精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题

建平中学2024学年第二学期第一次教学质量检测 高二数学试卷 姓名：_____班级：_____学号：_____ 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 2. 曲线在点（1，1）处的切线的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】求曲线在点处的切线的斜率，就是求曲线在该点处的导数值． 【详解】y′＝2x，当x＝1时，y′＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y＝f（x）在点x0处的导数是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率． 3. 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】令，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 4. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积的求法求已知圆锥的侧面积. 【详解】由题设，圆锥的侧面积为. 故答案为： 5. 函数的驻点为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据驻点定义，直接计算即可. 【详解】，则，令，解得，即的驻点为. 故答案为：. 6. 函数为奇函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数为奇函数，则. 故答案为： 7. 在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定可推出面，则，再利用等体积法转换即可. 【详解】面，面；. 且，面；. ；. ；； 设点到平面的距离等于. ；；即. 即点到平面的距离等于. 8. 如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 9. 如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量共面的推论易知在面内，且面，结合正方体的对称性及空间数量积运算确定不同取值的个数. 【详解】由，且，即在面内， 要使取最小值时，点位置记为点，即面，结合正方体的对称性， 知：，，三种情况， 所以数量积的不同取值的个数为3. 故答案为：3 10. 已知函数有四个零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出在上的零点，再由，可得在上存在一个零点，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可得到不等式组，进而得解. 【详解】因为， 当时，令，即，解得，， 所以在上存在两个零点，则在上存在两个零点， 当，令，则， 所以或； 当，解得，所以也是的一个零点， 则在上存在一个零点， 令，， 则，令，，则， 所以当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以，所以（）， 即，所以在上单调递增， 所以，， 要使在上存在一个零点， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 11. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”.则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得与函数至多只有一个交点，则最多只有一根，令，则在上单调，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，当时，即可得解. 【详解】依题意可得与函数至多只有一个交点， 由， 即关于的方程最多只有一根， 即与最多只有一个交点， 令，则在上单调， 又， 当时，则当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 当时，因为，又在上单调，所以恒成立， 所以，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 12. 若E，F为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点O，A，B，C为空间中四个定点，，且，，两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】证明在平面内射影为角平分线，据此如图建立空间直角坐标系. 然后由动点满足，动点满足，类比平面情况可得点P，点Q轨迹，然后由空间向量知识可得答案. 【详解】先证明在平面内射影为角平分线. 如图，过点B做平面垂线，垂足设为F，则为在平面内射影. 过F点做OA，OC垂线，垂足为H，G. 因平面，又平面，则. 又平面，，则平面， 又平面，则，同理可得， 又，，则，从而. 又，则，则，又， 则，从而为角平分线，则. 如图，以OF所在直线为y轴，在平面内与OF垂直直线为x轴，过O点与平面垂直直线为z轴，建立空间直角坐标系. 因，则，又， 则. 注意到，，. 则，. 又，则. 因，又，则在方向上的投影向量模长为8， 如图，取，则点P在过点D，与垂直的平面上，注意到. 因，则，故在以AB为直径的球体表面上. 取中点为M，则. 得， 故最小值为点到平面的距离，减去球M半径. 注意到的一个法向量为，则到平面的距离为：. 注意到，，则. 又，则球体半径为.故所求最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：若过空间中过一定点不共面三直线夹角两两相等，则其中一条直线，在另两条直线确定平面上的射影为这两条直线确定其中一个夹角的角平分线上.对于立体几何问题，常可由平面几何问题类比思考. 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵当（x）＞0时（x）单调递增，当（x）＜0时（x）单调递减 ∴当x时（x）单调递增，当x时（x）单调递增，当x时（x）单调递增. 考点：导数在函数单调性中的应用. 15. 已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②向量平行于向量的充要条件为； ③向量垂直于向量的充要条件为； 其中假命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：设为中点，利用向量的中线公式直接求解；对于②：利用向量平行直接求解；对于③：利用向量垂直计算后判断. 【详解】由题意：，. 对于①：设为中点， 所以， 所以线段的中点的广义坐标为，故①正确； 对于②：向量平行于向量 ，其中，故②正确； 对于③：向量垂直于向量， 而，故③不一定成立. 故选：B. 16. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可. 三、解答题（本题共有5大题，满分78分） 17. 如图，在长方体中，四边形的周长为12.，长方体的体积为. （1）求函数的表达式，并写出的取值范围. （2）求函数在上的平均变化率，及在处的瞬时变化率. 【答案】（1） （2）22； 【解析】 【分析】（1）由已知有，由长方体的体积公式即可求解； （2）根据即可计算平均变化率；先求，即可求在处的瞬时变化率为. 【小问1详解】 有题意有：，有， 所以长方体的体积为， 所以； 【小问2详解】 根据题意有在上的平均变化率为, 由，所以在处的瞬时变化率为. 18. 