第17章 三角形 知识归纳与题型突破（21类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第17章 三角形知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点二．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点三．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点四．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点五．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点六．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点七．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点八.全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 知识点九. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 知识点十.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 知识点十一.全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 03 题型归纳 题型一　三角形的有关概念 例题： 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 2．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 3．的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 【答案】 5 4 3 【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式； 根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可． 【详解】解：的周长为12， ， ，， ， 解得：， ，， 故答案为：5，4，3． 巩固训练 4．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 5．如图，在中，顶点B的对边是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，的三边分别为，其中与点B相邻，与点B相对，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，顶点B的对边是， 故答案为：． 6．如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故此说法不正确； ②根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故此说法不正确； ③根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故此说法正确； ④根据三角形的角平分线和高的概念，知是的角平分线和高线，故此说法正确． 故答案为：②③④． 题型二　构成三角形的条件 例题： 7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 8．下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中 能摆成三角形（只填序号即可）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形； ②∵，∴，，不能摆成三角形； ③∵，∴，，不能摆成三角形； ④∵，∴，，能摆成三角形． 故答案为：①④． 9．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 巩固训练 10．下列长度的三条线段：①3，4，8；②5，6，11，③5，6，10，④5，5，10，能组成三角形的是 ．（只填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得． 【详解】解：①，不能组成三角形； ②，不能组成三角形； ③，能组成三角形； ④，不能组成三角形； 故答案为：③ 11．用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 【答案】12 【分析】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 可把三角形的周长看作24，再根据三角形的三边关系可得出结论． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边， 只能有12种答案，即① 2、11、11；② 3、10、11；③ 4、9、11；④ 4、10、10；⑤ 5、8、11；⑥ 5、9、10；⑦ 6、7、11；⑧ 6、8、10；⑨ 6、9、9；⑩ 7、7、10；⑪ 7、8、9；⑫ 8、8、8． 故答案为：12． 12．【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边的关系，小豫只能锯木条，因为组成三角形的任意两边之和大于第三边,分别锯成,或者,或者,或者． 【详解】解：填表如下： 三角形 a边 b边 c边 1 6 6 8 2 7 5 8 3 8 4 8 4 9 3 8 题型三　确定第三边的取值范围 例题： 13．已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．   【详解】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 14．已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由题意得到，即可得到答案 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得： ， ， 第三边长取到10， ， ， 能使得第三边长取到10的最小正整数是． 故选：C． 15．如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；连接，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴A、B间的距离可以是5、6、7等等； 故答案为：5（答案不唯一）． 巩固训练 16．在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 18．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 题型四　三角形三边关系的应用 例题： 19．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】 解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 20．如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 由三角形三边之间的关系可得，即，再结合各选项数据即可得出答案． 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得： ， 即：， ，之间的距离不可能是， 故选：． 21．一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 巩固训练 22．已知三角形的两边长分别是和，选一个你喜欢的奇数作第三边，则该三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系的应用是解决此题的关键．利用三角形的三边关系求出第三边的范围，再由第三边为奇数即可求得第三边的长，进而即可得解． 【详解】解：三角形的两边长分别是和，设第三边的长为， ，即， 为奇数， ， 该三角形的周长， 故答案为：． 23．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ， 即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 24．已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到，由第三边长是偶数得到或4，即可求出这个三角形的周长． 【详解】解：设第三边长为， 则，即． 又为偶数，因此或4， 故这个三角形的周长是：或． 故答案为：7或9． 题型五　三角形的分类 例题： 25．如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 根据有一个是直角的三角形是直角三角形，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以是直角三角形． 因为是边上的高， 所以， 所以都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 26．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 27．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了三角形的分类，以及等腰三角形和等边三角形的关系．理解等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形是解题的关键． 根据三角形的分类方法逐项判断即可； 【详解】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误； ②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确； ③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按照边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形，故原说法错误； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确． 