精品解析：江西省南康中学2024-2025学年高二下学期第一次大考数学试题

南康中学2024～2025学年度第二学期高二第一次大考 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，下列数列是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 2. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.21 3. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 4. 农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等差数列，则（ ） A. 126 B. 144 C. 162 D. 180 6. 设，为椭圆的两个焦点，若在上存在点，满足，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B. 运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 C. 相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱 D. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系 10. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 当取得最大值时， 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为，则为定值2 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________． 13. 已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则_____． 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若以为直径的圆与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的公比，，． （1）求； （2）设，若，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． （1）求证：是棱的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，记数列的前项和，求. 18. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． （1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． （2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学2024～2025学年度第二学期高二第一次大考 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，下列数列是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的符号可判断数列的单调性，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，，故为递减数列，故A错误. 对于B，，故为递减数列，故A错误. 对于C，，故为递增数列，故C正确. 对于D，，故为递减数列，故D错误. 故选：C. 2. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.21 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可得到结果. 【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为， 故选：A. 3. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】由题意可得，则. 故选：D 4. 农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为，则， 所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 5. 已知为等差数列，则（ ） A. 126 B. 144 C. 162 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 由，解得， 由，解得， 所以， 所以， 所以 故选： 6. 设，为椭圆的两个焦点，若在上存在点，满足，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，只需在左右顶点时，，据此计算即可求得的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆，可知焦点，在轴上，且， 所以， 在上存在点，满足，在左右顶点时，取到最大值， 只需在左右顶点时，， 所以，所以，所以，解得， 又椭圆的离心率小于1，所以的离心率的取值范围为. 故选：B. 7. 已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据可得点的轨迹方程为，又直线过定点，故最大距离为圆心到定点的距离与半径的和，进而可得. 【详解】令，由，可得， 可得点的轨迹方程为，其中圆心，半径为2. 而直线过定点， 故距离的最大值为. 故选：D 8. 若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先将成立变形为时成立，将通项公式代入，从而将问题转化为恒成立问题，研究新数列的单调性即可解决问题． 【详解】依题意，得，故只需考虑时，，． 因为，只需要， 即，整理得． 令，则， 所以对任意的恒成立，所以数列为递增数列， 则，所以，即的取值范围为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B. 运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 C. 相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱 D. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C； 【详解】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误； 对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确； 对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误； 对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确。 故选：BD. 10. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 当取得最大值时， 【答案】BC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：， ， 即，，且，即B、C正确； 因，故数列是递减数列，故A错误； 因，，即当取得最大值时，，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为，则为定值2 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，由线面平行的判定定理即可证明平面，从而判断A；建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断BD，由空间向量数量积的定义即可判断C. 【详解】对A项，连接，故点在线段上，因为，故平面，所以到平面的距离为定值，又因为为定值，所以四面体的体积为定值，A对； 对B项，如图，取中点，因为底面为一个内角的菱形， 所以，以为原点建系如图，故， 设，由可得， 故点为以为圆心，为半径的圆落在正方形内的部分， 设与圆交于点，因为，所以， 故点轨迹的长度为，B对； 对C项，如图，取中点，所以，故，C错； 对D项，结合B项中建系，设，可得， 所以， 如图，设， 在线段上取点，设，则， 显然，连接使得共线，此时有最小值，故D对. 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于7，求的值，即可求得系数. 【详解】， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则_____． 【答案】9或18 【解析】 【分析】根据等比数列定义求得公比，再利用两数列各项之间的关系计算可得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得，即， 解得或； 当时，可得，又，所以； 此时； 当时，，可得，又，所以； 此时； 综上可得，或18. 故答案为：9或18 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若以为直径的圆与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设则依题得，，将用坐标表示，推得，设直线的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，三式联立即可求得直线斜率. 【详解】 如图，设因点关于轴对称的点为，故， 因轴，是圆的直径，则，故轴，则. 由可得，即得，也即 . 又，依题意，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，代入，消去，得， 则且，由，解得或， 分别代入中，可得或，故直线的斜率为：或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的公比，，． （1）求； （2）设，若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合等比数列通项公式列出等比数列首项和公比的方程组即可求解； （2）先求出的通项公式，再由等差数列前项和公式结合题设列出等量关系式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 解得或（舍去）. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． （1）求证：是棱的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接，又是的中点，则且， 由在棱上，底面为矩形，则，故， 由平面，平面且平面平面，则， 所以为平行四边形，故， ∴是的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，线面平行的性质有，结合得到为平行四边形，即可证结论； （2）建立空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 显然平面的一个法向量可以为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值； 17. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，记数列的前项和，求. 【答案】（1） 在数列中，由，得， 则，而，即， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证. （2）利用（1）的结论，利用等差数列定义求出通项公式. （3）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，即， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）得， 则 ， 所以. 18. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． （1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． （2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 【答案】（1） X 0 1 2 3 P （2）（i）0.498；（ii）0.15865 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的分布列与数学期望计算即可； （2）（i）两边取对数，得，再求经验回归方程即可； （ii）由（i）及提供的参考数据可知，再由正态分布的性质求解即可. 【小问1详解】 随机变量服从超几何分布，且的可能取值为， 且，． X 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 （i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即． 第二步：求经验回归方程．其中， 由提供的参考数据，可知，又，故， 由提供的参考数据，可得，故． 当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498． （ii）由（i）及提供的参考数据可知， 又，即，可得，即， 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865． 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 【答案】（1） （2） （i）设点，直线方程为， 联立方程，得， 所以，， ． 设，则 ， 即对任意恒成立． 所以，解得 所以，以为直径的圆恒过点． （ii）． 由题意可知，代入双曲线方程可得， 设的中点为，则 ， 所以，所以． 又，所以四点共圆． 由相交弦定理得． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，求解即可得双曲线的方程； （2）（i）设点，直线方程为，与双曲线方程联立方程组可得，设，利用对恒成立可求得定点的坐标；（ii）求得的坐标，可求得，进而可得四点共圆，可证得结论． 【小问1详解】 由题意． 将点代入双曲线方程得，解得． 所以，双曲线的方程为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $