专题05 圆柱圆锥的侧面展开图、表面积及体积（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

专题05 圆柱圆锥的侧面展开图、表面积及体积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、圆柱、圆锥的侧面积、表面积问题 3 类型二、圆柱、圆锥的体积问题 5 类型三、圆柱与圆锥体积有关的比值问题 7 类型四、圆柱、圆锥的实际应用 9 类型五、组合体的表面积和体积问题 12 类型六、不规则物体的体积问题 14 压轴能力测评 16 知识一、圆柱的组成及特征 两个圆形所在的面叫做圆柱的底面，夹在两个底面之间的曲面叫做圆柱的侧面。连接两个圆形底面圆心的直线叫做圆柱的轴。两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 上图中的线段AA'叫做圆柱的母线。它不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线。 知识二、圆柱的侧面展开图、侧面积及表面积 将一个圆柱的侧面沿任意一条母线AA'剪开，得到的图形是一个长方形，我们把它叫做圆柱的侧面展开图。该长方形的一条边是圆柱的母线，它的长也等于圆柱的高。另一条与它相邻的边的长等于底面圆的周长。 圆柱的侧面积公式，其中，表示圆柱的侧面积，和分别表示它的底面半径、底面周长和母线长. 表面积公式为 知识三、圆锥的组成和特征 如下图，我们把这个圆形的面叫作圆锥的底面，叫作圆锥的顶点，夹在顶点和底面之间的曲面叫作圆锥的侧面。顶点和底面圆心的距离叫作圆锥的高，连接圆锥顶点与底面圆上任意一点的线段都叫作圆锥的母线。 知识四、圆锥的侧面展开图、表面积 沿着圆锥的任意一条母线把它的侧面剪开，得到的是一个扇形，这样得到的平面图形叫作圆锥的侧面展开图。 ①扇形的半径等于圆锥的母线②扇形的弧长等于圆锥的底面周长． 圆锥的侧面积公式：（其中表示圆锥的侧面积，和分别表示它的底面周长，底面半径和母线长） 圆锥的表面积： 知识点五、圆柱的体积及变形 圆柱的体积公式为：（其中表示圆柱的体积，表示它的底面积，表示它的高，是底面圆半径.） 圆锥的体积公式为：（其中表示圆锥的体积，表示它的底面积，表示它的高，是底面圆半径.） 类型一、圆柱、圆锥的侧面积、表面积问题 【例1】把一个底面直径和高都是的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ：如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板 （接头部分40计算）． 【答案】 【详解】解： （平方厘米） （平方厘米） 所以这个不规则图形的面积是；如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板． 故答案为：；256． 【例2】如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径． 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面半径为． 由题意得：， 解得， 答：这个圆锥形生日帽的底面半径为． 【变式1-1】有一个零件，如下图，零件的下面是一个大圆柱体，底面直径是6厘米，高10厘米。上面是一个小圆柱体，直径是4厘米，高5厘米．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，你知道一共要涂多少平方厘米吗？（取3.14）    【答案】一共要涂平方厘米 【详解】大圆柱体的表面积为：（平方厘米）， 小圆柱体的表面积为：（平方厘米）， ∵接触的两个面的面积等于小圆柱体的两个底面的面积， ∴接触的面积为：（平方厘米）， 即零件的表面积为：（平方厘米） 答：涂上防锈漆，一共要涂平方厘米． 【点睛】本题主要考查了求解圆柱体表面积的知识，掌握相应的面积求解公式是解答本题的关键． 【变式1-2】把一个长的圆柱平均分成6段小圆柱，表面积增加了，原来这个圆柱的体积是 ． 【答案】94.2 【详解】解：（）， 原来这个圆柱的体积是：（）． 故答案为：94.2. 【变式1-3】圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，则侧面展开图（扇形）的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为3， ∴该圆锥底面半径， ∴该圆锥底面周长， 即该圆锥侧面展开图的弧长为， ∴侧面展开图（扇形）的面积， 故答案为：． 类型二、圆柱、圆锥的体积问题 【例3】把一个直径为4厘米的圆柱体平均分成若干部分，然后把圆柱切开拼成一个与它等底等高的近似长方体．这个长方体的表面积增加了40平方厘米，长方体体积是 立方厘米． 【答案】 【详解】解：∵底面直径4厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加40平方厘米， ∴圆柱的高为：（厘米）， ∵长方体的体积等于圆柱体的体积， ∴长方体的体积为：（立方厘米）． 