综上所述：说法正确的有②④． 答案为：②④． 巩固训练 28．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的基本性质，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键；因此此题可根据三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，说法正确； ②三角形按边分类可分等腰三角形和不等边三角形，原说法错误； ③三角形的两边之差小于第三边，原说法错误； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，说法正确； 故选：B． 29．如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键． 三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是钝角， ∴与可能是两个锐角， 故选：D ． 30．已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 题型六　三角形角平分线的应用 例题： 31．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 32．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 33．关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线，熟练掌握三角形的角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线的定义即可解答． 【详解】解：三角形的角平分线是一条线段． 故选：A． 巩固训练 34．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 35．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义： （1）根据三角形中线的定义进行求解即可； （2）根据角平分线的定义进行求解即可； （3）根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，是中线， ∴， 故答案为：； ； （2）∵在中，是角平分线， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，是高， ∴， 故答案为：． 36．如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 题型七　画三角形的高 例题： 37．在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 38．如图，中边上的高、中边上的高、中边上的高分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点引对边的垂线，顶点与垂足形成的线段，叫做三角形的高，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴是中边上的高，是中边上的高，是中边上的高； 故选C． 39．如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)30 (3) 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 巩固训练 40．如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示． (1)边上的高； (2)边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了与三角形有关的线段，熟练掌握三角形高的定义是解题关键． （1）过点B作，交延长线于点E，线段即为的边上的高； （1）过点A作于点D，线段即为的边上的高； 【详解】（1）解：如图，即为边上的高． ； （2）解：如图，即为边上的高． 41．如图，在中，画出中边上的高； 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高定义作图即可． 【详解】解：如图所示，即为中边上的高 42．做出三角形的三条高． 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了画三角形的高，利用基本作图，分别过三个顶点作对边的垂线即可，熟练掌握三角形的高的概念是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点； 过作，交于点； 过作，交延长线于点； ∴即为所求． 题型八　与三角形的高有关的计算问题 例题： 43．如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，掌握同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比是解题的关键； 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可 【详解】解：如图，连接、、； ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ； 故选：B 44．如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．作点关于的对称点，连接，，过点作于点．根据两点之间线段最短，且垂线段最短得出当点在点处时，最小，且最小值为，理由等积法求出结果即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点C、P、在同一直线上，且时，最小，即最小， ∴当点在点处时，最小，且最小值为， ，，， ∴， ， ， 的最小值为． 故选：D． 45．如图，在中，，点D在上，，垂足为，垂足为F，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积公式，连接，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 故选C． 巩固训练 46．在直角中，已知，，，，在的内部找一点P，使得P到的三边距离相等，则这个距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．连接，作于D，于E，于F，根据三角形的面积公式得到，然后代数计算即可． 【详解】如图所示，连接，作于D，于E，于F， 由题意得，， ∵， ∴， 即， 解得，， ∴这个距离是2． 故答案为：2． 47．如图，在中，都是的高，且，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查等积法求三角形的高，根据都是的高，利用等积法进行求解即可． 【详解】解：∵都是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：12． 48．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 题型九　根据三角形中线求面积 例题： 49．如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键． 根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的高线， ∴，即， 解得， 故选：B． 50．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 51．如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得，． 【详解】解：∵是的中线，的面积是， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故答案为：4． 巩固训练 52．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 53．如图，在中，，，，，点E是的中点，，交于点F，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线的性质得出，，根据，得出，，设，则，，，然后根据得出关于a的方程，然后解方程求出a的值，最后根据四边形的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 54．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十　三角形内角和定理的证明 例题： 55．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 56．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 57．将三角尺绕点 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线恰好与直线垂直． 【答案】或 【分析】分在的右边时，设与相交于，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再求出旋转角即可，在的左边时，设与相交于，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，计算即可得解． 【详解】解：如图，在的右边时，设与相交于， ， ， ， 旋转角为， 秒， 在的左边时，设与相交于， ， ， ， 旋转角为， 秒， 综上所述，第或秒时，直线恰好与直线垂直． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 巩固训练 58．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 59．小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】③④①② 【分析】根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和定理相矛盾， ∴， ∴这四个步骤正确的顺序是③④①②． 故答案为：③④①②． 【点睛】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．