精品解析：广东省惠州市惠阳区知行学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年度惠州市知行学校初三第一次模拟考试 数学试卷 考试满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 3. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： ， 故选：A． 5. 用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ，为边的中点， ， 故选：C． 6. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 7. 方程的解为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母，把方程变为整式方程，然后求出方程的解，最后检验，即可得到方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的根； 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意要检验． 8. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理可得到，再根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，属于基础题型，熟练掌握圆周角定理、得出是解题的关键． 9. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差如下表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（　　） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1.1 1.2 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数及方差的定义和性质进行选择即可． 【详解】由题意可知，甲、乙、丙、丁中，乙、丙的平均数最大，为9 ∵1＜1.1＜1.2＜1.3 ∴乙的方差比丙的方差小 ∴选择乙更为合适 故答案为：B． 【点睛】本题考查了平均数和方差的问题，掌握平均数及方差的定义和性质是解题的关键． 10. 如图1，在四边形中，，直线．当直线沿射线方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中的数据，得到∠ABC=30°，求出AB的长，过点A作AH⊥BC，垂足为H，求出AH，得到△BE″F″的高，从而求出△BE″F″的面积． 【详解】解：∵直线l⊥AB，令BE=x，EF=y， 由图可知：当0≤x≤4时，满足y=x， 当l经过点A时，BE=x=4，AE′=y=2， ∴∠ABC=30°， ∴AB=， 过点A作AH⊥BC，垂足为H， ∴AH=AB=， 在平移过程中，直线l经过点A和经过点C之间时， 点F到BC的距离不变， 则△BE″F″中F″到BE″的距离不变，且为AH=， ∴当x=时，BE″=， △BE″F″的面积为， 故选C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（共15分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 13. 如图，在灯塔O处观测到轮船A位于西偏北方向，同时观测到轮船B在南偏东方向，则的度数是______． 【答案】##148度 【解析】 【分析】本题考查了方向角的运算，根据在灯塔O处观测到轮船A位于西偏北方向，同时观测到轮船B在南偏东方向，得出，再根据角的关系列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 依题意，， 则， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线交点的含义是解题的关键． 根据两直线交点得到对应二元一次方程组的解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为： ． 15. 小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， 即， 解得， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故当时，矩形面积最大， ， 此时， 故答案为：． 三、解答题（共24分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据绝对值的性质，乘方的意义，零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算． 【详解】解：， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值和二次根式分母有理化，解题关键是熟练掌握通分、因式分解、约分等基本运算． 18. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果交绿色是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，用列表或画树状图的方法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色” 可得结果变绿色是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：列表如下； 第2瓶 第1瓶 A B C D A B C D 由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有，共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 四、解答题－计算题（共27分） 19. 如图，中，在射线上，连接，已知． （1）在射线上作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1） 如图，点为所求作的点． （2） 由（1）得： 即 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，作一个角等于已知角的尺规作图，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质 （1）只需利用尺规作图作一个角，结合，即可使； （2）由得到，又易知，从而证得，继而得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，连接与交于点O，．下面是两位同学的对话： （1）请选择一位同学的说法，并证明； （2）在（1）的条件下，若，求的周长． 【答案】（1）选小明， ， ， 在和中， ， ， 平行四边形为菱形． 选小聪： ， ， 在和中， ， ， 平行四边形为菱形； （2）8 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，得到，推出，根据菱形的性质和等腰直角三角形的性质推出，得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 在和中， ， ， ∴ ； ，四边形为菱形， ， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴． 21. 课题学习： 项目主题 反比例函数的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点的坐标是，，求反比例函数的解析式； 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，直接写出的面积； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，求的面积； 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义； （1）根据题意得出，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）先求得，根据，即可求解； （3）根据题意设，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，则，，同（3）的方法，即可求解． 【详解】解：（1）∵的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵在上， ∴， ∴； （2）∵的坐标是，，在上， ∴的纵坐标为， ∵在上， ∴的横坐标， ∴， ∴， ∵的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 五、解答题－问答题（共24分） 22. 如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2） ，理由如下： ，， ， ， ， ， ，， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对的等角的性质，得出，根据直角所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论； （2）证明，得到，从而得出，即可得到结论； （3）由（2）可得，利用同弧所对的圆周角相等以及直角所对的圆周角是直角，得出，则，再证明，得出，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可知，，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角、圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处． （1）求抛物线解析式； （2）连接， ① ； ②若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，当四边形面积最大时，求点P的坐标． （3）抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①2；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再利用三角形的面积计算公式，结合，即可求出的面积；②由①知，当最大时，即最大时，四边形的面积最大，过点P作x轴的垂线，交于点Q，设点，则，得到，根据，根据二次函数的性质，即可求出结果； （3）存在，由点，的坐标可得出，结合可得出，设点的坐标为，分点在轴上方及点在轴下方两种情况考虑：①当点在轴上方时记为，过点作轴于点，则，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将符合题意的值代入点的坐标中即可求出点的坐标；②当点在轴下方时记为，过点作轴于点，则，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将符合题意的值代入点的坐标中即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 将，代入， 得：，解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为． 点在直线上，轴于点，当时，， 点的坐标为． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 故答案为：2． ②由①知，当最大时，即最大时，四边形的面积最大， 过点P作x轴的垂线，交于点Q， 设点，则， ， ， ， 当时，的最大，即四边形的面积最大， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 点的坐标为，点的坐标为， ． 在中，，， 点Q在抛物线上， 设点Q的坐标为． ①当点Q在轴上方时记为，过点作轴于点， 在中，，， ，即， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②当点Q在轴下方时记为，过点作轴于点， 在中，，， ，即， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为． 综上所述，抛物线上存在一点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰直角三角形以及解一元二次方程，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度惠州市知行学校初三第一次模拟考试 数学试卷 考试满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 方程的解为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差如下表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（　　） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1.1 1.2 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图1，在四边形中，，直线．当直线沿射线方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 分解因式：_______． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 如图，在灯塔O处观测到轮船A位于西偏北方向，同时观测到轮船B在南偏东方向，则的度数是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为_____． 15. 小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ______． 三、解答题（共24分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果交绿色是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）． 四、解答题－计算题（共27分） 19. 如图，中，在射线上，连接，已知． （1）在射线上作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 20. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，连接与交于点O，．下面是两位同学的对话： （1）请选择一位同学的说法，并证明； （2）在（1）的条件下，若，求的周长． 21. 课题学习： 项目主题 反比例函数的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点的坐标是，，求反比例函数的解析式； 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，直接写出的面积； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，求的面积； 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 五、解答题－问答题（共24分） 22. 如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处． （1）求抛物线解析式； （2）连接， ① ； ②若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，当四边形面积最大时，求点P的坐标． （3）抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $