专题05 三角形中的边、角问题（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

专题05 三角形中的边、角问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用三边关系化简 3 类型二、三角形的中线问题 3 类型三、三角形的高线问题 5 类型四、三角形的角平分线问题 5 类型五、三角形的折叠问题 7 类型六、三角形的外角问题 8 压轴能力测评 10 一、三角形的三边关系及稳定性 （1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 （2）稳定性：①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 二、三角形的重要线段 三角形的重要线段 概念 图形 几何语言表示 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 是的上高线， 三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 是的上的中线. ∴， 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 是的的平分线， 三、三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法 剪角拼角法 ③直角三角形： 直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“”表示，如。 有两个角互余的三角形是直角三角形 四、三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，是的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。 五、多边形 多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形公式： （1）边形的内角和公式：；（2）边形一个顶点的对角线数： （3）边形的对角线总数：；（4）边形的外角和： 正多边形： （1）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （2）正多边形的每个内角；（3）正多边形每个外角的度数： 类型一、利用三边关系化简 【例1】已知三角形的三边长分别为、、，化简得（   ） A． B． C． D． 【例2】若，，分别为三边，化简：． 【变式1-1】若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 【变式1-2】已知一个三角形的三边长分别为2，4，m．化简：． 【变式1-3】已知a，b，c为三角形三边的长，化简： 类型二、三角形的中线问题 【例3】如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【例4】如图，在中，，，，，点E是的中点，，交于点F，则四边形的面积为 ． 【变式2-1】如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ． 【变式2-3】中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 类型三、三角形的高线问题 【例5】如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【例6】若的高，，，则的面积为 ． 【变式3-1】已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为 ． 【变式3-3】中，，边上的高，，则的面积是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 类型四、三角形的角平分线问题 【例7】如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【例8】已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 【变式4-1】如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 【变式4-2】如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则 ． 【变式4-3】如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．    (1)①的度数为 ． ② ． (2)求的度数． (3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 类型五、三角形的折叠问题 【例9】如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【例10】如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 【变式5-1】如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【变式5-3】如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 类型六、三角形的外角问题 【例11】如图所示，已知，点A是平面内一点，连接．点G是上一点，过点G作，若，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【例12】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】在中，，D为线段一点（不与C、B重合），点E为射线上一点，．设，． (1)如图1，①若，，则 ， ； ②写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E 在的延长线上时，其它条件不变，写出与的数量关系，并说明理由 【变式6-2】如图，在中，和的平分线，相交于点，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如下图，在中，，点D在的延长线上，连接．若，求的度数． 1．如图所示，与关于直线成轴对称．若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 3．如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 4．如图，是边上任意一点，是的中点，是的中点．若的面积是，则的面积是 ．    5．如图，和是由分别沿着直线，折叠得到的，与相交于点I．若，则的度数为 ． 6．在一条长方形纸带一边上取中点，按如图所示的方式折叠，两点均落在点处．若，则的度数为 ． 7．如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点．若，，则的度数为 ． 8．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长 9．如图，，，，，，求． 10．如图，在中，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 11．三角形三边均为正整数，且满足，求三边长． 12．如图，点D在内，E为射线上一点，连接． (1)如图①，． ①线段与有何位置关系？请说明理由； ②过点D作交射线于点M，试说明：． (2)如图②，．若N为平面内一点，且，请写出与的数量关系，并说明理由． 12 / 13学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的边、角问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用三边关系化简 3 类型二、三角形的中线问题 4 类型三、三角形的高线问题 8 类型四、三角形的角平分线问题 11 类型五、三角形的折叠问题 15 类型六、三角形的外角问题 19 压轴能力测评 24 一、三角形的三边关系及稳定性 （1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 （2）稳定性：①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 二、三角形的重要线段 三角形的重要线段 概念 图形 几何语言表示 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 是的上高线， 三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 是的上的中线. ∴， 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 是的的平分线， 三、三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法 剪角拼角法 ③直角三角形： 直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“”表示，如。 有两个角互余的三角形是直角三角形 四、三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，是的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。 五、多边形 多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形公式： （1）边形的内角和公式：；（2）边形一个顶点的对角线数： （3）边形的对角线总数：；（4）边形的外角和： 正多边形： （1）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （2）正多边形的每个内角；（3）正多边形每个外角的度数： 类型一、利用三边关系化简 【例1】已知三角形的三边长分别为、、，化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的三边长分别是a，b，c， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则： ， ， 故选：A． 【例2】若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 【变式1-1】若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】已知一个三角形的三边长分别为2，4，m．化简：． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，m， ∴， 即， ∴，，， ∴ ． 【变式1-3】已知a，b，c为三角形三边的长，化简： 【答案】 【详解】解：是三边的长， ，，， ． 