掌握反证法的一般步骤是解题的关键．也考查了等边对等角，三角形内角和定理． 60．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 题型十一　三角形内角和定理的计算 例题： 61．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 62．如图，在中，，将绕着点旋转到的位置，使得，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形两底角相等列式求出，然后求出，从而得解． 【详解】解：， ， 绕点逆时针旋转到， ，， ， ，， ． 故答案为：． 63．如图，已知中，是的角平分线，是边上的高，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的高线， 先根据三角形的内角和定理得，再根据角平分线定义得， 然后结合高线可得，再求出，最后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ∴. ∵是的角平分线， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 64．如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和，能灵活推导出与的关系是解决此题的关键．先求出，再推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∵， ， ∴ ， 故答案为： ． 65．已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查“猪蹄模型”，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质得到，即可求出答案； （2）过点作，过点作，证明，得到，即可得到答案． （3）由（2）得到，即可得到答案； （4）由（2）知，，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 是与的平分线， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， 是与的平分线， ， ， ， ， ， ； （4）解：由（2）知， ， 、分别平分和， ， ． 故答案为：． 66．学科素养·规律探索如图，在中，与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：与的平分线交于点， ， 同理可得， 以此类推，（为正整数） ． 故答案为：． 题型十二　三角形内角和定理的应用 例题： 67．小西同学尝试用两个平面镜，进行探索，如图是他画的一种光路图，光线，若光线AB先后经平面镜，反射后，光线，则小西同学需要将两个平面镜的夹角调整为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．数量掌握平行线的性质与三角形内角和定理性质与三角形内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再根据光的反射定律可知，入射角等于出射角，得到，，即可求出，即两个平面镜的夹角． 【详解】解：如图， ， ． 根据光的反射定律可知，入射角等于出射角， ，． ． ， ，即平面镜的夹角调整为． 故选B． 68．如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转可得，，得，根据，进而可得的度数． 【详解】解：，， ． 将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点C′恰好落在边上， ，． ． ． 故选：D． 69．在中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理的计算，掌握折叠的性质是解题的关键； 根据折叠可得，，由三角形内角和定理得到，由此即可求解. 【详解】解：由折叠可得，， ， ， ， ， 故选： 巩固训练 70．如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路与道路平行，．城市规划部门计划新修一条道路，要求，则的度数是 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查了平行线的性质和内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质并灵活运用． 先根据平行线的性质，由得到，然后根据得出，求出即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． 故答案为：． 71．在一条长方形纸带一边上取中点，按如图所示的方式折叠，两点均落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】/200度 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和，解答的关键是明确折叠过程中哪些角相等．由折叠可得，，从而可求得，即有，可求得，即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 故答案为：． 72．如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 【答案】(1)证明见解析 (2)球袋，见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行性的判定等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）结合网格特点，根据球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等画图即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵桌角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴画出球经过的路径如下：    所以球会进入球袋． 题型十三　三角形的外角性质 例题： 73．抖空竹是国家级非物质文化遗产之一，图（1）是某人抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图（2）所示的数学问题：已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质三角形的外角的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可求解． 【详解】解：如图：延长交于点， ，， ， 是的一个外角， ， 故选：B． 74．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴； 故选A． 75．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， 故答案为： ． 巩固训练 76．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，三角形的外角，三角形的高，解题的关键是熟练掌握以上知识点；根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角即可得解． 【详解】解：是角平分线，， ， 是的高， ， ， 故答案为：． 77．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 78．（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：三角形外角等于与它不相邻两内角的和． （1）根据角平分线定义可得，根据三角形内角和为可得，即可得证； （2）根据角平分线定义可得，，根据三角形内角和为可得，即可得出结论； （3）根据角平分线定义可得，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； 【详解】（1）解：． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十四　全等三角形的概念与性质 例题： 79．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 80．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的面积相等 B．如果，那么 C．两直线平行，内错角相等 D．两个全等三角形的三对对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的逆命题，判断逆命题的真假，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过分析四个选项的逆命题，判断其是否为真命题，从而得到答案． 【详解】解：A、全等三角形的面积相等逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； B、如果，那么逆命题为：若，则，是假命题； C、两直线平行，内错角相等逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题； D、两个全等三角形的三对对应角相等逆命题为：三个角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； 故选：C ． 81．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 巩固训练 82．如图，，在边上，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 83．如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 84．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或或或 题型十五　全等三角形的判定1 例题： 85．如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． 86．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 87．在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据选项中所给的条件结合定理分别进行分析，可选出答案． 【详解】解：如图， A、不能判定和全等，故本选项不符合题意； B、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意； D、可以利用判定和全等，故本选项符合题意． 故选：D． 巩固训练 88．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 89． 已知：． 求作：，使得． 作法：如下图． （1）作； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法． 由作图可知，在和中，， 所以_______； (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）． ①②③④ 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）由（1）中证明，可得结论． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴， 故答案为：，，； （2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：． 90．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用全等三角形的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“边边边”，可以判定； ②虽然，，，但“边边角”不能判定两个三角形全等； ③因为，，，根据全等三角形判定定理“边角边”，可以判定 ； ④，，，“边边角”不能判定两个三角形全等； 故答案为：①③． （2）证明：选条件①时， 在和中， ， 所以； 选条件③时， 在和中， ， 所以． 题型十六　全等三角形的判定2 例题： 91．如图，点在线段上，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由“”可证． 【详解】证明：因为， 所以，即． 在和中， 所以． 92．已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）由，推导出，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，根据同位角相等，两直线平行得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在与中， ． （2）由（1）得， ， ． 93．如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明即可； （2）利用证明，即可； （3）证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （3）是，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 巩固训练 94．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 95．已知：如图，在中，是边中点，于点，于点， (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及中点定义、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由中点定义得到，再由三角形全等的判定即可得到； （2）由（1）知，结合全等性质得到，数形结合由，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点是边中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴． 96．如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）根据判定即可； （2）根据题意可得，在中根据外角的性质即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是的外角， ． 题型十七　全等三角形的性质综合 例题： 97．如图，点D是内部一点，点E，F，G分别是点D关于的对称点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了考查对称的性质，三角形全等的判定与性质，连接，由对称性可得，利用可证明，可得，即可求解 ． 【详解】解：连接， ∵点E，F，G分别是点D关于的对称点， ∴， 在与中，， ∴， ∴； 同理得：， ∴； ∴， 故选：B． 98．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， 故答案为：． 99．在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和中全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 巩固训练 100．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解决此题的关键， （1）根据平行线的性质得出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由全等三角形的性质得，由平角的性质得出，进而即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下， ， ， ， ， ． 101．如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据“”证明即可； （2）根据，求出．根据三角形全等的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． ， ， 在和中 ． （2）解：， ． 由（1），知 ， ． ． 102．如图，在和中，，给出下列信息①；②；③ (1)请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） (2)在（1）的条件下，，，求的长 【答案】(1)条件①②，结论③（或条件①③，结论②；或条件②③，结论①），理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）补充条件是①②，结论是③，理由：先根据平行线的性质可得，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得；补充条件①③，结论②，理由：先根据平行线的性质可得，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得；补充条件②③，结论①，理由：先根据平行线的性质可得，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：补充条件是①②，结论是③，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 补充条件①③，结论②，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 补充条件②③，结论①，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵在（1）的三种情况下均有， ∴， ∵， ∴． 题型十八　旋转模型 例题： 103．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 104．如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有 个． ①；②；③；④；⑤若，则．    【答案】①②③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质得到，，，得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，故③正确；根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，故②正确，推出，故④正确；根据全等三角形的性质得到，得到是等边三角形，求得，根据平行线的判定定理得到，故①正确；根据三角形的内角和得到．故⑤正确． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ，， ， ，故③正确； 在与中， ， ， ， ， ，故②正确， 在与中， ， ，故④正确； ， 是等边三角形， ， ， ，故①正确； ，， ．故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 105．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 巩固训练 106．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 107．如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②能，，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用． （1）由等腰直角三角形求出，证出，推出，，根据求出，求出即可； （2）①如图3中，结论：，只要证明即可； ②由，得到，再结合，得到 ． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：①，理由如下： ∵与是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ； ②能，理由如下： 与交于点， ∵， ， ∵，，， ∴， 即的度数为． 108．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质． （1）作中线，证明，可得结论； （2）证明点B，，共线，结合，即可得到结论； （3）绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到，证明是直角三角形，利用即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作中线， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， ， 点B，，共线， 又∵， 是等腰三角形； （3）解：如图，把绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到， 由旋转得，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ． 