故答案为：． 【例4】如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？    【答案】剩下的体积是立方厘米 【详解】解： 立方厘米， 答：剩下的体积是立方厘米． 【变式2-1】小明新买一瓶净含量为90克的牙膏（1毫升约等于1克），牙膏的圆形出口的直径是6毫米．他早晚各刷一次牙，每次挤出的牙膏长约20毫米．这瓶牙膏估计能用( )天．（取3作为圆周率的近似值） 【答案】83 【详解】解： ， 所以这瓶牙膏估计能用83天， 故答案为：83． 【变式2-2】一个直角三角形两条直角边分别为和，以直角边为轴旋转一周，可得到一个 体，它的体积是 ． 【答案】 圆锥 【详解】解：根据题意，得旋转结果是一个以为半径，以为高的圆锥， 根据圆锥的体积公式，得， 故答案为：圆锥，． 【变式2-3】将一个长、宽的长方形铁片，另加一个底做成一个圆桶，则这个圆桶的容积为 ．（π取3） 【答案】或 【详解】设圆桶的底面半径为， 若圆桶的高是，则， 所以， 所以这个圆桶的容积为； 若圆桶的高是，则， 所以， 所以这个圆桶的容积为， ∴这个圆桶的容积为或． 故答案为：或． 类型三、圆柱与圆锥体积有关的比值问题 【例5】一个圆柱体和一个圆锥体，底面直径之比是，他们的体积之比是，圆柱和圆锥高之比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：圆柱体和圆锥体的底面直径之比是， 它们的底面半径之比也是， 它们的体积之比是， ， ， ， 故选：C． 【例6】一个圆柱和一个圆锥的体积之比是，它们的底面积之比是，如果圆柱的高是3米，那么圆锥的高是 米． 【答案】 【详解】解：设圆锥的体积为V，底面积为，则圆柱的体积，底面积是S， 圆柱的高：；圆锥的高：； 圆锥的高比圆柱的高， 所以圆锥的高是：（米）， 答：圆锥的高是米． 故答案为：． 【变式3-1】（圆柱和圆锥的体积）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，圆柱和圆锥高的最简单的整数比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是， ∴一个圆柱和一个圆锥，底面半径的比是， ∴一个圆柱和一个圆锥，底面面积的比是， ∵它们的体积比是， ∴圆柱和圆锥高的最简单的整数比， 故选：A． 【变式3-2】体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是 ． 【答案】 【详解】解：设圆柱和圆锥的体积都为，高都为， 则圆柱的底面积为，圆锥的底面积为， 所以圆柱和圆锥的底面积之比为， 故答案为：． 【变式3-3】如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： (1)这个饮料瓶容积是多少？ (2)将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 【答案】(1) (2)8杯 【详解】（1）解：由图可知，饮料瓶的底面半径为， 则饮料的体积为，瓶中空余部分体积为 则饮料瓶容积为， 答：这个饮料瓶容积是； （2）∵圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是， ∴圆锥的底面半径为， 则圆锥形杯子的容积为， ， 答：这些饮料可以倒满8杯． 类型四、圆柱、圆锥的实际应用 【例7】甲乙两个形状相同、大小相等的桶都盛有5升水，将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个桶中，且完全浸没，甲桶中水面从20厘米上升到26厘米，那么浸入圆锥后乙桶中水面应该是（    ）厘米．你怎么想的，把想法记在方框内． 【答案】22 【详解】解：∵甲桶中水面从20厘米上升到26厘米， ∴水面上升了6厘米， ∵等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的三倍， ∴乙桶中水面上升了厘米， ∴甲桶中水面从20厘米上升到22厘米． 故答案为：22． 【例8】陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是．陀螺的体积是多少立方厘米？（取）    【答案】立方厘米 【详解】解：由题意得 设底面圆的半径为，则有 ， 解得， 圆柱的高为：（厘米）， 圆锥的高为：（厘米）， 所以 （立方厘米）． 答：陀螺的体积是立方厘米． 【点睛】本题考查了圆锥和圆柱的体积公式，掌握圆锥和圆柱的体积公式是解题的关键． 【变式4-1】某餐厅为了完美餐品，上餐用下图的沙漏计时，并推出“菜品30分钟不上齐免单”措施．周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由．      【答案】不能免单，理由见解析 【详解】解：， 分钟， 因为菜品30分钟可以上齐， 所以不能免单． 【变式4-2】打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图a，测得底面直径为，高为，每立方米的小麦约重750千克． (1)求这堆小麦约有多少吨？（取3.14，得数保留整数吨） (2)图b为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为，粮仓下面圆柱的侧面积为，图b中粮仓上面圆锥的高为图a中小麦堆的高的，将打谷场上的这堆小麦全部装入与图b相同的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？ 【答案】(1)19吨 (2)至少需要这样的粮仓4个 【详解】（1）圆锥形的小麦堆的体积， 所以这堆小麦的质量为：（千克）（吨； （2）设圆柱的高为， 根据题意得，解得， 图中粮仓上面圆锥的高为， 图的粮仓的体积为， ， 至少需要这样的粮仓4个． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算． 【变式4-3】一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱底面的周长是米，高2米，圆锥的高是1.2米． (1)这个粮囤能装稻谷多少立方米？（结果保留） (2)如果每立方米稻谷重500千克，这个粮囤最多能装稻谷多少吨？（结果保留）（，） 【答案】(1)立方米 (2)吨 【详解】（1）因为圆柱底面的周长是米， 所以圆的半径为10米， 因为圆柱高2米，圆锥的高是1.2米，，， 所以（立方米），（立方米）， 所以这个粮囤能装稻谷为（立方米）． （2）因为每立方米稻谷重500千克，粮囤能装稻谷为立方米， 所以总重量为：（千克）， 所以这个粮囤最多能装稻谷吨． 【点睛】本题考查了圆柱体，圆锥体的体积计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 类型五、组合体的表面积和体积问题 【例9】下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、（立方厘米）； B、（立方厘米）； C、（立方厘米）； D．（立方厘米）； ， 答：A的体积最大． 故选：A． 【例10】如图一个直角三角形两条直角边的长分别是，斜边的长是． (1)斜边上的高是多少厘米？ (2)以斜边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，求形成立体图形的体积．（取3） 【答案】(1)2.4厘米 (2)28.8立方厘米 【详解】（1）解：（厘米）； 答：斜边上的高是2.4厘米； （2）（立方厘米）． 【变式5-1】长10厘米、底面直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱的侧面包起来（纸要绷紧），至少需要多大面积的纸？ 【答案】至少需要面积的纸 【详解】解：． 答：至少需要的纸． 【变式5-2】如图所示，该几何体的体积是 （结果用含的式子表示）．    【答案】120 【详解】解：由题意可得， ， ∴该几何体的体积是， 故答案为：120． 【点睛】本题考查简单组合体的体积，解题关键是看出． 【变式5-3】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见下图）．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？（取3.14） 【答案】一共要涂平方厘米 【详解】解： （平方厘米） 答：一共要涂平方厘米． 类型六、不规则物体的体积问题 【例11】向一个内棱长是的正方体容器中装水，现将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是，这个钢块的体积是多少立方分米？ 【答案】1.2立方分米 【详解】解：4.8升立方分米，15厘米分米， （立方分米） 答：这个钢块的体积是1.2立方分米． 【例12】把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉．那么最后所得的立方体的体积是 立方厘米． 【答案】 【详解】解：三角锥的体积为：（立方厘米） 最后所得的几何题的体积是立方厘米， 故答案为：． 【变式6-1】求下面假山的体积是多少？ 【答案】900立方厘米 【详解】解：假山的体积是：（立方厘米）． 答：假山的体积是900立方厘米． 【点睛】本题主要考查了求不规则物体的体积，结合长方体的体积的计算方法是解题的关键． 【变式6-2】一个正方体容器，边长为20厘米，倒入5升水，再把一块石头没入水中．这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是 立方厘米． 【答案】1000 【详解】5升立方厘米， （立方厘米）， 故答案为：1000． 