类型二、三角形的中线问题 【例3】如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 【例4】如图，在中，，，，，点E是的中点，，交于点F，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式2-1】如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 【变式2-2】已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ． 【答案】11或4 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， 将的周长分为10和15两部分，分2种情况： ①， 则：， ∴， ∴， ∴； ②， 则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：11或4． 【变式2-3】中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【答案】，或， 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 类型三、三角形的高线问题 【例5】如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 【例6】若的高，，，则的面积为 ． 【答案】36或12 【详解】解：①当是锐角三角形时，如图所示： ∵是的高，， ∴， ∴； ②当是钝角三角形时，如图所示： ∵是的高，， ∴， ； 综上所述：的面积为36或12． 故答案为：36或12． 【变式3-1】已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：①如图1，当高在的内部时， ； ②如图2，当高在的外部时， ． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 【变式3-2】如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3-3】中，，边上的高，，则的面积是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：当在内部时， ∵， ， ∴， 又边上的高， ∴的面积是； 当在外部时， ∵， ， ∴， 又边上的高， ∴的面积是； 综上，的面积是6或12， 故选：C． 类型四、三角形的角平分线问题 【例7】如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ． 【例8】已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 【变式4-1】如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可得，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则 ． 【答案】 【详解】解：设，，则，，，， ∵平分， ∴， 如图，作，则， ∴， ， ，， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．    (1)①的度数为 ． ② ． (2)求的度数． (3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【答案】(1)， (2) (3)不发生变化，，理由见详解 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （3）解：不变，，理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 类型五、三角形的折叠问题 【例9】如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】 【详解】解：, 由折叠的性质得：, , ， 故答案为：． 【例10】如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【变式5-1】如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠可知，，， 平分， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ，即， ， ． 故选：A． 【变式5-2】把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 类型六、三角形的外角问题 【例11】如图所示，已知，点A是平面内一点，连接．点G是上一点，过点G作，若，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H， ，， ， ； ，， ， ， 即的度数是， 故选C． 【例12】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； 取的延长线与点M，的延长线与点N，如图： 平分，平分， ， 故C正确，不符合题意； 由选项C知， ，无法得到， 故D项错误，符合题意． 故选：D． 【变式6-1】在中，，D为线段一点（不与C、B重合），点E为射线上一点，．设，． (1)如图1，①若，，则 ， ； ②写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E 在的延长线上时，其它条件不变，写出与的数量关系，并说明理由 【答案】(1)①12度，6度；②，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴，即， ； 故答案为：，； ②，理由是： 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由是： 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，在中，和的平分线，相交于点，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和的平分线，相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式6-3】如下图，在中，，点D在的延长线上，连接．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：设． ， ． ， ， 即． ， ， ， ， ． 1．如图所示，与关于直线成轴对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与关于直线成轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 3．如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：①如图，当点F在线段上时， ， ， ∵平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图，当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点， ， ， 又，， ， ∵平分， ， ， ， ， 中，， 中，， 又， 解得． 故选：C． 4．如图，是边上任意一点，是的中点，是的中点．若的面积是，则的面积是 ．    【答案】8 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的中点，的面积是， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8 ． 5．如图，和是由分别沿着直线，折叠得到的，与相交于点I．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：和是由分别沿着直线，折叠得到的， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．在一条长方形纸带一边上取中点，按如图所示的方式折叠，两点均落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】/200度 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 故答案为：． 7．如图，和关于直线对称，和关于直线对称，与相交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【详解】解：如下图所示， 和关于直线对称， ， 和关于直线对称， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 是的外角， ． 故答案为： ． 8．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长 【答案】9 【详解】解∶∵ ， ∴，， ∴，， ∴，即， 又c是整数， ∴， ∴的周长． 9．如图，，，，，，求． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 故． 10．如图，在中，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：，， ． 又， ； （2）证明：，， ． ， ． ， ， ，即． 11．三角形三边均为正整数，且满足，求三边长． 【答案】3，7，8或4，5，6． 【详解】解：由题意不妨设． ，均为正整数， ，显然当时不等式不成立， ． 若，则， 整理，得，不符合题意； 若，则， 整理，得， 经检验，当时构成三角形； 若，则， 整理，得， 经检验，当时构成三角形． 综上，三边长分别为3，7，8或4，5，6． 故答案为：3，7，8或4，5，6． 12．如图，点D在内，E为射线上一点，连接． (1)如图①，． ①线段与有何位置关系？请说明理由； ②过点D作交射线于点M，试说明：． (2)如图②，．若N为平面内一点，且，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①，见解析；②见解析 (2)或，见解析 【详解】（1）解：如图①，过点E作，则， ①．理由如下： 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． ②因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （2）解：分以下两种情况讨论： ①当点N在直线的右侧时，如图②，． 理由如下： 设与交于点F． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以； ②当点N在直线的左侧时，如图③，理由如下： 设直线与交于点H． 由①可知，． 因为， 所以． 综上所述，与的数量关系为或． 31 / 34学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$