专题09 三角函数的定义域与值域（最值）6种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题09 三角函数的定义域与值域（最值） 6种常考压轴题归类 1、三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　 （1）分式：分母不能为零； （2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） （3）零次幂：中底数； （4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； （5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，则 2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型 (1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域 注：形如 (或)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 (2)形如 (或型 ①先由定义域求得的范围 ②求得 (或)的范围，最后求得最值 (3)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)； 对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数； 例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式; ②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。 总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数) (4)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制； 对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。 = (5)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。 (6)形如分式型：等 三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。 ①基本类型一:、型 方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法． ②基本类型二：型． 转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值； 压轴题型一：三角函数的定义域 满分技法 根据三角函数的性质,如正弦函数、余弦函数定义域为，正切函数的定义域为{x|}，对于复合函数,需考虑内层函数的取值范围,使得整个函数有意义。 注意要点:要准确把握各种三角函数的基本定义域,对于复合函数,要仔细分析内层函数对自变量取值的限制,不能遗漏任何限制条件。 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的定义域为 ． 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4). 压轴题型二：求正弦、余弦、正切型三角函数的值域 满分技法 对于,根据的取值范围是[-1,1],可得y的值域是[k-|A|,k+|A|],对于同理,注意要点:要正确确定函数中的、、的值,同时注意范围对值域的影响,以及的值域是,但当有范围限制时,其值域会相应变化。 7．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设，则的最大值是 ． 8．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，则的最小正周期为 ，最小值为 ． 9．（24-25高一上·天津·阶段练习）函数的最小正周期为 ，则 在区间 上的值域为 . 10．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的最大值为 . 11．（24-25高一上·山西·期末）若函数的定义域为，则的值域为 ． 12．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 压轴题型三：借助二次函数求值域 满分技法 通过三角函数的平方关系等,将三角函数式转化为关于或的二次函数形式,如,令,再根据二次函数的性质,结合的取值范围(或的值域)求值域。 注意要点:在换元过程中,要准确确定新变量的取值范围,同时要注意二次函以及二次项系数的正负对函数最值的影响。 13．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 14．（23-24高一下·北京怀柔·期中）函数的值域为 . 15．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 16．（24-25高三上·上海·阶段练习）对任意均有恒成立，则的最大值为 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知实数，且.记，则 ，的最小值为 . 18．（23-24高一上·吉林长春·期末）函数，的值域为 ． 19．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，，则其值域为 . 压轴题型四：分式型三角函数的值域 满分技法 对于形如或的函数,可通过分离常数法.反解法等进行求解。例如,将变形为,再根据或的值域确定分母的取值范围,进而求出函数的值域。也可通过反解出或,利用其取值范围求解的范围。 注意要点:在分离常数或反解过程中,要注意运算的准确性,同时要充分考虑取值范围对函数值域的限制。 20．（24-25高一下·安徽·开学考试）设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是 . 21．（24-25高一下·全国·课堂例题）函数的值域为 ． 22．（22-23高一下·四川南充·期中）函数的值域为 . 压轴题型五：含绝对值的三角函数值域 满分技法 根据绝对值的性质,将函数,当时;当时,。然后分别在不同区间上求函数的值域,最后综合得到整个函数的值域。对于更复杂的含绝对值的三角函数,可能需要结合三角函数的性质和图象进行分析。 注意要点:要准确划分绝对值内函数值正负的区间,不能遗漏区间端点,并且要注意函数在不同区间上的单调性和最值情况。 23．（24-25高三上·江西·期末）函数在上的值域是，则的取值范围是 24．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数，则下面说法正确的有 ①函数的最小正周期为     ②函数在上单调递增 ③对任意，函数满足 ④函数的最小值为 25．