第17章 三角形【单元卷·考点卷】（15大核心考点）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第17章 三角形【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 构成三角形的条件（共5题） 1．四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； B、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； C、因为，所以长度为，，的三根木棒不能组成一个三角形，则此项符合题意； D、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，先设第三根木棒长为，根据三角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长度为， 由题意得：， 即， 只有A选项不在范围内， 故选：A． 3．如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 【答案】(1)不能； (2)8根火柴能搭成1种三角形，边长分别是3，3，2；12根火柴能搭成3种三角形，边长分别是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 【分析】本题主要考查三角形的三边关系． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形． （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形． 【详解】（1）解：4根火柴只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形，故4根火柴不能搭成三角形； （2）解：8根火柴能搭1种，边长是3，3，2； 12根火柴能搭3种，边长是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 示意图如下： 4．王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 5．阅读材料： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整． 问题提出： 在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？ 问题解决： 我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试． （1）在1~5这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法． （2）在1~6这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法． 请继续探究并直接填写答案： （3）在1~7这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有_________种取法． （4）在1~8这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有_________种取法． …… 经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案： ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？ 根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有________________种取法． ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论． 新知运用： 某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应的分值为1~20分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有________________种． 问题拓展： 各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案． 【答案】（3）12 （4）16 ①；② 新知运用：100 问题拓展：42 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的混合运算，三角形的三边的数量关系，理解题目中数数量关系，找出规律是解题的关键． （3）根据材料提示的方法进行列举即可求解； （4）根据材料提示的方法进行列举即可求解； ①由上述材料总结可得当为奇数时，取法有； ②由上述材料总结可得当为偶数时，取法有； 新知运用：把代入即可求解； 问题拓展：把代入，结合三角形三边数量关系分类讨论即可求解． 【详解】解：（3）∵（1）中从这个自然中，每次取两个数，两数之和大于的取法有种，（2）中从这个自然数中，每次取两个数，两数之和大于的取法有种， ∴从这个自然中，每次取两个，两数之和大于的取法有：，，，，，，共12种， 故答案为：； （4）从这个自然数中，每次取两个数，两数之和大于的取法有：，，共16中， 故答案为：； ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n， 取法为：， ∴共有种取法； ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n， 取法有：， ∴共有种取法； 新知运用： 一共有20个小题，即为偶数， ∴可能性共有种； 问题拓展： 第一种情，当不是等腰三角形时，三角形各边都是整数，最大边为12，即从这12个自然数中，取两个数，根据三角形三角形三边数量关系，取出的两个数的和要大于12，即为偶数， ∴共有种； 第二种情况，当是等腰三角形时，取法有：，共6种； ∴（种）， ∴各边长都是整数，最大边为12的三角形有42种． 考点二 确定第三边的取值范围（共5题） 6．用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键； 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可求解； 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， 则， 即； 故选：C 7．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 8．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，确定x的范围，再根据x为奇数，据此可求得答案． 【详解】解：根据三角形两边的和大于第三边，则．即． 根据三角形两边的差小于第三边，则，即， ， 为奇数， 的长为， ∴三角形的周长， 故答案为：12． 9．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 10．某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 【答案】(1)可以设计2种不同规格的三角形框架，理由见解析 (2)最少费用为53元 【分析】本题考查三角形三边关系． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长为2，3，4或2，5，4； （2）解：由表格可得，4米的铁条每米费用最少， ∵铁条长度可以切割，但不能拼接 ∴应尽可能多的使用4米铁条，才能使费用最少， 由（1）知两种三角形框架的边长分别为：2，3，4和2，5，4，各做一个， ∴可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少， 最少费用为：（元）． 答：购买铁条共需53元． 考点三 三角形三边关系的应用（共5题） 11．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键． 根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：， ， ， 折叠凳的宽可能是， 故选：A． 12．如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【答案】C 【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】解：已知、、、， 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 故选：C． 13．已知一个三角形的三条边长分别为． （）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”） （）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ． 【答案】 不符合 符合 不符合 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据三角形的三边关系即可求解； 本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：（）当时，不符合三角形的三边关系；当时，符合三角形的三边关系；当时，不符合三角形的三边关系， 故答案为：不符合；符合；不符合； （）由三角形的三边关系得，， 即， 故答案为：． 14．将的线段分成n（）段，每一段长均为不小于的整数厘米，分完后，任何三段都不能构成三角形，则n最大为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是保证前两项最短的情况下，使第三项等于前两项之和，这样便不能构成三角形． 根据三角形的三边关系；三角形两边之和大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是；，然后依此类推，最后每段的总和要不大于100即可． 【详解】解：因为段之和为定值，故欲尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小． 又由于每段的长度不小于，且任意3段都不能拼成三角形， 因此这些小段的长度只可能分别是， 但， ， 所以的最大值为9． 故答案为：9． 15．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为，理由见解析 (2)符合条件的的整数长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）解：第一段的长不能为； 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 考点四 与三角形的高有关的计算（共5题） 16．如图，已知为的中线． (1)画出中边上的高； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查的是三角形的中线、高线，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． （1）依据高线的定义画出图形即可； （2）依据三角形的面积公式求得的面积，最后依据的面积的面积的2倍求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：因为为的高， 所以． 因为为的中线，所以． 17．如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查作图-基本作图， 解题的关键是掌握三角形高线的定义和三角形的面积公式． （1）根据三角形高的定义作图即可得； （2） 依据求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ． 18．如图，已知中为直角，且，，． (1)画出的高； (2)利用面积公式求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作三角形的高，利用三角形的面积求高的长； （1）过A点作的垂线，交于点D，线段即为所作； （2）利用求出长即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）解：∵， ∴． 19．如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1)， (2)的面积为8， 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 20．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点是折线的“折中点”的一种情形，请解答以下问题： 基本要求 (1)当时，点在线段 上； (2)若为线段中点，，，求的长度．分两种情形 若在上，则 若在上，则 (3)能力提升 若，，若，有一动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，设运动时间是； 求当为何值，三角形的面积为？ 若动点从点出发的同时，动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，当一点到达终点时另一点同时停止，是否存在的值，使得． 【答案】(1) (2)①；② (3)①5或14；②存在；或 【分析】（1）根据图形以及阅读材料所给的信息直接填空即可； （2）①根据为线段中点，，得出，根据折中点的定义得出，最后求出结果即可； ②根据为线段中点，，得出，求出，根据折中点的定义得出，最后求出结果即可； （3）①分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，分别列出关于t 方程，解方程即可； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别根据，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据线段可知：当时，点在线段上； （2）解：①当点在上时，如图所示： ∵为线段中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D为“折中点”， ∴， ∴； ②当点在上时，如图所示： ∵为线段中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D为“折中点”， ∴， ∴； （3）解：当点在上运动时，如图所示： 根据题意得：， ∵， ∴， ∵三角形的面积为， ∴， 解得：； 当点在上运动时，如图所示： ， 此时，， ∴， ∴， 解得：； 故当的值为或时，三角形的面积为； ， 当时，，， 由题意得：， 解得： 当时，，， 由题意得：， 解得：不合题意，舍去； 当时，，， 由题意得：， 解得：； 故当为或时，使得 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，三角形面积的计算，线段的和差计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 考点五 与三角形中线有关的面积计算（共5题） 21．如图，中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于，，则的面积为（    ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，先结合，，得，因为是的中点，则的面积，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴的面积， 故选：D 22．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即为， 故选：C． 23．如图所示，，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查利用中线求三角形的面积．根据，得点D是的中点，，故． 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：1． 24．如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中线等分面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 由为中点，设，依次利用三角形的中线等分面积表示出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵为中点， ∴， 设， ∴， ∵为中点， ∴, ∵为中点， ∴， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 故答案为：． 25．阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 考点六 三角形内角和定理的证明（共5题） 26．定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） ​证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（*）， ∴， ∴． A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】将证明过程补充完整，由此可得出结论①不正确，结论②正确，结合得到的结论适用于任何三角形，可得出结论④正确． 【详解】证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意； ∴， ∴．故②符合题意； 上述证明得到的结论，适用于任何三角形． 故③不符合题意；④符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，将证明三角形的内角和是的过程补充完整是解题的关键． 27．下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 方法一 ：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于； 方法二：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于． 【详解】证明：方法一：如图，过点A做． 因为， 所以，． 又因为D，A，E在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 方法二：如图，过点C做，并延长到D． 因为， 所以，． 又因为B，C，D在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 28．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可证明结论； （2）延长交于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：如图，延长交于E， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∵，， ∴． 29．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定与性质，三角形内角和定理． （1）根据平行线的性质和平角定义即可完成填空； （2）过A作，根据平行线的性质和平角定义即可完成证明． 【详解】（1）证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（平角定义）， 所以（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等； （2）证明：如图②，过A作， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 30．【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【答案】(1)①②③④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明方法． （1）根据辅助线的作法，结合平行线的性质逐个图分析即可； （2）选择方法①，由平行线的性质得，，结合可证． 【详解】（1）解：根据辅助线的作法，结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是”． 故答案为：①②③④； （2）解：选择方法①， 因为 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以三角形内角和为． 考点七 三角形内角和定理的计算（共5题） 31．如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 32．【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质； （1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （3）证明，求解，结合角平分线与三角形的外角的性质可得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴ （3）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴． 33．数学活动课上，老师给兴趣小组的同学们布置了一道探究题：在中，平分于点，，交直线于点．猜想与和的数量关系． 同学们通过画图计算等方法进行推理，得到了有关成果．下面是三个兴趣小组成员进行交流展示时的部分成果，请同学们借助展示成果来完成任务． 素材1： /度 /度 /度 素材2： 思考分享： “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组” 如图1，，设置表格，尝试代入，的值，求的值，得到几组对应值． 若，根据题目条件，作出图2． 通过推理发现，当时，点重合，故． 反思：…… 任务一：如图1，根据“智慧小组”的计算表格，可知________，猜想与的数量关系为________； 任务二：若，请你根据图2，判断“任务一”中与，的数量关系否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们所满足的数量关系，并说明理由； 任务三：反思：通过本次活动说出一条在解决此类数学问题中你得到了什么启示？ 【答案】任务一： ；；任务二：不成立，；任务三：见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质． 任务一：根据表格计算即可得到的度数，然后根据，可以得到，然后根据角平分线的定义得到，然后根据角的和差得到，然后根据平行线的性质得到； 任务二：根据“任务一”的计算方法解题即可得到结论； 任务三：可以利用计算数据发现规律的方法探究结论；解决数学问题要全面，分情况讨论，推理说明更加具有严谨性（答案不唯一）． 【详解】解：任务一：根据“智慧小组”的计算表格，可知， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 猜想：； 故答案为：，； 任务二：不成立，理由为： ∵， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴； 又∵， ∴， 任务三：可以利用计算数据发现规律的方法探究结论；解决数学问题要全面，分情况讨论，推理说明更加具有严谨性（答案不唯一）． 34．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 35．阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； (2)若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； (3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)是“倍角三角形”，理由见解析 (2) (3)的度数为或 【分析】本题是三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定及性质，弄清定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）分别求出的三个内角，再由定义进行判断即可； （2）设最小内角为，另一个内角为，分两种情况讨论：当时，（不符合题意，舍去）；当时，； （3）证明，再分两种情况讨论：当时，；当时，． 【详解】（1）解：是“倍角三角形”， 理由如下： 在中，， ∴， ∴，即， ∴是“倍角三角形”； （2）解：设最小内角为，另一个内角为， 当时，， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，则， 解得； 综上所述：最小内角为的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“倍角三角形”， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述：的度数为或． 考点八 三角形内角和定理的应用（共5题） 36．如图，已知射线，A，B分别为，上两动点．在中，的平分线与的平分线的反向延长线交于点C试问：的度数是否随A，B的运动变化而发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数． 【答案】不变化，的度数为 【分析】本题考查了角平分线和平角的性质，先根据角平分线的定义得，再根据平角的定义得，，再由平角的定义得，进而可得． 【详解】解：不变化． 如图，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故的度数为． 37．如图，是的边上的中线，是的边上的中线． (1)若，求的度数； (2)画出的边上的高； (3)若的面积为，求的边上的高． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的边上的高为． 【分析】本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，作三角形的高； （1）利用三角形内角和定理即可求得； （2）过点作于，即为的边边上的高； （3）三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求出的面积． 【详解】（1）解：在中，； （2）解：如图，即为所求． （3）解：因为是的中线， 所以． 又因为是的中线， 所以． 因为，即， 所以， 即的边上的高为． 38．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 39．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如三个内角分别为的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交射线于点C． (1)的度数为________°，________（填“是”或“不是”）“智慧三角形”； (2)若，试说明：为“智慧三角形”． 【答案】(1)30，是 (2)见解析 【分析】本题属于几何综合题，考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“智慧三角形”的概念判断； （2）根据“智慧三角形”的概念证明即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的度数为 ∴， ∴为直角三角形，是“智慧三角形”， 故答案为：30；是； （2）解：∵， ∴， ∴为“智慧三角形”； 40．【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)【定理证明】 为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程， 已知：如图1，是的一个外角 求证：． (2)【知识应用】 如图2，在中，，点在边上，交于点，，求的度数． (3)如图3，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点、重合）．当时，平分，平分交直线于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或125° 【分析】（1）根据，，直接证明即可得到答案； （2）根据内外角关系求出，结合即可得到答案； （3）分点在点的上方及下方两类，结合角平分线及内外角关系求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点在点的上方时， ∵，∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，即． ②当点在点的下方时，如图，可得 ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及平行线的性质及角平分线定义，解题的关键是推出内外角关系，并合理利用． 考点九 三角形的外角（共5题） 41．平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 【答案】(1)不成立，，见解析 (2)，见解析 (3)①；②比大 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质的应用，掌握类比的方法解题是关键． （1）如图2，延长交于点．证明，再结合三角形的外角的性质可得； （2）如图3所示，连接并延长．再利用三角形的外角的性质与角的和差运算可得结论； （3）①由（2）的结论，得，结合，可得答案； ②由，，可得，结合，可得答案． 【详解】（1）解：不成立．应为． 证明：如图2，延长交于点．   ， ． 又， ． （2）解：． 证明：如图3所示，连接并延长．    ∴，， ∴． （3）解：①由（2）的结论，得：， ∵ ∴ ②∵，， ∴， ∵， ∴． 42．如图，点D在内，E为射线上一点，连接． (1)如图①，． ①线段与有何位置关系？请说明理由； ②过点D作交射线于点M，试说明：． (2)如图②，．若N为平面内一点，且，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①，见解析；②见解析 (2)或，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质得运用，正确作出辅助线是解题关键． （1）①过点E作，由得，继而证明平行即可；②根据平行线的性质即可求证； （2）分两种情况讨论，借助于平行线的性质与判定以及三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图①，过点E作，则， ①．理由如下： 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． ②因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （2）解：分以下两种情况讨论： ①当点N在直线的右侧时，如图②，． 理由如下： 设与交于点F． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以； ②当点N在直线的左侧时，如图③，理由如下： 设直线与交于点H． 由①可知，． 因为， 所以． 综上所述，与的数量关系为或． 43．【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】[定理证明]见解析；[问题解决]（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理； [定理证明]利用三角形内角和定理及邻补角的定义，即可证明结论； [问题解决]（1）由题意可知，，结合三角形的外角的性质，内角和定理求得，，，进而求得，，即可求解； （2）分两种情况：当为的靠近的三分线时，当为的靠近的三分线时，根据三角形的外角的性质，进行讨论求解即可． 【详解】[定理证明]证明：如图，∵， 又∵， ∴． ∴． [问题解决]（1）∵的三分线分别与的平分线交于点，， ∴，， 在中，由三角形的外角可知，， ∴，， 在中，由三角形的内角和定理可知，， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知，； （2）∵，， ∴， ∵ 为的靠近的三分线， ∴， 当为的靠近的三分线时，， 则； 当为的靠近的三分线时，， 则； 综上：或． 44．综合与实践 【问题情境】数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图①，在中，，平分，是线段上的一点，过点作的垂线，垂足为． 【特例分析】 （1）若，求与的度数； 【类比探究】 （2）善思小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与之间存在特定的等量关系．请你猜想与之间的数量关系，并证明； 【拓展探究】 （3）如图②，敏学小组画出了点、分别在线段、延长线上时的情形，其余条件不变，画出的平分线，交的延长线于点．请在图②中补全图形，写出的度数，并说明理由． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）图见解析；的度数为，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，对顶角等知识，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，由垂直得到，由角平分线的定义，得到，再利用三角形外角的性质求解即可； （2）由（1）可知，，，即可得到结论； （3）根据题意画图，设PF交AE于点J，根据对顶角和三角形内角和定理，得出，结合角平分线的定义，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，， ． ， ． ． 平分， ， ． （2）解：．证明如下： 由（1）可知，， ． ． （3）解：所作图形如图所示，设PF交AE于点J， ，， ． ， ． 、分别平分，， ，． ． ， ． 45．在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理、角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 在中，， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 考点十 全等三角形的性质（共5题） 46．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②． 【详解】解：，， ， 设能够使与全等的时间为， 则，，， 分两种情况考虑： ①时， ， 即， 解得， 此时， 时能够使与全等； ②， ， 即， 解得， 此时，， 即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为． 故选：． 47．如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上．若，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 根据旋转的性质、全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∵点A、D、E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 48．如图，已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．则当与全等时，点的运动速度为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：或． 49．如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为 ． 【答案】4或8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， 则； ②当时， 则； 综上，长为4或8， 故答案为：4或8． 50．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 考点十一 全等三角形的判定（共5题） 51．如图，点在线段上，，，使，还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定， A.由不能判断三角形全等，即可判断； B.由不能判断三角形全等，即可判断； C.由即可判断； D.由不能判断三角形全等，即可判断； 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， A.，，不能判断，故不符合题意； B.， ， ，，，不能判断，故不符合题意； C. ， ， ，，， ()，故符合题意； D.， ，，，不能判断，故不符合题意； 故选：C． 52．如图，在中，，是的边的延长线上一点，连接，顺时针旋转线段得到，且，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意证明，得到，则． 【详解】解：由旋转得：， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 设与交于点， 则， ， ， ， ， 故选B． 53．如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 延长至G，使，从而得出，进一步证明，且，利用证明，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设，则，根据平行线的性质，及角的计算即可得出即可判断③；当时，可得出；时，则无法说明，即可判断①． 【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ②是正确； ， ， 平分， 当时，，则； 当时，，则无法说明； ①是错误的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③是正确的； ， ， ， ， ④是正确的； 故选C． 54．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；②当是的中线时，，进而可以进行判断；③作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；④过作，于点，，由③知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②只有当是的中线时，，故②错误； ③如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③正确； ④过作，于点，， 由③知，为的角平分线， ， ， ，， ，故④正确． 综上所述：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 55．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】7或3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：7或3． 考点十二 旋转模型（共5题） 56．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 57．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （2）解：如图， ，， 为等边三角形． ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． 58．已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 59．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF． (1)若AB＝AC，∠BAC＝90° ①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； (2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数． 【答案】(1)①，；②存在，详见解析 (2)45° 【分析】（1）①由“SAS”可证△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可证CF⊥BD； ②由“SAS”可证△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可证CF⊥BD； （2）过点A作AE⊥AC交BC于E，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“角角边”证明△ACF和△AED全等，可得AC=AE，∠ACE=45°，即△ACE是等腰直角三角形，再根据CF⊥BD可得∠BCA=45°． 【详解】（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形， ∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠FCB=90°， ∴CF⊥BD； ②CE=BD，CF⊥BD，理由如下： 如图2， ∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠FCB=90°， ∴CF⊥BD； （2）如图，过点A作AE⊥AC交BC于E， ∵ ∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90° ∵AE⊥AC ∴∠AEC+∠BCA=90° ∴∠ACF=∠AEC ∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°， ∴∠CAF=∠EAD， 在△ACF和△AED中， ， ∴△ACF≌△AED（AAS）， ∴AC=AE， ∴∠ACE=45°， ∴∠BCA=45° 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同． 60．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 考点十三 倍长中线模型（共5题） 61．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）如图：延长至G，使，连接，先证明，得到、，再证明，即可得到即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）证明：如图：延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 62．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， 是边上的中线， ， 在和中， ， （依据1）， ， 在中，（依据2）， ． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图3，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由全等三角形的判定及三角形三边关系可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，可得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； 依据2：三角形任意两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形两边的和大于第三边； （2）任务二：证明：如图4，延长至，使，连接， 由任务一得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 63．为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 【答案】[问题解决]B；[初步应用] C；[探究发现]见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【探究发现】先得，结合，，则； 【初步应用】同理证明，结合三角形三边关系，则； 【问题解决】 同理证明，则，因为，所以，．结合，即，进行作答即可． 【详解】解：【探究发现】∵延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：B． 【初步应用】如图，延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：C． 【问题解决】延长至点，使，连接． ∵是的中线， ∴． 在和中， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 64．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据定理解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再由三角形的三边关系计算即可得出答案； （3）仿照（1）的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴小明证明用到的判定定理是； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 65．（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【答案】（1），，，；（2），，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系即可得到结论； （2）延长至H，使，连接，由（1）可得，由全等三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，推出．延长交于G，求出，即可得解． 【详解】解：（1）延长到E，使得， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，，，； （2），，理由如下： 延长至H，使，连接，如图2所示：    由（1）得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点十四 一线三等角模型（共5题） 66．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②3 （2）8 （3）16或40 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：当作直角边，时，如图4-1所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于 F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或． 67．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）由（2）知，，得到，由得到，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故答案为：； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18， ∴， ∴， ∵的长为9， ∴， ∴． 68．数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【答案】【经验分享】：见解析；【能力提升】：见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证； 小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证； 能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】【经验分享】： 小刚解法： ，，， ． ． ． ，． ， ，． 为中点， ． ． ，． ．即． ． 依题知， ． ． 即． 小强解法： ，为中点， ，，． ，， ． ．即． ，， ． ，， ． ． ． ，． ． 依题知， 。 ． 即． 【能力提升】延长到点，使，连接， 依题知，，， ． 为中点， ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ．即． ， ． 垂直平分． ，． ，． ．即． ． 69．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】模型呈现：；模型应用：50；深入探究：见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K型”全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， . 故答案为：； [模型应用]解：如图2中，                  图2 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ； 故答案为：50； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，          图3 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 70．数学模型学习与应用： 学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键． （1）由“”可证，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 的长度为； （2）解：是等边三角形， 理由如下：由（1）知：， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 考点十五 全等三角形的综合（共5题） 71．如图，已知线段．动点同时从点出发，动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒，当点与点重合时停止运动，连接．设运动时间为秒．    (1)连接，若时，． ①_______． ②求证：，并直接写出的值； (2)若点是线段上的一点，连接． ①当时，若使与全等，求的值； ②若线段上不存在点，使与全等，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①当时，与全等；②的取值范围为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，不等式求解，方程的运用，理解题意，掌握全等三角形的性质列方程是解题的关键． （1）①根据速度与时间计算即可；②根据题意可得，，当时，，由此列式求解即可； （2）①当时，，分类讨论：当时，，列式求解；当时，，列式求解；②根据题意，分类讨论：当，时，不存在点使与全等，由此列式求解；当，时，不存在点使与全等，由此列式求解． 【详解】（1）解：①动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒， ∴点从的运用时间为， 当时，， 故答案为：； ②证明：根据题意，， ∴， ∵， ∴， 在中，  ， ∴，且， ∴当时，， ∴， ∴，即， ∴ 解得，； （2）解：①当时，，且，如图所示，    当时，， ∴， 解得，， ∴，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得，； ∴当时，与全等； ②， ∵线段上不存在点，使与全等，即， ∴当，时，不存在点使与全等， ∴， 解得 ，； 当，时，不存在点使与全等， ∴， 解得，； 综上所述，的取值范围为． 72．在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    【答案】（2）；（3）不成立，理由见解析，；（4），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理， （2）由翻折可得，则和，由，则 ，即； （3）由翻折可得，则和，由，则，即； （4）过作，交于点，交延长线于点，则，可得，由已知可得，结合三角形内角和定理得，即可证明，有，结合，即有． 【详解】解：（2）由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （3）小组二的结论不成立 理由如下：由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （4）解：，理由如下： 证明：过作，交于点，交延长线于点，如图，   交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ． 在和中 ， ， ． 73．在数学课上，老师提出下面的问题： （1）如图1，中，，点是边上一个动点，，垂足为点，，的延长线交于点，交于点．求证：； 数学兴趣小组的同学对这道题进行了深入研究，进行改编和变式． （2）小聪同学是这样改编的：如图2，在边上再取一点，且，和的延长线交于点，求证：是等腰三角形．请帮小聪同学解决这个问题． （3）小明同学继续提出问题：如图3，如果、在直线上，且满足，，垂足为点，交于点，交于点，（2）中的结论是否依然成立．请帮小明同学解决这个问题，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）依然成立，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． （1）根据和得，再证即可得出结论； （2）根据已知条件证得，再证得，即可得出结论； （3）过点作交延长线于点，则，同样通过证明和，得到角的关系，从而判断是否为等腰三角形。 【详解】（1）证明：，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：中， ，， ， ，， 由（1）可知：，， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， ∴是等腰三角形. （3）是等腰三角形，证明过程如下： 过点作交延长线于点，则， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形. 74．下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是______； (2)图1中，的取值范围是______； (3)求图2中的长． 【答案】(1)； (2)； (3)16 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，进而可得出答案； （2）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得． 【详解】（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵为中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）如图，延长至点E，使，连接． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为； （3）如图，延长至点G，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 75．在探索问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图1在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至，使，连接．利用边角边证全等即可以将边转化到，在中利用三角形三边关系先可以求出的范围是______，就可以得到的取值范围是______． 我们定义：如图2，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【探索一】如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．请仿照上面材料中的方法，猜想图2中与的数理关系，并给予证明． 【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． 【答案】[材料]，；[探索一]，证明见解析；[探索二]是，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】材料：由题意得：，， 由三角形三边关系可得：，即， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：；； 探索一：； 证明：如图1，延长至点使，连接， 是的“旋补中线”， 是的中线，即， 又， ， ， ， ， 是的“旋补中线”， ， ，， ， ，，， ， ． 探索二：是的“旋补中线” 证明：如图，作于，作交延长线于， ， ， ， ，即， ， ， 又， ， ， 同理：， ， ， ，， ， ， 是的中线， 是的“旋补中线”． 1 / 111 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 三角形【单元卷·考点卷】（15大核心考点） 考点一 构成三角形的条件（共5题） 1．四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（  ） A． B． C． D． 3．如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 4．王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 5．阅读材料： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整． 问题提出： 在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？ 问题解决： 我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试． （1）在1~5这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法． （2）在1~6这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法． 请继续探究并直接填写答案： （3）在1~7这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有_________种取法． （4）在1~8这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有_________种取法． …… 经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案： ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？ 根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有________________种取法． ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论． 新知运用： 某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应的分值为1~20分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有________________种． 问题拓展： 各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案． 考点二 确定第三边的取值范围（共5题） 6．用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 7．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 8．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 9．已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 10．某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 考点三 三角形三边关系的应用（共5题） 11．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 12．如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 13．已知一个三角形的三条边长分别为． （）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”） （）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ． 14．将的线段分成n（）段，每一段长均为不小于的整数厘米，分完后，任何三段都不能构成三角形，则n最大为 ． 15．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 考点四 与三角形的高有关的计算（共5题） 16．如图，已知为的中线． (1)画出中边上的高； (2)若，求的面积． 17．如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 18．如图，已知中为直角，且，，． (1)画出的高； (2)利用面积公式求的长． 19．如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 20．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点是折线的“折中点”的一种情形，请解答以下问题： 基本要求 (1)当时，点在线段 上； (2)若为线段中点，，，求的长度．分两种情形 若在上，则 若在上，则 (3)能力提升 若，，若，有一动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，设运动时间是； 求当为何值，三角形的面积为？ 若动点从点出发的同时，动点从点出发，在线段上向点运动，在线段上运动时的速度为，在线段上运动时的速度为，当一点到达终点时另一点同时停止，是否存在的值，使得． 考点五 与三角形中线有关的面积计算（共5题） 21．如图，中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于，，则的面积为（    ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．6 22．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 23．如图所示，，若，则 ． 24．如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示） 25．阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 考点六 三角形内角和定理的证明（共5题） 26．定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） ​证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（*）， ∴， ∴． A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 27．下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 28．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 29．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 30．【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 考点七 三角形内角和定理的计算（共5题） 31．如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 32．【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 33．数学活动课上，老师给兴趣小组的同学们布置了一道探究题：在中，平分于点，，交直线于点．猜想与和的数量关系． 同学们通过画图计算等方法进行推理，得到了有关成果．下面是三个兴趣小组成员进行交流展示时的部分成果，请同学们借助展示成果来完成任务． 素材1： /度 /度 /度 素材2： 思考分享： “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组” 如图1，，设置表格，尝试代入，的值，求的值，得到几组对应值． 若，根据题目条件，作出图2． 通过推理发现，当时，点重合，故． 反思：…… 任务一：如图1，根据“智慧小组”的计算表格，可知________，猜想与的数量关系为________； 任务二：若，请你根据图2，判断“任务一”中与，的数量关系否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们所满足的数量关系，并说明理由； 任务三：反思：通过本次活动说出一条在解决此类数学问题中你得到了什么启示？ 34．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 35．阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； (2)若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； (3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 考点八 三角形内角和定理的应用（共5题） 36．