【变式6-3】在一个长30厘米，宽15厘米，高50厘米的长方体容器里，水深15厘米，把一个圆柱形的铁块竖直的放到容器内，刚好没入水中，水面上升3厘米．求铁块的体积． 【答案】这个铁块的体积是1350立方厘米 【详解】解： （立方厘米） 答：这个铁块的体积是1350立方厘米 1．已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设底面圆的半径为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵这个圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：D． 2．如图，中，，，，若把直角三角形绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为(    ) A．π B．π C．12π D．24π 【答案】A 【详解】解：，，由勾股定理得，， 斜边上的高， 由几何体是由两个圆锥组成， ∴几何体的表面积， 故选：A． 3．如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：两个圆锥的底面圆相同， 可设底面圆的周长为l， 上面圆锥的侧面积为：， 下面圆锥的侧面积为：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 故选：C． 4．如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加． 故选：B． 5．在一个盛满水的底面半径是分米、高是分米的圆柱形容器中，垂直放入一根底面半径是厘米、高是厘米的圆柱形铁棒，溢出水的体积是（    ）升． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分米=厘米， ， ， ， （立方厘米）， 立方厘米升， 答： 溢出水的体积是升， 故选：D． 6．一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵瓶子的容积底面积底面积底面积，水的体积底面积， ∴瓶中水的体积瓶子容积（底面积）（底面积）， 故选：C． 7．把一个圆柱加工成一个最大的圆锥体，体积减少600立方厘米，这个圆柱的体积是 ． 【答案】900 【详解】解：把一个圆柱加工成一个最大的圆锥体，体积减少600立方厘米， 因为这个最大的圆锥的体积是圆柱的体积的， 所以这个圆柱的体积是 ， 故答案为：900． 8．学校创客空间的同学正在进行一个项目，需要将一块正方体形状的木材，加工成一个尽可能大的圆锥（如图）．已知圆锥的体积是立方厘米，原来正方体木料的体积是 立方厘米． 【答案】 【详解】解：设圆锥底面直径为厘米， 根据题意：， ， ， ， 故答案为： 9．一个圆柱体木块，底面直径是6厘米，高是3厘米，它的表面积是( )平方厘米．把它削成一个最大的圆锥，应削去( )立方厘米．（取3） 【答案】 108 54 【详解】解：依题意： 表面积： （平方厘米） 圆柱的体积：（立方厘米） ∵如果削成一个最大的圆锥， ∴最大的圆锥与该圆柱体是等底等高的 ∴圆锥的体积：（立方厘米） ∴这个应削去木料（立方厘米） 故答案为：108，54． 10．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】 【详解】解：连接，依题意，线段是圆的直径． ， ， ∴圆锥的底面圆的半径； 11．底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 【答案】长方体容器内水的高度 【详解】解：水的体积为， 2个杯子的容积， 剩下的水的体积为， 长方体的底面积为：， ∴长方体容器内水的高度， 【点睛】本题主要考查了认识立体图形，长方体的体积和圆柱体的体积，有理数的乘方运算、乘除运算和加减运算的运用等知识点，熟练掌握有理数的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 12．如图，一个圆柱形饮料瓶的高度正好等于一个圆锥形高脚杯的高度，把满瓶饮料全部倒入高脚杯中，最多可以倒满几杯？（饮料瓶和高脚杯的厚度忽不计） 【答案】最多可以倒满4杯 【详解】解：饮料瓶的容积： ， ， ， 高脚杯的容积： （杯）（去尾法） 答：最多可以倒满4杯． 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆柱圆锥的侧面展开图、表面积及体积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、圆柱、圆锥的侧面积、表面积问题 3 类型二、圆柱、圆锥的体积问题 5 类型三、圆柱与圆锥体积有关的比值问题 7 类型四、圆柱、圆锥的实际应用 9 类型五、组合体的表面积和体积问题 12 类型六、不规则物体的体积问题 14 压轴能力测评 16 知识一、圆柱的组成及特征 两个圆形所在的面叫做圆柱的底面，夹在两个底面之间的曲面叫做圆柱的侧面。连接两个圆形底面圆心的直线叫做圆柱的轴。两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 上图中的线段AA'叫做圆柱的母线。它不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线。 知识二、圆柱的侧面展开图、侧面积及表面积 将一个圆柱的侧面沿任意一条母线AA'剪开，得到的图形是一个长方形，我们把它叫做圆柱的侧面展开图。该长方形的一条边是圆柱的母线，它的长也等于圆柱的高。另一条与它相邻的边的长等于底面圆的周长。 圆柱的侧面积公式，其中，表示圆柱的侧面积，和分别表示它的底面半径、底面周长和母线长. 表面积公式为 知识三、圆锥的组成和特征 如下图，我们把这个圆形的面叫作圆锥的底面，叫作圆锥的顶点，夹在顶点和底面之间的曲面叫作圆锥的侧面。顶点和底面圆心的距离叫作圆锥的高，连接圆锥顶点与底面圆上任意一点的线段都叫作圆锥的母线。 知识四、圆锥的侧面展开图、表面积 沿着圆锥的任意一条母线把它的侧面剪开，得到的是一个扇形，这样得到的平面图形叫作圆锥的侧面展开图。 ①扇形的半径等于圆锥的母线②扇形的弧长等于圆锥的底面周长． 圆锥的侧面积公式：（其中表示圆锥的侧面积，和分别表示它的底面周长，底面半径和母线长） 圆锥的表面积： 知识点五、圆柱的体积及变形 圆柱的体积公式为：（其中表示圆柱的体积，表示它的底面积，表示它的高，是底面圆半径.） 圆锥的体积公式为：（其中表示圆锥的体积，表示它的底面积，表示它的高，是底面圆半径.） 类型一、圆柱、圆锥的侧面积、表面积问题 【例1】把一个底面直径和高都是的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是 ：如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板 （接头部分40计算）． 【例2】如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径． 【变式1-1】有一个零件，如下图，零件的下面是一个大圆柱体，底面直径是6厘米，高10厘米。上面是一个小圆柱体，直径是4厘米，高5厘米．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，你知道一共要涂多少平方厘米吗？（取3.14）    【变式1-2】把一个长的圆柱平均分成6段小圆柱，表面积增加了，原来这个圆柱的体积是 ． 【变式1-3】圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，则侧面展开图（扇形）的面积是 ． 类型二、圆柱、圆锥的体积问题 【例3】把一个直径为4厘米的圆柱体平均分成若干部分，然后把圆柱切开拼成一个与它等底等高的近似长方体．这个长方体的表面积增加了40平方厘米，长方体体积是 立方厘米． 【例4】如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？    【变式2-1】小明新买一瓶净含量为90克的牙膏（1毫升约等于1克），牙膏的圆形出口的直径是6毫米．他早晚各刷一次牙，每次挤出的牙膏长约20毫米．这瓶牙膏估计能用( )天．（取3作为圆周率的近似值） 【变式2-2】一个直角三角形两条直角边分别为和，以直角边为轴旋转一周，可得到一个 体，它的体积是 ． 【变式2-3】将一个长、宽的长方形铁片，另加一个底做成一个圆桶，则这个圆桶的容积为 ．（π取3） 类型三、圆柱与圆锥体积有关的比值问题 【例5】一个圆柱体和一个圆锥体，底面直径之比是，他们的体积之比是，圆柱和圆锥高之比是（    ）． A． B． C． D． 【例6】一个圆柱和一个圆锥的体积之比是，它们的底面积之比是，如果圆柱的高是3米，那么圆锥的高是 米． 【变式3-1】（圆柱和圆锥的体积）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，圆柱和圆锥高的最简单的整数比是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是 ． 【变式3-3】如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： (1)这个饮料瓶容积是多少？ (2)将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 类型四、圆柱、圆锥的实际应用 【例7】甲乙两个形状相同、大小相等的桶都盛有5升水，将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个桶中，且完全浸没，甲桶中水面从20厘米上升到26厘米，那么浸入圆锥后乙桶中水面应该是（    ）厘米．你怎么想的，把想法记在方框内． 【例8】陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是．陀螺的体积是多少立方厘米？（取）    【变式4-1】某餐厅为了完美餐品，上餐用下图的沙漏计时，并推出“菜品30分钟不上齐免单”措施．周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由．      【变式4-2】打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图a，测得底面直径为，高为，每立方米的小麦约重750千克． (1)求这堆小麦约有多少吨？（取3.14，得数保留整数吨） (2)图b为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为，粮仓下面圆柱的侧面积为，图b中粮仓上面圆锥的高为图a中小麦堆的高的，将打谷场上的这堆小麦全部装入与图b相同的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？ 【变式4-3】一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱底面的周长是米，高2米，圆锥的高是1.2米． (1)这个粮囤能装稻谷多少立方米？（结果保留） (2)如果每立方米稻谷重500千克，这个粮囤最多能装稻谷多少吨？（结果保留）（，） 类型五、组合体的表面积和体积问题 【例9】下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，体积最大的是（   ） A． B． C． D． 【例10】如图一个直角三角形两条直角边的长分别是，斜边的长是． (1)斜边上的高是多少厘米？ (2)以斜边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，求形成立体图形的体积．（取3） 【变式5-1】长10厘米、底面直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱的侧面包起来（纸要绷紧），至少需要多大面积的纸？ 【变式5-2】如图所示，该几何体的体积是 （结果用含的式子表示）．    【变式5-3】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见下图）．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？（取3.14） 类型六、不规则物体的体积问题 【例11】向一个内棱长是的正方体容器中装水，现将一个钢块完全浸在水中，此时水面的高度是，这个钢块的体积是多少立方分米？ 【例12】把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉．那么最后所得的立方体的体积是 立方厘米． 【变式6-1】求下面假山的体积是多少？ 【变式6-2】一个正方体容器，边长为20厘米，倒入5升水，再把一块石头没入水中．这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是 立方厘米． 【变式6-3】在一个长30厘米，宽15厘米，高50厘米的长方体容器里，水深15厘米，把一个圆柱形的铁块竖直的放到容器内，刚好没入水中，水面上升3厘米．求铁块的体积． 1．已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，若把直角三角形绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为(    ) A．π B．π C．12π D．24π 3．如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（  ） A． B． C． D． 5．在一个盛满水的底面半径是分米、高是分米的圆柱形容器中，垂直放入一根底面半径是厘米、高是厘米的圆柱形铁棒，溢出水的体积是（    ）升． A． B． C． D． 6．一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）． A． B． C． D． 7．把一个圆柱加工成一个最大的圆锥体，体积减少600立方厘米，这个圆柱的体积是 ． 8．学校创客空间的同学正在进行一个项目，需要将一块正方体形状的木材，加工成一个尽可能大的圆锥（如图）．已知圆锥的体积是立方厘米，原来正方体木料的体积是 立方厘米． 9．一个圆柱体木块，底面直径是6厘米，高是3厘米，它的表面积是( )平方厘米．把它削成一个最大的圆锥，应削去( )立方厘米．（取3） 10．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 11．底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 12．如图，一个圆柱形饮料瓶的高度正好等于一个圆锥形高脚杯的高度，把满瓶饮料全部倒入高脚杯中，最多可以倒满几杯？（饮料瓶和高脚杯的厚度忽不计） 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$