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若角终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数定义求出，再对进行化简计算求解． 【详解】角终边在直线上， ， ， ， ，故A正确． 故选：A． 变式10-3．（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的平方和关系求出，利用商数关系求出，结合化弦为切方法即可求解． 【详解】因为，所以，故， 可得，所以． 故选：A． 类型十一、齐次式求正切（二次型） 对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 例11．（山西太原市2025-2026学年第一学期高一年级期末学业诊断数学试题）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据齐次式方程化简计算即可求解. 【详解】 故答案为：. 变式11-1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知，则 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 变式11-2．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合同角三角函数的基本关系可得或，再结合齐次式求解即可. 【详解】由题意得，且， 可得，解得或， 则， 当时，； 当时，. 综上所述，. 故选：A 变式11-3．（25-26高一上·山西·期末）已知，则 【答案】 【分析】利用平方关系以及商数关系弦化切可求三角函数式的值. 【详解】. 故答案为：. 类型十二、同角三角函数求最值 1、 可以利用“1”的替换，来构造基本不等式来求最值 2、可以通过化简、换元，然后根据函数求最值的方式来求最值 例12．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由 已知，设，两式左右平方相加，利用两角差的余弦公式化简，再利用三角函数的有界性求解即可. 【详解】已知，左右平方得①， 设，左右平方得②， 将①②，利用化简得， ， 由余弦差公式得，代入上式， 即， ，因为的最大值为， 所以， 因此的最大值为. 故答案为： 变式12-1．（25-26高三上·江苏扬州·月考）的最小值是 . 【答案】9 【分析】由并根据基本不等式中“1”的应用计算即可. 【详解】依题意易知，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故答案为：9 变式12-2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由平方关系将待求式化成弦的齐次式，再 “化弦为切”，构建关于正切的二次函数式，利用二次函数的性质即可求解 【详解】因 ， 故当时，的最小值为． 故答案为：. 变式12-3．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数（a，b均为正数）的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由题意，又， ∴ ，当且仅当，即时等号成立， 所以所求最小值为． 故答案为： 类型十三、诱导公式的应用 三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 1、利用“奇变偶不变，符号看象限”口诀： 奇变偶不变：若加减的角度是的奇数倍，函数名改变；若是偶数倍，函数名不变。 符号看象限：将原角视为锐角，根据原函数在对应象限的符号确定结果正负。 化锐角：最终将计算式化为锐角三角函数的形式。 2、注意要点： 口诀中的“奇偶”指π/2的系数奇偶性，“符号看象限”时，始终假设原角为锐角，tan的周期是，sin、cos的周期是，可先用周期性将角化到范围内再操作 简记：大角化小角，负角化正角，最终化为锐角算。 例13．（25-26高一上·广西崇左·期末）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 变式13-1．（2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，结合诱导公式即可求解. 【详解】． 故选：A 变式13-2．（多选）（25-26高一上·江苏南京·月考）已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件可得，再利用诱导公式逐项判断得解. 【详解】角和的终边关于x轴对称，得，， 对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC 变式13-3．（25-26高一上·河南·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系化简求值即可. 【详解】由可得， 所以 ， 故答案为： 1．（多选）（25-26高一上�黑龙江黑河�月考）下列命题错误的是（   ）. A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】ABD 【分析】对ABD，举反例说明；对C，利用终边相同的角判断. 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，锐角是之间的角，如，，但不是锐角，故B错误； 对于C，，所以与角终边相同，在第三象限，故C正确； 对于D，若终边在第一象限，而终边在第一象限，故D错误. 