黄金卷08（天津专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C C A A B C B D B D 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 13． 14．8 15．-1 16．（0，-1） 17． 18． 如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，点即为所作点；取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，点即为所求． 三、解答题：（本大题共7个小题，共66分.） 19．（1）解： ， 故答案为：．（2分） （2）解： 解得：， 故答案为：．（2分） （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （2分） （4）解： 由①得： 由②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：．（2分） 20．（1）解：， 则12岁学生的人数为（名）， ， 所以， 故答案为：50，30；（2分） 补全条形统计图如下： ． （2）解：统计的这组学生年龄数据的平均数为，（2分） 因为14岁的学生人数最多， 所以统计的这组学生年龄数据的众数为14，（2分） 将统计的这组学生年龄数据按从小到大排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数，（2分） 21．（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，（3分） ∵是的直径， ∴， ∴；（2分） （2）解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， 设半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，，（2分） ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴．（3分） 22．（1）解：（1）过点E作，垂足为G，如图：   ，斜坡的坡比为，米，（2分） ， （米）． 答：斜坡的水平宽度16米．（2分） （2）， ， ． ， ∴四边形是矩形，（2分） 设， ， ， ， ，（2分） 在中，． 即：， 解得：． 经检验，是原方程的根， 答：山体的高度120米．（2分） 23．（1）解：由图可知：小明家距离体育馆距离为6km，用的时间为0.5小时， 所以小明骑行的速度为6÷0.5=12(km/h)， 所以0.4×12=4.8(km)，0.5×12=6km)， 3.3小时时，小明在图书馆， 由图可知：小明家距离图书馆距离为8km， 故填表如下： 小明离开家的时间/h 0.1 0.4 0.5 2.5 3.3 小明离开家的距离/ 1.2 4.8 6 5 8 故答案为：4.8；6；8．（3分） （2）解：由图可知： ①小明家距离小刚家距离为5km， ②小明从体育馆到小刚家的步行速度为（6-5）÷0.2=5(km/h)， ③两人从小刚家到图书馆的骑行速度为（8-5）÷0.3=10(km/h)； ④i)当他去体育馆离开家的距离为时的时间为：4÷12=(h)； ii)他返回途中，离开家的距离为时的时间为：4-4÷[8÷(4-3.5)]=3.75(h); 故答案为：①5；②5；③10；④或3.75．（4分） （3）解：当时，速度为3÷(3-2.7)=10（km/h）, ∴y=10(x-2.7)+5=10x-22， 当3<x<3.5时，y=8； 当3.5≤x≤4时，y=8-[8÷(4-3.5)](x-3.5)=64-16x， 综上，当时， y关于x的函数解析式为：y=．（3分） 24．（1）解：∵由旋转性质可知：， ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴，即：， ∴， ∴（2分） （2）如解（2）图1，过点N作，垂足为， ∵，是等边三角形， ∴， 又∵为等边三角形， ∴，故旋转的角度为， ∴，， ∵在为等边三角形中，， ∴， ， 故点坐标为（2分） （3）解：由（2）得，， ∴， ∵点，点． ∴， ∴，（2分） 当落在上时，落在上时，与重叠部分为，如解（3）图1， ，此时：， 当落在上时，落在延长线时，当与重叠部分为，如解（3）图2， 此时：， ， 故当时，与相交，与重叠部分为三角形，为直角三角形，， 综上所述：，（2分） ②当时，即， 解得：，（不合题意舍去）， ∴时，．（2分） 25．（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， 得， 解得（舍或， ， 将点代入， ， 解得；（4分） （2）解：点的横坐标为， ， 由（1）直线的解析式为， ， ， ， ，，，， ， ， ， 解得或， 当时，此时不构成直角三角形， 综上所述：的值为；（4分） （3）解：过点作的平行线，过点作交于点，过点作轴交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 直线的解析式为， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， 当时，有最大值．（2分）    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（﹣5）×的正确结果是（　　） A．20 B．﹣20 C．﹣ D． 2．标志是表明事物特征的识别符号，是企业品牌形象的核心部分．以下4个2023年青岛企业综合100强的企业标志中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．我市响应国家号召，对口帮扶贵州省安龙县．近年来，共投入帮扶资金1500万元，其中1500万元用科学记数法表示为(　　) A．0.15×109 元 B．1.5×108 元 C．1.5×107 元 D．15×106 元 4．在哪两个连续整数之间（　） A．5与6 B．6与7 C．7与8 D．8与9 5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 6．计算的值等于（    ） A．0 B． C． D． 7．计算的正确结果是（      ） A． B． C．1 D． 8．已知点A（﹣2，y1），B（a、y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜a＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 9．已知关于的方程有两个实数根且满足，则的值为（） A．或10 B． C．10 D．2 10．如图，在矩形中，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别与交于点，连接．若，．则四边形的周长为（    ）    A．5 B．10 C．12 D．20 11．如图，在中，，，是斜边上的两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，则下列结论中错误的是（　　）　 A． B． C． D． 12．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 13．计算： . 14．抛物线的对称轴是直线，则 ． 15．计算： = . 16．将一次函数的图像向下平移3个单位，则平移后一次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 17．如图，在中，，，D是边的中点，过A作于E，的延长线交于F，则的长为 .      18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题：（本大题共7个小题，共66分.） 19．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得______________， (2)解不等式②，得______________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 20．（8分）为丰富学校的文化娱乐活动，某学校开展了插画、书法、剪纸等丰富多彩的社团活动，该校为了解参加社团活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为 ，图①中m的值为 ，并补全条形统计图； (2)求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数． 21．（10分）如图1，点A，B，C在O上，是的直径，平分，与相交于点D．连接，与相交于点E． (1)求的度数． (2)如图2，过点A作的切线，与的延长线相交于点F，过点D作，与相交于点G．若，，求的长． 22．（10分）如图，某数学研究小组测量山体的高度，在点B处测得山顶A的仰角为，沿方向前行34米至点D处，斜坡的坡比为，在观景台E处测得山顶A的仰角为，且点E到水平地面的垂直距离为8米，点B、D、C在一条直线上，在同一竖直平面内．（参考数据：，）    (1)求斜坡的水平宽度的长； (2)求山体的高度大约为多少米． 23．（10分）在“看图说故事”活动中，学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、小刚家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行到达小刚家；在小刚家停留后，两人一起匀速骑行后到达图书馆；在图书馆停留后，两人一起匀速骑行返回各自的家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/h 0.1 0.4 0.5 2.5 3.3 小明离开家的距离/ 1.2 5 (2)填空： ①小明家与小刚家之间的距离为__________； ②小明从体育馆到小刚家的步行速度为__________； ③两人从小刚家到图书馆的骑行速度为__________； ④当小明离开家的距离为时，他离开家的时间为__________h． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 24．（10分）在平面直角坐标系中，，均为等边三角形，其中点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． (1)如图1，连接，，直接写出和的数量关系______________； (2)如图2，若，垂足为点M．延长与交于点．求旋转的角度和点N的坐标； (3)如图3，在（2）的情况下，将沿平移，点E，A，F的对应点分别为，（点在线段上，不与线段端点重合），，得到'．设，与重叠部分的面积为S． ①当与重叠部分为三角形时，用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 25．（10分）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线，点在抛物线上，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式和，的值； (2)如图1，过点作轴的垂线与直线交于点，过点作，垂足为点，若，求的值； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 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【点睛】本题主要考查科学记数法的表示形式：a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 4．在哪两个连续整数之间（　） A．5与6 B．6与7 C．7与8 D．8与9 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算．用夹逼法估算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在7与8之间， 故选：C． 5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义：一般指由物体左边向右做正投影得到的视图，即可得出结论． 【详解】解：根据左视图的定义，A选项为几何体的左视图 故选A． 【点睛】此题考查的是判断几何体的左视图，掌握左视图的定义是解决此题的关键． 6．计算的值等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值的计算，把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 7．计算的正确结果是（      ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减法，即可得到答案． 【详解】解： = = =； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 8．已知点A（﹣2，y1），B（a、y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜a＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【答案】C 【分析】根据，双曲线在第二四象限，在图象的每一支上，随x的增大而增大，逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中的k＝﹣4＜0， ∴双曲线在第二四象限，在图象的每一支上，随x的增大而增大， ∵﹣2＜a＜0， ∴y2＞y1＞0， ∵C（3，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∴y3＜y1＜y2， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键． 9．已知关于的方程有两个实数根且满足，则的值为（） A．或10 B． C．10 D．2 【答案】B 【分析】先计算根的判别式得到△＝-4k，再根据判别式的意义得到k的取值，根据根与系数的关系得x1＋x2＝k-2，x1•x2＝，再利用x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝12得到（k-2）2−2（）＝12，然后解方程即可求解． 【详解】△＝（k-2）2−4（）＝-4k， ∵方程有两个实数根， ∴-4k≥0， 解得k≤0． 根据题意得x1＋x2＝k-2，x1•x2＝， ∵x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝12， ∴（k-2）2−2（）＝12， 解得k1＝10，k2＝-2． ∵k≤0． 故k的值为-2 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式． 10．如图，在矩形中，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别与交于点，连接．若，．则四边形的周长为（    ）    A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】D 【分析】利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形的周长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 11．如图，在中，，，是斜边上的两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，则下列结论中错误的是（　　）　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据旋转的性质，即可得到，进而得出，再根据勾股定理即可得到，进而得到,故A、D都不符合题意；由三角形全等即可得到，进而可得到据此即可推断出正确的结论． 【详解】解：，， ， 由旋转得：，， ，，， ， ∴， ， ∴， ， ， ∴， ， ∴，故A、D都不符合题意； 在中，， ∴， 故B符合题意； ∵， 的面积的面积的面积的面积四边形的面积， 四边形的面积的面积的面积， 四边形的面积的面积的面积， ∴， 故C不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 12．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——搭桥问题．根据已知条件建立适当坐标系，从而得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 建立直角坐标系，设坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，进而求出二次函数解析式，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设；当水面下降时，设；当水面下降时，设；逐一代入判断，即得． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C， 根据题意得，，， 由对称性知， ∴，，， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得，， ∴， 设水面下降到位置， 当水面宽5米时， 设， 则， ∴水面下降了，①正确； 当水面下降时， 设，则， 解得，， ∴水面宽度为，②正确； 当水面下降时， 设，则， 解得， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加了，③正确． 故选D． 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 13．计算： . 【答案】 【分析】根据积的乘方法则即把每一项分别乘方再相乘即可. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方是解题的关键. 14．抛物线的对称轴是直线，则 ． 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称轴公式可进行求解． 【详解】解：由抛物线的对称轴是直线，可知：， ∴； 故答案为8． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15．计算： = . 【答案】-1 【分析】运算积的乘方和平方差公式进行计算. 【详解】= =(-1)3=-1. 故答案是：-1. 【点睛】考查了逆向运用积的乘方法则，解题关键是熟记计算法则，并灵活运用. 16．将一次函数的图像向下平移3个单位，则平移后一次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据函数图象平移法则写出平移后函数的解析式，从而确定与轴的交点坐标即可． 【详解】一次函数的图象向下平移3个单位， 解析式为：， 令，得， ∴平移后一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象平移以及与坐标轴的交点问题，熟记平移法则，理解函数图象与坐标轴交点的意义是解题关键． 17．如图，在中，，，D是边的中点，过A作于E，的延长线交于F，则的长为 .      【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，先证明得出，再证明得出，求出长即可得出结论． 【详解】如图，过点作交的延长线于点，      ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵D是边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，准确作出辅助线是解题的难点和关键． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图， （1）利用勾股定理可得答案； （2）取格点，连接并延长交半圆于点；取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，即可得图． 【详解】（1）解：在中，； 故答案为：． （2）解：如图所示， 如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，，，点即为所作点； 取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，，，，，，，点即为所求． 三、解答题：（本大题共7个小题，共66分.） 19．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得______________， (2)解不等式②，得______________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 【答案】(1) (2) (3)图见详解 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： 解得：， 故答案为：． （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）解： 由①得： 由②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 20．（8分）为丰富学校的文化娱乐活动，某学校开展了插画、书法、剪纸等丰富多彩的社团活动，该校为了解参加社团活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为 ，图①中m的值为 ，并补全条形统计图； (2)求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数． 【答案】(1)50，30，补全图形见解析 (2)平均数是，众数是14，中位数是 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、平均数、众数和中位数，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据15岁学生的条形统计图和扇形统计图即可得的值，据此求出的值和补全条形统计图即可得； （2）根据加权平均数公式、众数和中位数的定义求解即可得． 【详解】（1）解：， 则12岁学生的人数为（名）， ， 所以， 故答案为：50，30； 补全条形统计图如下： ． （2）解：统计的这组学生年龄数据的平均数为， 因为14岁的学生人数最多， 所以统计的这组学生年龄数据的众数为14， 将统计的这组学生年龄数据按从小到大排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数， 21．（10分）如图1，点A，B，C在O上，是的直径，平分，与相交于点D．连接，与相交于点E． (1)求的度数． (2)如图2，过点A作的切线，与的延长线相交于点F，过点D作，与相交于点G．若，，求的长． 【答案】(1)90° (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质： （1）先由角平分线的定义得到，再由等边对等角推出，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则由平行线的性质可得； （2）连接，如图：则，设半径为r，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，，由切线的性质得到，则，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， 设半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 22．