题型十九　倍长中线模型 例题： 109．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 110．在中，，，则边上的中线长的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，构造全等三角形是解题的关键．延长到，使，连接，证明，得到，再利用三边关系即可得到答案． 【详解】解：延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，有，即， ， 故答案为：． 111．如图，为中边上的中线，平分交边于点E，且，若，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】延长至点F，使，连接，再根据证明≌，可得，，结合角平分线的定义及直角三角形的性质，然后根据等角对等边得出答案. 【详解】如图所示，延长至点F，使，连接． ∵，， ∴≌， ∴，. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴， 即， ∴. 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 巩固训练 112．如图，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使．若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识点，延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，，根据等量代换及等角对等边即可证明出，进而代入求值即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长至H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8． 113．综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】探究方法：①作图见解析；②；；拓展探究：，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，倍长中线”构造全等三角形是解决问题的难点． 探究方法：如图所示，根据三角形中线定义得，进而可依据“”判定和全等，再由全等三角形性质得，，根据三角形三边之间关系得，即，由此可得出的取值范围； 拓展探究：延长到，使，连接，如图所示，则，先证明和全等得，，则，进而得，再由得，则，由此可依据“”判定和全等，则，由此可得与的数量关系． 【详解】解：探究方法：①如图所示：    ②是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，，， ，， 在中，由三角形三边关系可知， ， ，即的取值范围是； 故答案为：；； 拓展探究：猜想：， 理由如下： 延长到，使，连接，如图所示：    则， 为的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 114．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），且，证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，由“”可证，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论； （3）同（1）的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图2，延长到，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，， ， 故答案为：； （2），且， 证明：由（1）知，， ，， ； （3）， 理由：如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即：． 题型二十　一线三等角模型 例题： 115．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． （1）根据等边三角形的性质及和角关系，可得； （2）根据正方形的性质及和角关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明，由全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 116．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 117．“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)全等，见解析 (3)，与的夹角为，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）解：（1），， ，， 又， ， ， 在和中，， （2）和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， （3），与所成夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 巩固训练 118．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 119．综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）； （2）成立，证明见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）证，得，即可得出结论； （2）证，得，即可得出结论； （3）过D作于点D，交直线于点F，证明，推出，得出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）．理由如下， 如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 120．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①见详解，②5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， [模型呈现]根据全等三角形的性质即可知，即可； [模型应用]由“K字”模型可知，，，则，，，，即可求得，结合图中实线所围成的图形的面积为； [深入探究] ①根据题意得，，则，即可证明；②利用三角形面积公式得，，由①知，则，结合求解即可． 【详解】解：[模型呈现]：， ∴， 故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ， 故选：C； [深入探究] ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②设点B到线段的距离为h， ∵，的面积为1， ∴，， 由①知，则 ∵的面积为12， ∴ ， 故答案为：5． 题型二十一　全等三角形综合 例题： 121．（1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________；    （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，角平分线定义，平行线性质等． （1）延长AE交DC的延长线于点F，证明，再利用角平分线定义即可得到； （2）延长交的延长线于点F，由平行线性质得，，再证明，继而可得本题答案； （3）延长相交于点P，同（1）得，再利用平行线性质得，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）延长AE交DC的延长线于点F，   ， ，， 点E是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F，   ， ，， 点E是的中点， ， ， ，， ，， ， ，， ； （3）．证明如下： 延长相交于点P，    ∴， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 122．【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4） 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， 123．已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的数量关系仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题． （1）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题． 【详解】（1）解： ． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图①， 则． 因为为的平分线， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为与互补， 所以， 所以， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． （2）解：（1）中的数量关系仍然成立． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图②， 则， 又因为，与互补， 所以， 所以，即． 因为平分， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 故（1）中的数量关系仍然成立． 巩固训练 124．有以下条件：①平分；②；③．选择其中一个补充在下面的问题中，并解答． 问题：如图，在中，D是边上一点，分别是和的高，交于点，若_________（填序号）． (1)试说明：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)①证明过程见详解；②证明过程见详解；③证明过程见详解； (2)16 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）选择①，运用角角边可判定三角形全等；选择②，运用角角边可判定三角形全等；选择③，运用边边边可判定三角形全等； （2）根据，得到，由，即可求解． 【详解】（1）证明：选择①平分， ∵分别是和的高， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； 选择②， ∵分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴； 选择③， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 125．如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析； (2)存在，或使得与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键： （1）由速度和时间求得，，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即可得到答案； （2）分，两种情况讨论：利用对应边相等的关系建立方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：与全等，，理由如下， 当时，，， 又∵，在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在 ①若，则，， ∴，解得； ②若，则，， ∴，解得； 综上所述，存在或使得与全等． 126．综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下： ，， ， ∵当时，， ， ， 在和中， ， ． ． ， ， 又， ， ． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∵ ∴分两种情况讨论： ①若，则，， 可得，， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得，． 综上，当与全等时，的值为3或． 试卷第42页，共43页 132 / 132 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 三角形知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点二．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点三．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点四．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点五．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点六．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点七．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点八.全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 知识点九. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 知识点十.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 知识点十一.全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 03 题型归纳 题型一　三角形的有关概念 例题： 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 3．的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 巩固训练 4．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    5．如图，在中，顶点B的对边是 ．    6．如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ． 题型二　构成三角形的条件 例题： 7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中 能摆成三角形（只填序号即可）． 9．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 巩固训练 10．下列长度的三条线段：①3，4，8；②5，6，11，③5，6，10，④5，5，10，能组成三角形的是 ．（只填序号） 11．用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 12．【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 题型三　确定第三边的取值范围 例题： 13．已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 15．如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 巩固训练 16．在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 18．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 题型四　三角形三边关系的应用 例题： 19．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（    ） A． B． C． D． 20．如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 21．一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．12 巩固训练 22．已知三角形的两边长分别是和，选一个你喜欢的奇数作第三边，则该三角形的周长是 ． 23．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 24．已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 题型五　三角形的分类 例题： 25．如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 27．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号） 巩固训练 28．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 30．已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 题型六　三角形角平分线的应用 例题： 31．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 33．关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 巩固训练 34．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 35．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 36．如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 题型七　画三角形的高 例题： 37．在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   38．如图，中边上的高、中边上的高、中边上的高分别是（   ） A． B． C． D． 39．如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 巩固训练 40．如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示． (1)边上的高； (2)边上的高． 41．如图，在中，画出中边上的高； 42．做出三角形的三条高． 题型八　与三角形的高有关的计算问题 例题： 43．如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D． 45．如图，在中，，点D在上，，垂足为，垂足为F，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 巩固训练 46．在直角中，已知，，，，在的内部找一点P，使得P到的三边距离相等，则这个距离是 ． 47．如图，在中，都是的高，且，则的长是 ． 48．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 题型九　根据三角形中线求面积 例题： 49．如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 50．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 51．如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 巩固训练 52．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 53．如图，在中，，，，，点E是的中点，，交于点F，则四边形的面积为 ． 54．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 题型十　三角形内角和定理的证明 例题： 55．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 56．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 57．将三角尺绕点 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线恰好与直线垂直． 巩固训练 58．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    59．小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序 ． 60．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 题型十一　三角形内角和定理的计算 例题： 61．如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 62．如图，在中，，将绕着点旋转到的位置，使得，则的度数为 63．如图，已知中，是的角平分线，是边上的高，，那么的度数为 ． 巩固训练 64．如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 65．已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 66．学科素养·规律探索如图，在中，与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，则 ． 题型十二　三角形内角和定理的应用 例题： 67．小西同学尝试用两个平面镜，进行探索，如图是他画的一种光路图，光线，若光线AB先后经平面镜，反射后，光线，则小西同学需要将两个平面镜的夹角调整为（   ） A． B． C． D． 68．如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 69．在中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为 ． 巩固训练 70．如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路与道路平行，．城市规划部门计划新修一条道路，要求，则的度数是 ． 71．在一条长方形纸带一边上取中点，按如图所示的方式折叠，两点均落在点处．若，则的度数为 ． 72．如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 题型十三　三角形的外角性质 例题： 73．抖空竹是国家级非物质文化遗产之一，图（1）是某人抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图（2）所示的数学问题：已知，，，则（   ） A． B． C． D． 74．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 75．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为 ． 巩固训练 76．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，，则 ． 77．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 78．（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 题型十四　全等三角形的概念与性质 例题： 79．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 80．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的面积相等 B．如果，那么 C．两直线平行，内错角相等 D．两个全等三角形的三对对应角相等 81．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 巩固训练 82．如图，，在边上，，，则的度数为 ． 83．如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 84．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 题型十五　全等三角形的判定1 例题： 85．如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 86．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有 对． 87．在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 88．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 89． 已知：． 求作：，使得． 作法：如下图． （1）作； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法． 由作图可知，在和中，， 所以_______； (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）． ①②③④ 90．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 题型十六　全等三角形的判定2 例题： 91．如图，点在线段上，．试说明：． 92．已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 93．如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 巩固训练 94．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 95．已知：如图，在中，是边中点，于点，于点， (1)求证：； (2)若，，求的面积． 96．如图，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型十七　全等三角形的性质综合 例题： 97．如图，点D是内部一点，点E，F，G分别是点D关于的对称点，则（   ） A． B． C． D． 98．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 99．在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 巩固训练 100．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 101．如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 102．如图，在和中，，给出下列信息①；②；③ (1)请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） (2)在（1）的条件下，，，求的长 题型十八　旋转模型 例题： 103．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 104．如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有 个． ①；②；③；④；⑤若，则．    105．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 巩固训练 106．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 107．如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 108．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 题型十九　倍长中线模型 例题： 109．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为 ． 110．在中，，，则边上的中线长的取值范围是 111．如图，为中边上的中线，平分交边于点E，且，若，则线段的长为 ． 巩固训练 112．如图，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使．若，，则的长为 ． 113．综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 114．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 题型二十　一线三等角模型 例题： 115．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 116．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 117．“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 巩固训练 118．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 119．综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 120．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 题型二十一　全等三角形综合 例题： 121．（1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________；    （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 122．【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 123．已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 巩固训练 124．有以下条件：①平分；②；③．选择其中一个补充在下面的问题中，并解答． 问题：如图，在中，D是边上一点，分别是和的高，交于点，若_________（填序号）． (1)试说明：； (2)若，求的面积． 125．如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 126．综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 试卷第42页，共43页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$