如图，已知射线，A，B分别为，上两动点．在中，的平分线与的平分线的反向延长线交于点C试问：的度数是否随A，B的运动变化而发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数． 37．如图，是的边上的中线，是的边上的中线． (1)若，求的度数； (2)画出的边上的高； (3)若的面积为，求的边上的高． 38．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 39．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如三个内角分别为的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交射线于点C． (1)的度数为________°，________（填“是”或“不是”）“智慧三角形”； (2)若，试说明：为“智慧三角形”． 40．【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)【定理证明】 为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程， 已知：如图1，是的一个外角 求证：． (2)【知识应用】 如图2，在中，，点在边上，交于点，，求的度数． (3)如图3，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点、重合）．当时，平分，平分交直线于点，求的度数． 考点九 三角形的外角（共5题） 41．平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 42．如图，点D在内，E为射线上一点，连接． (1)如图①，． ①线段与有何位置关系？请说明理由； ②过点D作交射线于点M，试说明：． (2)如图②，．若N为平面内一点，且，请写出与的数量关系，并说明理由． 43．【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 44．综合与实践 【问题情境】数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图①，在中，，平分，是线段上的一点，过点作的垂线，垂足为． 【特例分析】 （1）若，求与的度数； 【类比探究】 （2）善思小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与之间存在特定的等量关系．请你猜想与之间的数量关系，并证明； 【拓展探究】 （3）如图②，敏学小组画出了点、分别在线段、延长线上时的情形，其余条件不变，画出的平分线，交的延长线于点．请在图②中补全图形，写出的度数，并说明理由． 45．在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 考点十 全等三角形的性质（共5题） 46．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 47．如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上．若，（   ） A． B． C． D． 48．如图，已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．则当与全等时，点的运动速度为 ． 49．如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为 ． 50．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 考点十一 全等三角形的判定（共5题） 51．如图，点在线段上，，，使，还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 52．如图，在中，，是的边的延长线上一点，连接，顺时针旋转线段得到，且，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 53．如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 55．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 考点十二 旋转模型（共5题） 56．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 57．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 58．已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 59．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF． (1)若AB＝AC，∠BAC＝90° ①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； (2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数． 60．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 考点十三 倍长中线模型（共5题） 61．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 62．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， 是边上的中线， ， 在和中， ， （依据1）， ， 在中，（依据2）， ． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图3，中，，D为中点，求证：． 63．为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 64．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 65．（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    考点十四 一线三等角模型（共5题） 66．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． ∴， ∴； 当作直角边，时，如图4-2所示，作高线，过作于 ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， 67．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 68．数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 69．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 70．数学模型学习与应用： 学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由． 考点十五 全等三角形的综合（共5题） 71．如图，已知线段．动点同时从点出发，动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒，当点与点重合时停止运动，连接．设运动时间为秒．    (1)连接，若时，． ①_______． ②求证：，并直接写出的值； (2)若点是线段上的一点，连接． ①当时，若使与全等，求的值； ②若线段上不存在点，使与全等，请直接写出的取值范围． 72．在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    73．在数学课上，老师提出下面的问题： （1）如图1，中，，点是边上一个动点，，垂足为点，，的延长线交于点，交于点．求证：； 数学兴趣小组的同学对这道题进行了深入研究，进行改编和变式． （2）小聪同学是这样改编的：如图2，在边上再取一点，且，和的延长线交于点，求证：是等腰三角形．请帮小聪同学解决这个问题． （3）小明同学继续提出问题：如图3，如果、在直线上，且满足，，垂足为点，交于点，交于点，（2）中的结论是否依然成立．请帮小明同学解决这个问题，并说明理由． 74．下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是______； (2)图1中，的取值范围是______； (3)求图2中的长． 75．在探索问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图1在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至，使，连接．利用边角边证全等即可以将边转化到，在中利用三角形三边关系先可以求出的范围是______，就可以得到的取值范围是______． 我们定义：如图2，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【探索一】如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．请仿照上面材料中的方法，猜想图2中与的数理关系，并给予证明． 【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$