在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. （1）取的中点，用向量，，来表示向量； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 19. 如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧． （1）求的值和的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值． 【答案】（1）， ；（2）. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值． 试题解析： (1)由条件得. ∴. ∴曲线段的解析式为. 当时，. 又， ∴, ∴. (2)由(1)，可知. 又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故. 设,,“矩形草坪”的面积为 . ∵， ∴, 故当，即时，取得最大值． 20. 在平面直角坐标系中有两个定点、，已知动点在平面中且到、两点的斜率乘积为，点为定点. （1）求动点的轨迹方程. （2）如图，在空间中有一点在平面上方，满足平面，且. （i）探究直线与的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角的大小；若不是定值，说明理由. （ii）在平面上过点作直线.当点到直线距离最大时，求直线与平面夹角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】设动点坐标，根据题意列出斜率关系，化简求得动点轨迹方程； 建立空间直角坐标系，求出直线和的方向向量，利用公式判断是否为定值； 先找出点到直线距离最大时的位置，再求面的法向量，根据线面角的向量公式即可求出正切值. 【小问1详解】 设动点的坐标为，已知，，由题可得：； 即，整理得：； 故动点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 如图，过点做与向量方向做轴，与向量方向做轴，过垂直于轴的直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为面，设，； 因为，所以，解得：. 设，则，； 设向量与的夹角为，则； 由，得，代入得：. 即直线与的夹角为定值，. 当时，点到直线的距离最大； 已知，，则； 设直线的方向向量为，因为，所以，所以设； 设平面的法向量为； 设直线与平面夹角为，则； ，所以. 即直线与平面夹角的正切值为. 21. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）求函数（其中）的单调区间； （3）定义：若一条直线同时是两条（或两条以上）曲线的切线，则这条直线叫做这两条（或两条以上）曲线的公切线.判断与是否存在公切线、如果不存在，请说明理由；如果存在，请指出公切线的条数. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）答案见解析 （3）存在两条公切线 【解析】 【分析】（1）由已知有，利用导数求极值即可； （2）求，根据的情况分类讨论即可； （3）假设存在公切线，设、切点的为，分别求出切线方程，则有，消去得等价于在有解，即，构造函数，利用导数即可求解. 【小问1详解】 由题意有，所以，令有， 由有，由有，所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，的定义域为， 所以， ①当时，则有，所以，所以的单调增区间为； ②当时，令，， 则有两个不等的正实根，，， 由有或，有或， 所以的单调增区间为，减区间为； 【小问3详解】 假设存在公切线，与、分别相切于点，则， 所以公切线为：， 和， 所以，消去得， 存在公切线等价于方程在有解， 即，令， ，所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得，又， 所以，使得，所以方程只有两个解， 所以与存在两条公切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2024学年第二学期第一次教学质量检测 高二数学试卷 姓名：_____班级：_____学号：_____ 说明： （1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____. 2. 曲线在点（1，1）处的切线的斜率为______. 3. 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则_____. 4. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，则该圆锥的侧面积为_____. 5. 函数的驻点为______． 6. 函数为奇函数，则_____. 7. 在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于_____. 8. 如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____. 9. 如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为_____. 10. 已知函数有四个零点，则实数的取值范围是_____. 11. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”.则实数的取值范围是_____. 12. 若E，F为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点O，A，B，C为空间中四个定点，，且，，两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是_____. 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②向量平行于向量的充要条件为； ③向量垂直于向量的充要条件为； 其中假命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 三、解答题（本题共有5大题，满分78分） 17. 如图，在长方体中，四边形的周长为12.，长方体的体积为. （1）求函数的表达式，并写出的取值范围. （2）求函数在上的平均变化率，及在处的瞬时变化率. 18. 在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. （1）取的中点，用向量，，来表示向量； （2）求. 19. 如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧． （1）求的值和的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值． 20. 在平面直角坐标系中有两个定点、，已知动点在平面中且到、两点的斜率乘积为，点为定点. （1）求动点的轨迹方程. （2）如图，在空间中有一点在平面上方，满足平面，且. （i）探究直线与的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角的大小；若不是定值，说明理由. （ii）在平面上过点作直线.当点到直线距离最大时，求直线与平面夹角的正切值. 21. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）求函数（其中）的单调区间； （3）定义：若一条直线同时是两条（或两条以上）曲线的切线，则这条直线叫做这两条（或两条以上）曲线的公切线.判断与是否存在公切线、如果不存在，请说明理由；如果存在，请指出公切线的条数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $