精品解析：河北省邯郸市邯山区邯郸市第十七中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期模拟考试 数学试卷 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负整数的是（　　） A. B. C. D. 2. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示），若，，则光的传播方向改变了（ ） A. B. C. D. 3. 计算结果是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 主视图和左视图 5. 嘉嘉在一条矩形纸带上画了一条数轴，折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是（　　） A. B. C. D. 6. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A 克 B. 克 C. 克 D. 克 7. 图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．据此求客房和客人的数量．下列说法错误的是（　　） A. 设客房有间，则 B. 设客人有人，则 C. 设客房有间，客人有人，则 D. 客房间，客人人 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉说得对 B. 琪琪说得对 C. 珍珍说得对 D. 三名同学说法都不对 11. 如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（　　） A B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值为___________． 14. 如图，半径为圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数之间，则的值是___________． 15. 已知反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点A、，若，则的值为______． 16. 如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点分别是，的内心，则=_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是象棋盘的一部分，给每个棋盘格规定不同的数．一个棋子“象”从点A出发向点B行进（规定：象只能走“田”字格），会有两种不同的路线． （1）求“路线1”上第一步和第二步上数字的和； （2）若“路线2”上第一步两个数字的积大于第二步两个式子的和，求x的取值范围． 18. 下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． （1）这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的步骤是________． （2）该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 19. 某专卖店在盘点某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图（图①）和扇形统计图（图②）．回答下列问题： （1）值为___________； （2）求该月内此商品的日平均销售量； （3）求商品的日销售量的中位数和众数； （4）店长在检查数据时发现，此商品在该月的日销售量均不大于件，且其中一天的销售量误记为件了，若更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的销售量为多少件？ 20. 苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 21. 如图所示，直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）请说明经过点； （2）时，点是直线上一点，若，求点的坐标； （3）若点在第三象限，求的取值范围． 22. 图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：） 23. 消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． （1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式． （2）若着火点A高出地面， ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值． 24. 等边三角形边长为8，点D为直线上一点，连接，以为边，在的右边作等边（点A、D、E为逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D运动在线段上时，线段与线段的数量关系为__________；的度数为__________． （2）如图2，当点D运动到的延长线上时， ①请根据题意尺规作图，画出，连接． ②请判断（1）中的结论还成立吗？并说明理由； （3）若，则的长为__________； （4）的最小值为__________； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期模拟考试 数学试卷 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负整数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方，绝对值定义，有理数的分类，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据相关运算法则逐项运算并判断，即可解题． 【详解】解：A. 是负分数，不符合题意； B. ，是正整数，不符合题意； C. ，是负整数，符合题意； D. ，是正整数，不符合题意； 故选：C． 2. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示），若，，则光的传播方向改变了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：设所改变的角为x， 则所得的角与互为对顶角，即， ∴ ∴， ∴光的传播方向改变了17， 故选：C． 3. 计算的结果是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案． 【详解】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式 故选：A． 4. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断． 【详解】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法． 5. 嘉嘉在一条矩形纸带上画了一条数轴，折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是数轴上两点间的距离如何表示，同时理解折叠的实质． 首先根据折叠折痕的位置到1和5的距离相等进而确定折痕所对应数，然后进一步确定A与分别在折痕两侧且到折痕的距离相等，从而确定A对应的数． 【详解】解∶ 折叠纸带，数轴上表示1的点与表示5的点重合， 折痕在数轴上表示3的点的位置． 到3的距离为7，表示的点在3的右侧， 与表示的点重合的点表示的数为． 故选∶ A 6. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】D 【解析】 【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是． 【详解】解：粒粟的重量大约为克， 一粒粟的重量约为． 故选：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键． 7. 图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的情况，其中小宣最后进入“科技与生活”展厅的结果有种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图： ∴由图可知，嘉嘉通过入口后一共有种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有种可能，进入B展厅的有种可能， ∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：． 故选：C． 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．据此求客房和客人的数量．下列说法错误的是（　　） A. 设客房有间，则 B. 设客人有人，则 C. 设客房有间，客人有人，则 D. 客房间，客人人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组． 根据题意得出方程或方程组并解出未知数的值，即可解答． 【详解】解：A、设客房有间，则，故A选项正确； B、设客人有人，则，故B选项错误； C、设客房有间，客人有人，则，故C选项正确； D、由C选项列出的二元一次方程组解得，即客房间，客人人，故D选项正确； 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，得AC＝2，∠CAC'＝60°，再根据旋转的性质可推出△CAC'为等边三角形，从而得到CC'＝AC＝2． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AC＝2，∠CAC'＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点落在边上， ∴AC'＝AC＝2， ∴△CAC'为等边三角形， ∴CC'＝AC＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形性质，明确旋转前后对应边相等是解题的关键． 10. 问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉说得对 B. 琪琪说得对 C. 珍珍说得对 D. 三名同学说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解． 详解】解：方程中，，，， ， 此时方程无实数根，珍珍说得对． 故选：． 11. 如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 12. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作EH⊥BD于点H，由菱形的性质可证△ABD为等边三角形，设BE=x，则EG=AE=4-x，BH=BE•sin30°= ，EH=BE•cos30°=，则GH=3-，在Rt△GEH中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥BD于点H， 由折叠的性质得：EG=AE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC， 又∵∠C=60°， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=4， 又∵DG=BG， ∴， ∴BG=3， 设BE=x，则EG=AE=4-x， 在Rt△EHB中， ∠HEB=90°-60°=30°， ∴BH=BE•sin30°=， EH=BE•cos30°=， ∴GH=3-， 在Rt△GEH中，由勾股定理得： ， 解得：x=， 即BE=， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，根据二次根式的化简及加减运算法则计算出，再根据，得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数之间，则的值是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．先求出圆的周长，再估算出周长的值即可得出结论． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的周长为：， ∵， ∴，即， ∴向右滚动2周后点A所处的位置在4与5之间，即， ∴． 故答案为：14． 15. 已知反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点A、，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ． 故答案为：． 16. 如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点分别是，的内心，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设的内切圆的半径为r，过A作AM⊥BF于M，连接、、，解直角三角形求出AM、FM、BM，根据三角形的面积求出r，即可求出答案． 【详解】如图，过A作AM⊥BF于M，连接、、， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠A==120°，AF=AB， ∴∠AFB=∠ABF=， ∴边BF上的高AM==， FM=BM=AM=， ∴BF=+=， 设的内切圆的半径为r， ∵， ∴=++， 解得：， 即， ∴=2×+6+4=9+4， 故答案为：9+4． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，三角形面积公式，三角形的内接圆和内心等知识点，正确添加辅助线、求出的内切圆的半径是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是象棋盘的一部分，给每个棋盘格规定不同的数．一个棋子“象”从点A出发向点B行进（规定：象只能走“田”字格），会有两种不同的路线． （1）求“路线1”上第一步和第二步上数字的和； （2）若“路线2”上第一步两个数字的积大于第二步两个式子的和，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减的应用、一元一次不等式的应用，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据图形列出算式，结合有理数的加减法则计算即可得解； （2）根据图形结合题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：． 18. 下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． （1）这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的步骤是________． （2）该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；检验 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键． （1）根据去分母以及解分式方程的步骤即可求得答案； （2）根据解分式方程的步骤解分式方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：这位同学解题过程中横线处应填，解题过程缺少的步骤是检验， 故答案为：；检验； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为 19. 某专卖店在盘点某月销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图（图①）和扇形统计图（图②）．回答下列问题： （1）的值为___________； （2）求该月内此商品的日平均销售量； （3）求商品的日销售量的中位数和众数； （4）店长在检查数据时发现，此商品在该月的日销售量均不大于件，且其中一天的销售量误记为件了，若更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的销售量为多少件？ 【答案】（1） （2）件 （3）中位数：件，众数：件 （4）件 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息综合、画条形统计图、以及众数、中位数、平均数的相关概念和求法、熟练掌握相关概念并灵活运用是解题的关键． （1）根据日销售量件天数与占比可求得该月的天数；用总天数减去其他的天数即可求得a的值； （2）利用求平均数的方法即可求解； （3）根据众数、中位数的概念求出众数和中位数即可； （4）根据众数、中位数的概念对销量进行分析，即可解题． 【小问1详解】 由扇形统计图可知日销售量件天数占比， 且日销售量件天数为天， 该月的天数为（天）， ， 解得． 【小问2详解】 （件）， 该月内此商品的日平均销售量为件． 【小问3详解】 由条形图可知， 从小到大排列，位于中间的两个数值均为， 中位数位， ， 众数为． 【小问4详解】 众数唯一， 该天的销售量不是件， 日销售量这组数据的中位数不变，且原中位数为， 该天的销售量不低于件， 该时段内的日销售量均不大于件， 该天的销售量为件． 20. 苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】（1）此圆弧形拱桥的半径为 （2）该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； 【小问2详解】 该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 21. 如图所示，直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）请说明经过点； （2）时，点是直线上一点，若，求点的坐标； （3）若点在第三象限，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，是一次函数的综合题，利用数形结合进行分析是解题的关键． （1）把代入函数关系求出y的值即可； （2）先求出A，B的坐标，进而求出的值，再设点D的坐标为，根根据，列出方程求解即可； （3）分别求出当直线经过点A，B时k的值即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴点在直线上． 【小问2详解】 解：∵直线与轴相交于点，与轴相交于点 ∴，， ∴， 设的坐标为， ∵， ∴=， ∴或 ∴或． 【小问3详解】 解：当直线经过点时，， 解之得， 当直线经过点时，有， 解之得， ∴若点在第三象限，则． 22. 图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】（1）点到小竹竿的距离为米 （2）水桶水平移动的距离米 【解析】 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键． （1）如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 即点到小竹竿的距离为米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可得，米，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴米， ∴米， ∴水桶水平移动的距离米． 23. 消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． （1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式． （2）若着火点A高出地面， ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值． 【答案】（1） （2）①；对称轴为：；②， 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线L的解析式为经过点， ∴， 整理得：； 【小问2详解】 ①∵着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ∴， ∴， 由（1）得， ∴抛物线的解析式为：， ∵水流恰好经过着火点A， ∴代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：； ②∵消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， ∴当抛物线经过点时， ，解得：； 当抛物线经过点时， ，解得：； 综上可得：， ∵，， ∴c随b的增大而增大， ∴当时，c取得最小值为， ∴c的最小值为． 24. 等边三角形边长为8，点D为直线上一点，连接，以为边，在的右边作等边（点A、D、E为逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D运动在线段上时，线段与线段数量关系为__________；的度数为__________． （2）如图2，当点D运动到的延长线上时， ①请根据题意尺规作图，画出，连接． ②请判断（1）中的结论还成立吗？并说明理由； （3）若，则的长为__________； （4）的最小值为__________； 【答案】（1）， （2）①作图见详解②（1）中的结论成立，不成立，此时，理由见详解 （3）2或6 （4） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，即可得出结论； （2）①分别以A，D为圆心，以长为半径画弧，交于点E，则为所求，②根据等边三角形的性质证明，即可得出结论； （3）当D在靠近点B的位置时，过A作交延长线于F，利用直角三角形的性质和勾股定理分别求出，，进而求出；当D在靠近点C的位置时，过A作交于F，利用直角三角形的性质和勾股定理分别求出，，进而求出； （4）过B作于H，由（1）知，，点E在直线上运动，当E与H重合时，最小，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 等边三角形， ，， ， ， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①作图如下， ②（1）中的结论成立，不成立， 此时，理由如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：， D在线段上， 当D在靠近点B的位置时，如图： 过A作交延长线于F，则， ， ， ，， ， ， 当D在靠近点C的位置时，如图： 过A作交于F，则， ， ， ，， ， ， 综上，或2， 故答案为：6或2； 【小问4详解】 解：如图1，过B作于H，则， 由（1）知，， 点E在直线上运动， 当E与H重合时，最小， ， ， ，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$