故选：ABD. 2．（多选）（25-26高一上�贵州毕节�期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是第三象限角 B．时间经过2个小时，分针转了 C．三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角 D．若角与角的终边在一条直线上，则 【答案】BD 【分析】根据象限角和任意角的定义、终边相同的角判断各个选项； 【详解】对于A，因为是第二象限， 所以终边相同，为第二象限角，A错误； 对于B，分针每小时顺时针转一圈（），顺时针旋转的角度为负， 因此2小时转的角度为，B正确； 对于C，三角形内角范围是，但的角是轴线角不属于任何象限， 因此三角形内角不一定是第一象限角或第二象限角，C错误； 对于D，角与角的终边在一条直线上，则它们的终边要么相同， 要么相反，合并得，D正确； 故选：BD. 3．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【分析】选项A：设，该角是第三象限角，即可判断； 选项B：取，则，该角是第三象限角，即可判断； 选项C：先求出，则,分类讨论为偶数和奇数，即可判断； 选项D：是锐角，即，则，即可判断； 【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确; 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误. 故选：C. 4．（2025-2026学年高一上学期期末测试试卷数学）与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确. 故选：D 5．（25-26高一上·天津河西·月考）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 6．（25-26高一上·宁夏固原·期末）下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 【答案】C 【分析】根据象限角的定义及终边相同的角，弧度制的概念判断可得. 【详解】对A：如与终边相同，但角不相等，故A错误； 对B：如，所以是第一象限角但不是锐角，故B错误； 对C：因为，所以是第三象限角，故C正确； 对D：角度制与弧度制能互相转换，故D错误. 故选：C. 7．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 . 【答案】弧度 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：弧度 8．（25-26高一上·广西崇左·期末）如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知为半径，求解扇形面积再减去的面积即可. 【详解】由题意知圆心与弧的中点恰好重合，则和互相垂直平分， 由，且 即知为等腰直角三角形，故四边形是正方形， 因为半径，， 所以. 阴影部分的面积为扇形面积减去的面积， 即， 故选：B. 9．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角正弦的定义可得. 【详解】由题可知，， 所以，解得. 故选：C. 10．（25-26高一上·上海·期末）已知，给出以下两个命题，则（   ） ①对任意，都有；②存在，使得． A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】利用分类讨论思想，数形结合思想来判断不等式成立，可判断①，利用赋值，即可判断②. 【详解】 命题①：如图，在单位圆中，令，根据正弦函数的定义有：， 根据弧长公式可得：弧长为，当时，由图可得弧长大于线段长， 即， 再根据正弦函数曲线，如图可知：当时，正弦曲线在线段的上方， 由于直线的方程为，则当时，有， 因为，所以有 当，时，， 根据正弦函数单调性可知： ， 又因为，所以，即满足， 当，时，， 同理根据正弦函数单调性可知： ， 又因为，所以，即满足， 当，时，， 所以有，即满足， 综上命题①是真命题； 命题②：当时，由，可得， 由， 构造函数，由，， 则根据零点存在性定理，可知在区间上有零点， 即存在，使得成立， 从而可证明：存在，使得， 故命题②是真命题； 故选：A 11．（陕西省安康市2025-2026学年上学期高一年级教学质量检测数学试题）已知集合，集合，，则的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】求出集合，再利用并集运算求出，确定元素的个数即可. 【详解】因为， ， 所以，， 所以， 所以的元素个数为5， 故选：B 12．（25-26高一上·天津和平·月考）已知点位于第二象限，则角是第 象限角． 【答案】四 【分析】由点位于第二象限，得到，根据三角函数值得正负判断出所在的象限即可得解. 【详解】点位于第二象限， ，， 满足时，为第三四象限角，满足时，为第一四象限角， 满足条件的为第四象限角， 点位于第二象限，角是第四象限角. 故答案为：四. 13．（25-26高一上·湖北·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解. 【详解】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 14．（多选）（25-26高一上·福建三明·月考）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，将两边平方可求得；由A选项结合正弦函数的符号先判断出C，得到，，结合，的关系先求出D选项，然后结合题设条件算出分别的取值，然后判断B选项. 