（22-23高一·全国·课后作业）函数，的值域为 ． 压轴题型六：根据三角函数的值域（最值）求参数 满分技法 根据已知的三角函数值域，结合三角函数的性质，建立关于参数的方程或不等式求解。要准确理解三角函数值域(最值) 与参数之间的关系, 建立正确的方程或不等式。同时要注意参数的取值的讨论,避免漏解或错解。 26．（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 27．（2022·全国·模拟预测）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 28．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 29．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为 30．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的取值范围是 . 31．（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是 . 32．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知函数在上单调递增，且，则实数 . 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 2．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知函数在上有定义，则的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 4．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，则下列选项错误的是（   ） A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称 C．的最大值为 D．曲线关于直线对称 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设函数，，，则可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．（24-25高一下·山东·阶段练习）函数，取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（河北省邢台市2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题）已知与在函数的同一个周期区间内，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的最大值为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线轴对称 D．当时，函数有8个零点 12．（24-25高一下·四川内江·开学考试）已知函数，下列选项正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 13．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．关于对称 D．的值域为 14．（2025·山西吕梁·一模）已知，若对，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 15．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．与的图象相同 C．不等式的解集为 D．函数的定义域为； 16．（2025·新疆喀什·二模）余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 三、填空题 17．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为 . 18．（24-25高一下·四川内江·开学考试）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为 . 19．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为 21．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数（，）图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 22．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)若存在，使得，求的取值范围． 23．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 24．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知，且. (1)求的最小正周期，以及单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值. 25．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值. 26．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，当时，的最大值为． (1)求函数在上的单调区间； (2)若且满足，求的取值集合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角函数的定义域与值域（最值） 6种常考压轴题归类 1、三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　 （1）分式：分母不能为零； （2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） （3）零次幂：中底数； （4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； （5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，则 2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型 (1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域 注：形如 (或)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 (2)形如 (或型 ①先由定义域求得的范围 ②求得 (或)的范围，最后求得最值 (3)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)； 对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数； 例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式; ②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。 总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数) (4)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制； 对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。 = (5)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。 (6)形如分式型：等 三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。 ①基本类型一:、型 方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法． ②基本类型二：型． 转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值； 压轴题型一：三角函数的定义域 √满分技法 根据三角函数的性质,如正弦函数、余弦函数定义域为，正切函数的定义域为{x|}，对于复合函数,需考虑内层函数的取值范围,使得整个函数有意义。 注意要点:要准确把握各种三角函数的基本定义域,对于复合函数,要仔细分析内层函数对自变量取值的限制,不能遗漏任何限制条件。 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（2024·浙江金华·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助三角函数的性质与对数函数的性质可计算出集合、，即可得解. 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即，可得， 故. 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的定义域为 ． 【答案】 【详解】 由sin x≠cos x，得tan x≠1，即x≠＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝的定义域为. 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为的定义域是， 对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 5．（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果. 【详解】依题意有，即，且， ∴函数的定义域为． 故选：C． 6．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)且. (2)且 (3) (4) 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以且， 故的定义域为且. （2）因为，所以，即， 所以且， 故的定义域为且. （3）因为， 令，得， 故的定义域为. （4）因为，所以，即， 显然， 故的定义域为. 压轴题型二：求正弦、余弦、正切型三角函数的值域 √满分技法 对于,根据的取值范围是[-1,1],可得y的值域是[k-|A|,k+|A|],对于同理,注意要点:要正确确定函数中的、、的值,同时注意范围对值域的影响,以及的值域是,但当有范围限制时,其值域会相应变化。 7．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标公式，结合同角的三角函数关系式，通过换元，将其化简为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得. 【详解】由， 设，由正弦函数的性质知 ， 故当，即或时，的最大值是. 故答案为：. 8．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，则的最小正周期为 ，最小值为 ． 【答案】 2 【分析】把函数利用二倍角公式和辅助角公式化为正弦型函数,即可求得周期和最值. 【详解】, 的最小正周期为,最小值为2． 答案：; 2 9．（24-25高一上·天津·阶段练习）函数的最小正周期为 ，则 在区间 上的值域为 . 【答案】 【分析】由条件结合正切型函数的周期公式求，由的范围，根据不等式的性质求的范围，再由正弦函数性质求的范围，由此可得结论. 【详解】因为函数的最小正周期为 ， 所以， 所以， 故， 由，可得， 所以， 所以， 所以 在区间 上的值域为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解. 【详解】由 当时，即 所以的最大值为： 故答案为： 11．（24-25高一上·山西·期末）若函数的定义域为，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为， 故答案为： 12．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【详解】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 压轴题型三：借助二次函数求值域 √满分技法 通过三角函数的平方关系等,将三角函数式转化为关于或的二次函数形式,如,令,再根据二次函数的性质,结合的取值范围(或的值域)求值域。 注意要点:在换元过程中,要准确确定新变量的取值范围,同时要注意二次函以及二次项系数的正负对函数最值的影响。 13．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】变形得到在上有解，换元后得到函数的最小值，从而得到. 【详解】， 其中， 故在上有解， 令，则， 其中在上单调递增， 故当时，取得最小值， 最小值为， 故，实数m的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高一下·北京怀柔·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值，则值域可得. 【详解】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 15．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】可将题意转化为函数与在区间上有交点，求出在区间的值域即可得出答案. 【详解】因为函数在区间上有零点， 所以在区间上有解， 即与在区间上有交点， ， 令，所以， 所以， 当时，；当时，， 所以，所以. 故答案为：. 16．（24-25高三上·上海·阶段练习）对任意均有恒成立，则的最大值为 【答案】2 【分析】一方面令可以得到，另一方面取满足题意，由此即可得解. 【详解】令，则， 取，则恒成立， 所以的最大值为2. 故答案为：2. 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知实数，且.记，则 ，的最小值为 . 【答案】 / 【分析】 先将题设不等式等价转化，再利用基本不等式推理得到，从而求得的值；对于函数，利用前面的结论消去，运用二倍角公式将其整理成二次函数型，换元后利用图像分析即得. 【详解】 ，且，化简得， 又，当且仅当时，等号成立，易求得：. 故， 因时，，设则，, 故当时，的最小值为. 故答案为：2；. 18．（23-24高一上·吉林长春·期末）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系结合二次函数的性质及余弦函数的性质计算即可. 【详解】由， 当时，， 易知，故时，取得最小值， 时，，时，， 又，故的最大值为. 故答案为： 19．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，，则其值域为 . 【答案】 【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，求出二次函数值域即得. 【详解】令，，显然在上单调递增，因此，， 则原函数化为：，而在上单调递增， 于是当，即时，，当，即时，， 所以原函数的值域为. 故答案为： 压轴题型四：分式型三角函数的值域 √满分技法 对于形如或的函数,可通过分离常数法.反解法等进行求解。例如,将变形为,再根据或的值域确定分母的取值范围,进而求出函数的值域。也可通过反解出或,利用其取值范围求解的范围。 注意要点:在分离常数或反解过程中,要注意运算的准确性,同时要充分考虑取值范围对函数值域的限制。 20．（24-25高一下·安徽·开学考试）设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是 . 【答案】 【分析】分离常数可得，根据正弦函数的值域求出函数的值域，再根据的定义即可得解. 【详解】， 因为，所以，则， 所以，则， 所以函数的值域是. 故答案为：. 21．（24-25高一下·全国·课堂例题）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合正弦函数的值域与一次函数，反比例函数的性质即可得解.也可以反求出，用来求出值域. 【详解】方法一：． ∵，． 当时，，故该函数的值域为． 方法二：由，得， 即，显然． ∵，∴， 解得，即函数的值域为． 22．（22-23高一下·四川南充·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】变换，根据得到，得到值域. 【详解】， ，则，，故. 故答案为： 压轴题型五：含绝对值的三角函数值域 √满分技法 根据绝对值的性质,将函数,当时;当时,。然后分别在不同区间上求函数的值域,最后综合得到整个函数的值域。对于更复杂的含绝对值的三角函数,可能需要结合三角函数的性质和图象进行分析。 注意要点:要准确划分绝对值内函数值正负的区间,不能遗漏区间端点,并且要注意函数在不同区间上的单调性和最值情况。 23．（24-25高三上·江西·期末）函数在上的值域是，则的取值范围是 【答案】 【分析】分和去绝对值，结合正弦函数的值域求解. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以α的取值范围是 故答案为： 24．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数，则下面说法正确的有 ①函数的最小正周期为     ②函数在上单调递增 ③对任意，函数满足 ④函数的最小值为 【答案】①②③ 【分析】化简原函数后，利用周期性的定义计算①，利用整体代入法求单调性判断②，利用诱导公式判断③，利用三角函数的最值判断④即可. 【详解】对于①，当时，， 当时，， 又 故函数的最小正周期为，故①正确， 对于②，当时，，此时， ， 而，若单调递增， 令，解得， 而当时，成立， 故函数在上单调递增，故②正确. 对于③，易知， 结合得， 一定成立，故③正确， 对于④，由已知得函数的最小正周期为， 故研究在一个周期上的性质即可， 当时，， 此时易知，， 则，故， 当时，， 易知，，， 故，得函数的最小值为，故④错误. 故答案为：①②③ 25．（22-23高一·全国·课后作业）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数，根据函数的定义域求值域. 【详解】 当时，， 当 时，， 综上，. 故答案为： 压轴题型六：根据三角函数的值域（最值）求参数 √满分技法 根据已知的三角函数值域，结合三角函数的性质，建立关于参数的方程或不等式求解。要准确理解三角函数值域(最值) 与参数之间的关系, 建立正确的方程或不等式。同时要注意参数的取值的讨论,避免漏解或错解。 26．（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 27．（2022·全国·模拟预测）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 【答案】/-0.25 【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，，则， 又因为函数在上的最大值为， 所以，即， 所以. 故答案为： 28．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过换元，问题转换成在可取到，进而可求解； 【详解】由，可得：， 令 由题意可知：在可取到， 结合余弦函数的性质可知需满足：， 解得， 所以的最小值为， 故答案为： 29．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为 【答案】 【分析】根据余弦函数的范围求出，的值，再根据得出取最大值时，进而求出的取值集合. 【详解】因为，， ，， ，，， 的最大值为2，此时，则， ，故取最大值时对应x的集合为 故答案为：. 30．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解. 【详解】当时，， 由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得； 当时，由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得， 综上所述. 故答案为：. 31．（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 32．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知函数在上单调递增，且，则实数 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性及取最小值条件列式求解即得. 【详解】由，得，由函数在上单调递增，得，解得， 由，则当时，取最小值， 于是，解得，所以. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答. 【详解】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象、性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期是，A错误； 对于B，由，得， 所以函数定义域为，B错误； 对于C，当时，函数无意义，又，则在上不单调递增，C错误； 对于D，不等式，则， 解得， 所以不等式的解集是，D正确. 故选：D 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知函数在上有定义，则的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】考查和两种情况，结合正切函数的周期为，求出的值的范围即可判断. 【详解】依题意，函数在上有定义， 当时，，正切函数的最小正周期为， 当时，不妨令，则，， ，而， 因此，2可能； 当时，不妨令且，则，， ，都可能， 因此的值不可能是4. 故选：D 4．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【详解】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 5．（河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【详解】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，则下列选项错误的是（   ） A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称 C．的最大值为 D．曲线关于直线对称 【答案】B 【分析】对于选项A：将函数化为形式，求出周期，判断A. 对于选项B：代入验证得到判断B. 对于选项C：求出，最大值是，判断C. 对于选项D：根据对称轴性质，代入求出值，看是否是最值即可判断D. 【详解】已知，所以. 那么，所以选项A正确. 若曲线关于点中心对称，则. 计算，所以曲线不关于点中心对称，选项B错误. 因为正弦函数的最大值为，在中，，选项C正确. 若曲线关于直线对称，则为函数的最值. 计算，是函数的最大值，所以曲线关于直线对称，选项D正确. 故选：B. 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设函数，，，则可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意可知，分别为函数的最大值和最小值，再写出自变量的取值，作差变形即可求解. 【详解】函数的最大值为2，最小值为，又， ，分别为函数的最大值和最小值， 不妨设，， 即，，， ，， 又， ，， 当时，，的一个可能值为3. 故选：D. 8．（24-25高一下·山东·阶段练习）函数，取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数得，且，根据取得最大值时,，得，利用诱导公式化简即可求解. 【详解】根据辅助角公式,其中， 可得,， 则， 所以， 当时，取得最大值， 此时,,移项可得， 由,,可得， 即， 根据诱导公式，可得， 故选：A. 9．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数图象及性质，借助相位整体思想分析正弦函数的单调性与最大值，从而可得参数的范围. 【详解】因为，所以， 由于在递增， 所以， 又由可得：， 由在上恰好取得一次最大值， 则， 所以综合上述可得：， 故选：A. 10．（河北省邢台市2024-2025学年高三下学期3月调研考试数学试题）已知与在函数的同一个周期区间内，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得  ① 或 ②；由得③或④；分组联立并结合即可得答案. 【详解】由得， 所以  ① 或 ②； 由得 所以③或④； 由①③得 由①④得 由②③得 由②④得 又因为，所以 时，. 故选：A. 二、多选题 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的最大值为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线轴对称 D．当时，函数有8个零点 【答案】BCD 【分析】对于A，利用二倍角余弦公式将转化为的二次函数并求其最大值即可判断A；对于B，由有相同的最小正周期，即可判断B；对于C，通过代入检验得可判断C；对于D，得，结合的图象可判断D. 【详解】对于A，， 当时，取得最大值，且最大值为，故A选项错误； 对于B，因为的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，故B选项正确； 对于C，因为， 所以曲线关于直线轴对称，故C选项正确； 对于D，令， 得，则， 结合函数的图象，可知方程在上有8个不同的实根，故D选项正确； 故选：BCD． 12．（24-25高一下·四川内江·开学考试）已知函数，下列选项正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】ACD 【分析】根据余弦函数周期公式直接计算可得A正确，利用整体代换可求出单调区间为，可得B错误，根据零点定义计算可得C正确，结合余弦函数图象性质计算出对应值域可得D正确. 【详解】对于A，由周期公式可得，可得A正确； 对于B，令，解得， 即函数的单调递增区间为，可知B错误； 对于C，当时，可得； 只有当时，即为函数在区间上的唯一一个零点，即C正确； 对于D，由可得， 易知函数在上先减后增，其最小值为，最大值为； 因此函数在区间的值域为，可得D正确. 故选：ACD 13．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．关于对称 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】根据与的关系即可判断A；由与的关系即可判断B；与的关系即可判断C；令，利用换元法，即可判断D. 【详解】的定义域为关于原点对称， 对于A，因为， 所以为偶函数，故A正确； 对于B，因为， 所以的周期为，故B错误； 对于C，因为， 所以关于对称，故C正确； 对于D，令，则，， 由于，所以，进而， 所以， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数，且， 所以函数在上是减函数 因此的值域为，故D正确. 故选：ACD. 14．（2025·山西吕梁·一模）已知，若对，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用辅助角公式化简函数，结合恒能成立的不等式及正切函数的性质、函数的值能取到2求出，再由指定区间上的值域求得关于的不等式即可得解. 