（10分）如图，某数学研究小组测量山体的高度，在点B处测得山顶A的仰角为，沿方向前行34米至点D处，斜坡的坡比为，在观景台E处测得山顶A的仰角为，且点E到水平地面的垂直距离为8米，点B、D、C在一条直线上，在同一竖直平面内．（参考数据：，）    (1)求斜坡的水平宽度的长； (2)求山体的高度大约为多少米． 【答案】(1)16米； (2)120米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）过点E作，垂足为G，根据坡比即可求解； （2）可证四边形是矩形，设，可求，，从而可求解； 掌握定义，理解三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）过点E作，垂足为G，如图：   ，斜坡的坡比为，米， ， （米）． 答：斜坡的水平宽度16米． （2）， ， ． ， ∴四边形是矩形， 设， ， ， ， ， 在中，． 即：， 解得：． 经检验，是原方程的根， 答：山体的高度120米． 23．（10分）在“看图说故事”活动中，学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、小刚家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行到达小刚家；在小刚家停留后，两人一起匀速骑行后到达图书馆；在图书馆停留后，两人一起匀速骑行返回各自的家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/h 0.1 0.4 0.5 2.5 3.3 小明离开家的距离/ 1.2 5 (2)填空： ①小明家与小刚家之间的距离为__________； ②小明从体育馆到小刚家的步行速度为__________； ③两人从小刚家到图书馆的骑行速度为__________； ④当小明离开家的距离为时，他离开家的时间为__________h． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)4.8；6；8 (2)①5；②5；③10；④或3.75 (3)y= 【分析】（1）由图象分别计算12min、50min、70min时离开家的距离即可； （2）①由图象直接可得答案；②用路程除以时间即可得速度；③用路程除以时间即可；④分两种情况：从家出发离家的距离为4km和返回时离家的距离为4km，分别列式计算即可； （3）根据路程=速度×时间，分段列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明家距离体育馆距离为6km，用的时间为0.5小时， 所以小明骑行的速度为6÷0.5=12(km/h)， 所以0.4×12=4.8(km)，0.5×12=6km)， 3.3小时时，小明在图书馆， 由图可知：小明家距离图书馆距离为8km， 故填表如下： 小明离开家的时间/h 0.1 0.4 0.5 2.5 3.3 小明离开家的距离/ 1.2 4.8 6 5 8 故答案为：4.8；6；8． （2）解：由图可知： ①小明家距离小刚家距离为5km， ②小明从体育馆到小刚家的步行速度为（6-5）÷0.2=5(km/h)， ③两人从小刚家到图书馆的骑行速度为（8-5）÷0.3=10(km/h)； ④i)当他去体育馆离开家的距离为时的时间为：4÷12=(h)； ii)他返回途中，离开家的距离为时的时间为：4-4÷[8÷(4-3.5)]=3.75(h); 故答案为：①5；②5；③10；④或3.75． （3）解：当时，速度为3÷(3-2.7)=10（km/h）, ∴y=10(x-2.7)+5=10x-22， 当3<x<3.5时，y=8； 当3.5≤x≤4时，y=8-[8÷(4-3.5)](x-3.5)=64-16x， 综上，当时， y关于x的函数解析式为：y=． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力． 24．（10分）在平面直角坐标系中，，均为等边三角形，其中点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． (1)如图1，连接，，直接写出和的数量关系______________； (2)如图2，若，垂足为点M．延长与交于点．求旋转的角度和点N的坐标； (3)如图3，在（2）的情况下，将沿平移，点E，A，F的对应点分别为，（点在线段上，不与线段端点重合），，得到'．设，与重叠部分的面积为S． ①当与重叠部分为三角形时，用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)旋转角为，点坐标为； (3)①；②或． 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据，是等边三角形即可求出，，进而求出点N坐标； （3）①根据题意，画出图形，找到当与重叠部分为三角形时点位置，再根据三角形面积公式计算即可，②根据函数解析式求出，再由函数性质得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵由旋转性质可知：， ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴，即：， ∴， ∴ （2）如解（2）图1，过点N作，垂足为， ∵，是等边三角形， ∴， 又∵为等边三角形， ∴，故旋转的角度为， ∴，， ∵在为等边三角形中，， ∴， ， 故点坐标为 （3）解：由（2）得，， ∴， ∵点，点． ∴， ∴， 当落在上时，落在上时，与重叠部分为，如解（3）图1， ，此时：， 当落在上时，落在延长线时，当与重叠部分为，如解（3）图2， 此时：， ， 故当时，与相交，与重叠部分为三角形，为直角三角形，， 综上所述：， ②当时，即， 解得：，（不合题意舍去）， ∴时，． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形面积问题，解直角三角形，等边三角形的性质解题的关键是根据题意找到动点面积变化的节点分类讨论，再根据二次函数的性质直接求解． 25．（10分）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线，点在抛物线上，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式和，的值； (2)如图1，过点作轴的垂线与直线交于点，过点作，垂足为点，若，求的值； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】(1)，， (2)的值为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据，可知，再求出，，，，建立方程求出的值即可； （3）过点作的平行线，过点作交于点，过点作轴交于点，则四边形是矩形，先求出直线的解析式为，得到，再由直角三角形的三角形函数值分别求出，，，可得，当时，有最大值． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， 得， 解得（舍或， ， 将点代入， ， 解得； （2）解：点的横坐标为， ， 由（1）直线的解析式为， ， ， ， ，，，， ， ， ， 解得或， 当时，此时不构成直角三角形， 综上所述：的值为； （3）解：过点作的平行线，过点作交于点，过点作轴交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 直线的解析式为， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， 当时，有最大值．    【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形相似的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$