【详解】A选项，两边同时平方可得，， 即，则，A选项正确； C选项，由于，则， 又，则，则，C选项正确； D选项，，即， 结合上面分析可知，，，则， 于是，D选项正确； B选项，结合D选项， 联立可得， 则，B选项错误. 故选：ACD 15．（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为齐次式，求得，结合选项，结合三角函数的基本关系式和“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】由，可得， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 所以，所以B不正确； 对于C，由 ，所以C正确； 对于D，由，所以D正确. 故选：ACD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01任意角的概念、弧度制与三角函数 目录 典型详解 类型一、由终边求三角函数值 类型二、判断角的象限 类型三、孤度制与角度值的换算 类型四、扇形中的弧长或者面积 类型五、有关扇形面积的最值 类型六、由终边的点求三角函数值 类型七、三角函数值的符号判断 类型八、同角的正余弦正切求值 类型十、齐次式求正切（一次分式型） 类型十一、齐次式求正切（二次型） 类型十二、同角三角函数求最值 类型十三、诱导公式的应用 压轴专练 典例详解 类型一、由终边求三角函数值 1、终边相同的角 所有与角“终边相同的角，连同角“在内，可构成一个集合S={B=a+k·360,k∈Z},即任一与角“终 边相同的角，都可以表示成角“与整数个周角的和！ 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注意： 1、确定终边位置，根据定义直接计算三角函数值，注意条件是否是单位圆。 2、 可以构造直角三角形，根据点坐标构造直角三角形三边长来求三角函数值，但是注意最后算出的函数 值的正负。 3、若终边在y轴上，则tan值不存在 例1.(25-26高一上四川成都？期末)在平面直角坐标系O少中，以O为坐标原点，Ox为始边，终边 在直线y=x上的角a的集合为() =2+导4e D. aa=24' 变式1-1.(25-26高一上广东期末)与6的终边关于原点对称的角的集合为一 变式1-2.25-26高一下全国课后作业)如果角“与+45 B,x-45° 的终边相同，角与 的终边相同，则 ,B 与的关系是() 4. a+B=0° B. -B=0° c a+B=k.360(k∈Z) D. a-B=k.360°+90(k∈Z) 变式13.(25-26高-上上海期末)已知“=2026，若B与“的终边相同，且0<B<360,则B- 类型二、判断角的象限 1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就 说这个角是第几象限角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角. 2、已知角a象限，判断na或a/n象限：先写区间通式，再除以n或乘以n,讨论k取余情况。常见情况： 2倍角：α在第1,3象限，2α可能在1或2象限；α在第2,4象限，2α可能在3或4象限； 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 牛角（号：“在第家限，号在第1象限：Q在第2象限一号在神1成3家装：Q在芳象限，号在究 2或3象限；a在第4象限， 号在第2双4象限 3、所有锐角都是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角。锐角是(0，受)的子集，而第一象限角是无 穷多个区间并集。 例2.（多选）(2025高一上江苏·专题练习)若角是第二象限角，则角2的终边不可能在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 变式21.(25-26高一上·上海杨浦·期末)已知a为第一象限的角，则2所在象限为() A.第一象限B.第一、二象限 C.第一、三象限 D.第一、四象限 M={ N={,P={ 变式2-2.(25-26高一上·天津·期末)已知集合 第一象限角 锐角 小于90°的角，则 下列关系式中正确的是() A.M=N=P B.M+N C.MOP=N D.(NOPM 变式2-3.（多选）(25-26高一上·陕西榆林·月考)下列结论正确的有() A.若角a为锐角，则角2a为钝角 B.终边在直线y=±x上的角的集合是( "=4+2,k∈Z9 C.若。是第二象限角，则2是第一象限角或第三象限角 D.若a是第三象限角，则3可能是第二象限角 类型三、弧度制与角度值的换算 1、角度制 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的360.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. 2、弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度 1 3、角度制和弧度制的互化：180°=πrad, 180ad 1rad=180 例3.(25-26高一上·天津南开·月考)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为一 变式3-1. （25-26高一上：四川成都月考)将角度化为弧度，则120 2π 3π 5π A. 2 B. 3 C.4 D.6 变式3-2. （25,26高-上重庆月考)已知。=65，B=3弧度，7-， =6,则。’B,y间的大小关系为 .