【详解】依题意，，其中锐角由确定，， 函数在上单调递增，， 由，使得成立，得， 而在区间上的值域为，则存在，使得，因此，解得， 函数，当时，， 又在区间上的值域为，，则，解得， 所以实数的取值范围是，ABC可能，D不可能. 故选：ABC 15．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．与的图象相同 C．不等式的解集为 D．函数的定义域为； 【答案】ABC 【分析】利用余弦函数的图像与性质即可判断A；利用余弦函数的奇偶性可判断B；利用辅助角公式结合正弦型函数的图像性质可判断C；利用正切函数的定义域结合正切函数的性质可判断D. 【详解】对于A：由得，所以不等式的解集为，故A正确； 对于B：因为,所以;又，所以与的图象相同，故B正确； 对于C：由，可得，则，即， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D：由函数得，解得，所以的定义域为且，故D不正确. 故选：ABC. 16．（2025·新疆喀什·二模）余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】根据诱导公式可得，即可利用正切函数的性质，结合选项逐一求解. 【详解】由于， 故定义域满足,故，解得，故A错误， 对于B，，令,所以，故对称中心为，B正确， 对于C, ,令,解得，故C正确， 对于D, ,则，所以与的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 三、填空题 17．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由二次函数单调性可知对称轴在的右侧，可解. 【详解】， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 若函数在上单调递减， 则，即，又 ， 所以. 故答案为： 18．（24-25高一下·四川内江·开学考试）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为 . 【答案】16 【分析】先将乘以（因为）进行构造，然后展开式子，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】已知，因为，所以.展开可得： . 因为，所以，，则，. 根据基本不等式，. 当且仅当时等号成立. 由，可得. 则实数的最小值为16. 故答案为：16. 19．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过换元，问题转换成在可取到，进而可求解； 【详解】由，可得：， 令 由题意可知：在可取到， 结合余弦函数的性质可知需满足：， 解得， 所以的最小值为， 故答案为： 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为 【答案】 【分析】根据余弦函数的范围求出，的值，再根据得出取最大值时，进而求出的取值集合. 【详解】因为，， ，， ，，， 的最大值为2，此时，则， ，故取最大值时对应x的集合为 故答案为：. 21．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数（，）图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据已知点求出的值，再根据最值点个数列出关于的不等式求解. 【详解】由已知函数（，）图象经过点，则， 由于，则.得． 由，得；由，得；由，得． 因为在上有且只有两个最值点，故，所以． 故实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 22．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用辅助角公式，得到，再由三角函数的周期公式及的性质，即可求解； （2）利用的性质，求出的值域，再结合条件得到，即可求解. 【详解】（1）由题意可得， 所以函数的最小正周期， 令，得到 所以函数的对称中心为 （2）因为，则， 所以，则． 由，得，则， 因为存在，使得，所以， 即，解得， 故的取值范围是． 23．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； （2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域. 【详解】（1） . 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为. （2）由，得， 则，. 所以在区间上的值域为. 24．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知，且. (1)求的最小正周期，以及单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最小值、最大值分别为、. 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及辅助角公式化简得，再由正弦函数的性质求周期和单调递增区间； （2）应用整体法及正弦函数性质求区间最值即可. 【详解】（1）由题设，， 所以的最小正周期为，故函数周期为， 令，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，则，故， 所以的最小值、最大值分别为、. 25．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2)最小值为,最大值为 【分析】（1）根据三角函数周期公式求周期，根据余弦函数单调区间列不等式，可得结果； （2）先确定取值范围，再根据余弦函数性质求最值. 【详解】（1） 所以函数的最小正周期为， 由得 即函数的最小正周期和单调递增区间为； （2） 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为 因此当时，取最小值，为， 当时，取最大值，为. 26．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，当时，的最大值为． (1)求函数在上的单调区间； (2)若且满足，求的取值集合． 【答案】(1)单调递增区间为，减区间． (2)． 【分析】（1）结合余弦函数性质求函数的递增区间和递减区间，再求区间上的单调区间； （2）结合余弦函数性质求函数在上的最大值的表达式，列方程求，方程可化为，结合余弦函数性质解方程即可. 【详解】（1）令，，得，， 所以函数的递增区间为，， 令，，得，， 所以函数的递减区间为，， 因为， 所以的单调递增区间为，减区间． （2）由，可得， 所以， 所以当时，， 所以函数在上的最大值为，此时， 所以．解得． 所以，可得， 则，或，， 即，或，， 又，可解得，，，， 所以的取值集合为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$