(用“<”符号连接) 变式3-3.(25-26高一上·新疆阿克苏期末)把弧度g化成角度为一， 类型四、扇形中的弧长或者面积 扇形中的弧长与面积公式： 扇形的弧长公式：上r,扇形的面积公式。 应用弧度制解决问题时应注意： 1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 2、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 2π 例4.(25-26高一上·云南昆明·期末)已知扇形的圆心角为5，弧长为5cm,则该扇形的面积为() 3π B.cm 2π c.cm D.5em 变式4-1.（广东江门市2025-2026学年普通高中高一上学期调研测试（一）数学试题)已知扇形AOB的 半径为3，面积为3，则扇形AOB的周长为() 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.8 C.6π D.8π 变式4-2.(25-26高一上山东青岛·月考)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋 壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类 问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深 CD=4-2N5,锯道4B=4W5,则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为() A.π B.8 C.4π-8 D.8π-8 变式4-3.(25-26高一上·陕西渭南·期末)甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积 =2 C哦二 分别为S单和S2,周长分别为C和Cz若Sz,则Cz() 3 4 5 A.2 B.3 C.4 6 D. 类型五、有关扇形面积的最值 求扇形面积最大值的问题时，先用参数表示出扇形的面积，然后转化为函数的求最值问题 例5.(25-26高一上·山东枣庄·月考)已知扇形的周长为20，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是 变式5-1.（多选）(25-26高一上江苏苏州月考)已知扇形的半径为r,弧长为1，若其周长为4，则下 列说法正确的是() A.若该扇形的半径为1，则其面积为2B.该扇形面积的最大值为1 9 C.当该扇形面积最大时，其圆心角为2D.二+的最大值为4 变式5-2.(25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考)已己知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式5-3.(25-26高一上·云南昆明期末)已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 类型六、由终边的点求三角函数值 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设“是一个任意角，a∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y), ①把点P的纵坐标y叫做“的正弦函数，记作sina,即y=sina: ②把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa; y ③把点P的纵坐标与横坐标的比值x叫做“的正切，记作tana,即x_tana(O). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。 2、用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设“是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为x,y),点P与原点的距离 y 为.则sina=r,cosa=r,tana=x 例6.（广东省佛山市2025-2026学年高一普通高中供题训练数学试题）已知 P叫-1，%川%≠0在角0的 终边上，且sn0=宁，则oD-（) √2 1 A. 4 B.3 C.3 D.3 变式6-1.(25-26高一上·河北邯郸·月考)若角“的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 -3,1,则 sina-3cosa=() A.2 B.V6 C.22 D.0 变式6-2.(25-26高一上·陕西宝鸡·月考)在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在x轴 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的非负半轴上，终边经过 P(3a,4a(其中a<0),则n的值为一 变式63。(2025高一上江苏专题练习)设a为第四象限角，其终边上的一个点是Px5,且 Cosa② 4x,则sina=:tana= 类型七、三角函数值的符号判断 三角函数的性质如下表： 第一象 第二象限 第三象 第四象 三角函数 定义域 限符号 符号 限符号 限符号 sing P 十 十 一 cosa R tan o iuiazk k∈Z 一 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 例7.（多选)(25-26高一上四川成都期末)若8为第二象限角，则下列正确的有() A.sin>0,cos>0 B.sin>0,cos<0 C.cos0<0,tan<0 D.sin0>0,tan<0 变式7-1.（安徽2025-2026学年高一上学期2月初期末质量检测数学（人教A版）试题B)若 sin0cos0<0,且sin0-cos0<0,则0是() A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 变式7-2.(25-26高一上·上海静安·期末)“sina tana<0”是“角a为第二象限角”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 P(tana,cosa） 变式7-3.(25-26高一上·江苏扬州·月考)已知平面直角坐标系中点 位于第三象限，且 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin- sin- e 2 “2,则角2为() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 牙类型八、同角的正余弦正切求值 1、同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： sin a+cos a=1 sina=tana(a≠+kn (2)商数关系： coSa 2、注意在利用平方和关系求值的时候，需要开方，则需要考虑函数值的正负性。 例8.（广东江门市2025-2026学年普通高中高一上学期调研测试（一）数学试题)若是第三象限角，且 6cos2 a =-5sin a tan o 则 的值为() 5 A.6 B. 6 5 5 C. D. 25 5 coSa=- 变式8-1.（25-26高一上·广西柳州·期末)若为第二象限角， 5, 则sina=() √5 25 5 25 A.5 B.5 C.5 D.5 变式8-2.(2025高一上江苏专题练习)已知sina=2m m+1,cosa=1-m m+1,其中s≤元，则m的值为 1+sina +1 -=3 变式8-3.(25-26高一上江苏连云港·月考)已知a为第二象限角，且V1-sina cosa,则cosa的值 为 在类型九、sina±cosa与sin acosa互化 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sina+cosa=co s a+sin a+2 sinacosa=1+2 sinacosa 通过该关系式可以对sina±cosa与sinacosa进行互化。 例9.(25-26高一上湖北武汉期末)已知=3,则sinr+c0sx=一 变式9-1.(25-26高一上贵州贵阳期末)若cosa+sina= 2,则 sina cosa=—' cos a +sin=- 变式9-2.（多选）(2025高一上江苏扬州：专题练习)已知0∈(0，且sin0+c0s0= 5，下列说法不正 确的有() A.sin0cos0=-3 10 B.sin0-cos0=_2/10 5 1 C.tan0=-3 D.sin0+cos0= 50 变式93。（多选）(25-26高一上江苏扬州月考)设“∈0，m, 已知sina,cos是方程3r-x-m=0的 两根，则下列等式正确的是() A.m=-3 B.sina-cosa= √17 4 3 C.tand=13 D.cos'a+sin'a= 11 27 类型十、齐次式求正切（一次分式型） 对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式，则可以上下同除cosa来构造tana 2sina +cosa 2= 例10.（江苏省连云港市2025-2026学年高一数第一学期考试学试题）若3in-2cosa-4,则ana的值 为一 3sina-2cosa 变式10-1.(25-26高一上·陕西商洛·期末)已知tana=2,则sing+3cosa 1 变式10-2.(25-26高一上新疆乌鲁木齐期未)若角。终边在直线y=2x上，则 ina+cosa=() sina-cosa 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 1 B.-2 D. 5 π 变式10-3.(25-26高一上云南玉溪期末)已知2<<π，Cos= 3 sina+cosa 5,则2 sina-cosa =() 1 1 A.11 B.11 c.-1i D.-11 类型十一、齐次式求正切（二次型） 对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1=cos2a+sinα”来构造一个二次的分式齐次 式，上下同除cos2a,从而得到tana 例11.（山西太原市2025-2026学年第一学期高一年级期末学业诊断数学试题）已知tana=2,则 sin'a-cos'a 1+2sinacosa 变式11-1.(25-26高一上·浙江杭州期末)已知tana=-2,则sina·cosa= sina+cosa 变式11-2.(25-26高一上江苏期末)已知 3 sina-cosa na,则sincosa+cos'a=（） 2 A.5 B.5 c.9 8 D.5 变式11-3.(25-26高一上山西期末)已知tanw= 32cos'a+3sina cosa= 类型十二、同角三角函数求最值 1、 可以利用“1”的替换，来构造基本不等式来求最值 2、 可以通过化简、换元，然后根据函数求最值的方式来求最值 例12.(25-26高一上：江苏无锡月考)若sina+sinB=1,则cosa+cosB的最大值为 1 4 变式12-1.(25-26高三上江苏扬州月考)sin2x+cos2x的最小值是一 变式122.(20m5商三全国专愿练习)已知xeRx饭+受keZ,则 inxcosx+3 的最小值为一。 10/14