精品解析：广东省惠州市惠阳区知行学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年度惠州市知行学校初三第一次模拟考试 数学试卷 考试满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 方程的解为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差如下表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（　　） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1.1 1.2 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图1，在四边形中，，直线．当直线沿射线方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 分解因式：_______． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 如图，在灯塔O处观测到轮船A位于西偏北方向，同时观测到轮船B在南偏东方向，则的度数是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为_____． 15. 小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ______． 三、解答题（共24分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果交绿色是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）． 四、解答题－计算题（共27分） 19. 如图，中，在射线上，连接，已知． （1）在射线上作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 20. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，连接与交于点O，．下面是两位同学的对话： （1）请选择一位同学的说法，并证明； （2）在（1）的条件下，若，求的周长． 21. 课题学习： 项目主题 反比例函数的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点的坐标是，，求反比例函数的解析式； 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，直接写出的面积； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，求的面积； 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 五、解答题－问答题（共24分） 22. 如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处． （1）求抛物线解析式； （2）连接， ① ； ②若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，当四边形面积最大时，求点P的坐标． （3）抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网组卷网 2024一2025学年度惠州市知行学校初三第一次模拟考试 数学试卷 考试满分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1.-2025的倒数是() 1 D 1 A.2025 B.- C.-2025 2025 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键.倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根 据倒数的定义回答即可， 1 【详解】解：：一个数a的倒数为 a 1 .-2025的倒数为 -2025 2025 故选：B 2.我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%.以下新能 源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能 够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据中心对称图形的 定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B,是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； 第1页/共24页 学科网组卷网 C.不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 故选：B 3.由DeepSeek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理 型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为( A.0.2215×108 B.2.215×107 C.2.215×10° D.22.15×10 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可.本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ax10,其中1≤a<10,n为正整数，确定a与n的值是解题的关键. 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为2.215×10， 故选：B 4.《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位.其中有一个“酒分醇璃” 问题：务中听得语吟吟，亩道醇璃酒二盆.解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人.共通饮了一斗七，一十九 客醉醺醺.欲问高明能算士，几何璃酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3 位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有 多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为() x+y=17 x+y=19 x+y=19 x+y=17 A 1 B 1 了 3x+2y=19 3 3x+3y=17 x+3y=17 0 3 3x+3y=19 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用.根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人， 现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可. 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了 19位客人，列出方程组得： x+y=17 1 3xr+3y=19 第2页/共24页 可学科网 命组卷网 故选：A. 5.用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图，∠ACB=90°，D为边AB的中点，点A、 B对应的刻度分别为1,6.则CD的长为() B T巾 01cm2 3 4 567 A.3.5cm B.3cm C.2.5 cm D.2cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解。 【详解】解：由题意得：AB=6-1=5cm, .∠ACB=90°，D为边AB的中点， :'CD=-AB=2.5em, 2 故选：C 6.如图，一块面积为60cm的三角形硬纸板（记为ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成 的投影是△A,BC1,若OB:BB=2:3,则△A,B,C,的面积是() A.90 cm2 B.135cm2 C.150cm2 D.375cm2 【答案】D 【解析】 【详解】解：，：一块面积为60cm的三角形硬纸板（记为ABC)平行于投影面时，在点光源0的照射 下形成的投影是△A,B,C1,OB:BB=2:3, 第3页/共24页 可学科网 组卷网 OB 2 ·0B5' .位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5， ,三角形硬纸板的面积为60cm2, 4 5 25 ∴.△A,B,C1的面积为375cm2. 故选：D 1 7.方程 的解为(). x-12x+3 A.x=-2 B.x=6 C.x=2 D.x=-6 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母，把方程变为整式方程，然后求出方程的解，最后检验，即可得到方程的解 13 【详解】解： x-12x+3 .2x+3=3x-3, 解得：x=6, 经检验，x=6是原分式方程的根： 故选：B 【点晴】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意要检验， 8.如图，⊙O中，OC⊥AB,∠BOC=50°，则∠ADC的度数是() D A.20° B.24° C.25° D.30° 【答案】C 第4页/共24页 耐学科网 命组卷网 【解析】 【分析】根据垂径定理可得到∠AOC=∠BOC=50°，再根据圆周角定理即可求出答案. 【详解】解：连接OA, ,0C⊥AB, ∴.AC=BC, ∴.∠AOC=∠BOC=50°， ∠ADC=}∠A0C=25°， 故选：C. B 【点晴】本题考查了垂径定理和圆周角定理，属于基础题型，熟练掌握圆周 D 角定理、得出∠AOC=∠BOC=50°是解题的关键 9.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数x及方差s如下表所示，若 要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员() 甲 丙 8 9 9 8 1.1 1.2 13 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数及方差的定义和性质进行选择即可. 【详解】由题意可知，甲、乙、丙、丁中，乙、丙的平均数最大，为9 第5页/共24页 学科网组卷网 1<1.1<1.2<1.3 .乙的方差比丙的方差小 选择乙更为合适 故答案为：B. 【点睛】本题考查了平均数和方差的问题，掌握平均数及方差的定义和性质是解题的关键， 10.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC,直线I⊥AB.当直线I沿射线BC方向从点B开始向右平移 时，直线I与四边形ABCD的边分别相交于点E、F,设直线向右平移的距离为x,线段EF的长为y, 9 且y与x的函数关系如图2所示.当x=二时，△BEF的面积为() 45 7x 图1 图2 A.93 9 B. 2 c95 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中的数据，得到∠ABC=30°，求出AB的长，过点A作AH⊥BC,垂足为H,求出AH,得 到△BE"F"的高，从而求出△BE"F的面积. 【详解】解：，直线1⊥AB,令BE=x,EFy, 由图可知：当0s4时，满足y=?x, 当1经过点A时，BE=x=4,AE=y=2, .∠ABC=30°， ∴AB=V42-22=2V3, 过点A作AH⊥BC,垂足为H, AH=AB=3, 在平移过程中，直线1经过点A和经过点C之间时， 第6页/共24页 可学科网可组卷网 点F到BC的距离不变 则△BE"F"中F到BE"的距离不变，且为AH=√5， 9 9 当x=二时，BE"=二， 2 △BE"F的面积为×9x5=9y5 19 22 4 故选C. B 图1 【点晴】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 二、填空题（共15分） 11.分解因式：4x2-y2= 【答案】(2x+y)(2x-y) 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：4x2-y2=(2x+y)(2x-y), 故答案为：(2x+y)(2x-y) 12.己知a是方程x2+2x=3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 【答案】2028 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键。 将x=Q代入方程，再结合整体思想即可解决问题 【详解】解：，a是方程x2+2x=3的一个根， ∴.a2+2a=3, .a2+2a+2025=3+2025=2028 故答案为：2028. 第7页/共24页 西学科网组卷网 13.如图，在灯塔O处观测到轮船A位于西偏北35°45'方向，同时观测到轮船B在南偏东2215'方向，则 ∠AOB的度数是 北 B 【答案】148°#148度 【解析】 【分析】本题考查了方向角的运算，根据在灯塔O处观测到轮船A位于西偏北3545'方向，同时观测到轮 船B在南偏东22°15'方向，得出∠1=35°45，∠2=2215'，再根据角的关系列式计算，即可作答。 【详解】解：依题意， 北 B 依题意，∠1=3545，∠2=22°15'， 则∠A0B=∠1+90°+∠2=148°， 故答案为：148°. 14.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x+n与y=kx+b的图象交于点P(-2,-3),则关于x,y的方 y=mx+n 程组 的解为。 y=kx+b y=kx+b y=mx+n 第8页/共24页 可学科网 命组卷网 x=-2 【答案】 y=-3 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线交点的含义是解题的关键。 根据两直线交点得到对应二元一次方程组的解即可 【详解】解：：函数y=m+n与y=kx+b的图象交于点P(-2,-3), y=mx+n x=-2 ∴.关于x,y的方程组 的解为 y=kx+b y=-3 x=-2 故答案为： y=-3 15.小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F ，G分别在边AC、AB上，已知tanB=2，,BC=10,S△ABc=40,则当矩形DEFG的面积最大时， GD DE B D 【答案】 5 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.过点A作 AM⊥BC于点M,交GF于点N,求出AM=8,证明△AGF∽△ABC,得到 5 S矩形DEFG=DG·DE=(8-DG)DG,当DG=4时，矩形面积最大，即可求出答案， 4 【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M,交GF于点N, SA48c=40, :BC-AM=40, 2 即5×10·AM=40, 解得AM=8, 第9页/共24页 可学科网列组卷网 四边形DEFG为矩形， ∴.GF∥DE,DE=GF,∠GDE=∠DGF=90°， .AM⊥GN, ,∠GDE=∠DGF=∠DMN=90°， ∴.四边形DMNG为矩形， .DG=MN, .AN=AM-MN=AM-DG=8-DG, :GF∥BC, ∴.△AGF△ABC, GF AN DE 8-DG ,即 BC AM 108’ DE-8-DG) .Sgwme=DG.DE-(8-DG)DG=-(DG-4+20. 4 4 故当DG=4时，矩形面积最大， DE=5x8-49=5, 4 此时 GD 4 DE 5 故答案为：5 B D M 三、解答题（共24分） 16计第同+-×3-a-P+8 +2sin60° 【答案】2√5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和特殊角的三角函数值是解答本题的关键.先 根据绝对值的性质，乘方的意义，零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减 第10页/共24页 可学科网可组卷网 即可. 【详解】解：原式=V5-1×3-1+4+2× 2 =V3-3-1+4+V5 =2V5. x2-4x+4 17.先化简，再求值： ,其中x=2-5 x+1 【答案】 3 x-2 3 【解析】 【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算。 3 x2-4x+4x+1-3x+1x-2x+11 【详解】解： x+1 x+1 x+1(x-22x+1(x-22x-2' 当x=2-√3时，原式= 2-√3-23 【点晴】本题考查分式的化简求值和二次根式分母有理化，解题关键是熟练掌握通分、因式分解、约分等 基本运算， 18.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四 瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知四瓶溶液分别是A:盐酸（呈酸性），B:硝酸钾溶液（呈 中性)，C:氢氧化钠溶液（呈碱性)，D:氢氧化钾溶液（呈碱性） (1)小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果交绿色是 事件（填“随机”“必然”或“不可 能”)： (2)小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液 恰好都变红色的概率（可用A,B,C,D表示）. 1 【答案】(1)不可能 (2) 6 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，用列表或画树状图的方法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法及 概率公式是解题的关键 (1)直接根据概率公式求解即可： 第11页/共24页 学科网组卷网 (2)列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色”可得结果变绿色是不可能 事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：列表如下； 第2瓶 A B D 第1瓶 (A,B (4,C) (A,D) B (B,A4 (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B (D,C) 由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有(D,C),(C,D)共2种结果，所以 两瓶溶液恰好都变红色的概率为 21 126 四、解答题一计算题（共27分） 19.如图，ABC中，E在射线AF上，连接BE,已知∠BAC=∠BEF, B (1)在射线AF上作一点D,连接BD,使得△BAC∽△BED;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹) (2)在(1)的条件下，连接CD,求证： AB AE CB CD 第12页/共24页 学科网组卷网 【答案】(1)图见详解 (2)见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，作一个角等于己知角的尺规作图，解题的关键是熟练 掌握相似三角形的判定和性质 (I)只需利用尺规作图作一个角∠EBD=∠ABC,结合∠BAC=∠BEF,即可使△BAC∽△BED: (2)由△BACABED得到1B-BC EB BD 又易知LABE=LCBD,从而证得△ABE∽△CBD,继而得 证； 【小问1详解】 如图，点D为所求作的点. 【小问2详解】 D 万 由(1)得：△BAC∽△BED AB BC EB BD ,∠ABC=∠EBD ·.∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE 即∠ABE=∠CBD ∴.△ABE∽ACBD AB AE BC CD E 20.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，连接AF、CE,AF与CE交于点O, AF⊥BC,CE⊥AB,下面是两位同学的对话： 第13页/共24页 可学科网可组卷网 小明：若BE=BF,小聪：若AF=CE D 则四边形ABCD 则四边形ABCD 为菱形 为菱形 E (1)请选择一位同学的说法，并证明： (2)在(1)的条件下，若∠D=45°，AB=8,求△AEO的周长， 【答案】(1)选小明， :AF⊥BC,CE⊥AB, ∠AFB=∠CEB=90°， ∠B=∠B 在△CEB和△AFB中 BE=BF ∠CEB=∠AFB ∴△CEB≌△AFB(ASA, ∴.BC=AB, .∴.平行四边形ABCD为菱形. 选小聪： AF⊥BC,CE⊥AB, ∠AFB=∠CEB=90°， ∠B=∠B 在△CEB和△AFB中 ∠CEB=∠AFB, CE=AF ,△CEB≌△AFB(AAS), ∴.BC=AB, .平行四边形ABCD为菱形； (2)8 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： (I)证明△CEB≌AAFB,得到BC=AB,即可得证； (2)证明△FOC≌△EOA(AAS),得到OC=OA,推出CAOE=AE+EC,根据菱形的性质和等腰直 第14页/共24页 学科网丽组卷网 角三角形的性质推出CE=BE,得到C△4OE=AB,即可得出结果。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：.△CEB≌△AFB, .BC=AB,BF=BE, FC=EA, ∠COF=∠AOE 在△FOC和△EOA中 ∠OFC=∠OEA=90°， FC=EA .△FOC≌△EOA(AAS), ..OC=OA, ∴.C△MOE=AE+EO+OA =AE+E0+OC =AE+EC; .∠D=45°，四边形ABCD为菱形， .∠B=45°， 在Rt△EBC中，∠B=45°， ∴.EC=EB, ∴.CAMOE=AE+EB=AB, 又AB=8, C△40E=8. 21.课题学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 已知矩形OABC的两邻边OA、OC分别落在x正半轴与y正半轴上，反 项目情境 比例函数”=(x>0)的图象经过点B,,=(x>0)的图象分别与 BC、AB交于点D、E. 第15页/共24页 可学科网组卷网 (1)如图(1)，若顶点B的坐标是(3,4)，AE=BE,求反比例函数y2的 解析式： Ay 活动任务 一 C E A 图1 驱动问题 (2)在(1)的条件下，直接写出△ODE的面积： (3)如图(2)，当k=4,k2=1时，求aBDE的面积： D 活动任务二 V, 图2 (4)通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到△BDE的面积有何 驱动问题二 规律或特征吗？请你用含飞，飞2的代数式，表示△BDE的面积（写出推 理过程). 【省案10为-兰2昌心4m安- 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义； (1)根据题意得出E(3,2),代入反比例函数解析式，即可求解； 3 (2)先求得D 根据SoDE=S矩形OHBc-S.coD一SAOE-S,BDE=k-k3-S。BDE,即可求解； 第16页/共24页 可学科网可组卷网 (3)根据题意设B 进而根据三角形的面积公式，即可求解： m (4) 设Bm则D.,Em.点 同(3)的方法，即可求解. m k’mm 【详解】解：(1)：B的坐标是(3,4)，AE=BE,四边形OABC是矩形， .E(3,2), :E在，-点x>0)上， .k2=3×2=6, 6 .y2= (2):B的坐标是(3,4)，CB∥x,D在CB上， .D的纵坐标为4， :D在片，=6上 .63 .D的横坐标一=。 42 BD=3-3=3 BE=AB=2, 22 2 ,B的坐标是(3,4)， .k1=3×4=12, S.ODE=ARC-S.COD-S.4OE-S.BDE=k-k2-S.BDE =12-6-1x3x) 0××2=6-3=9 22 22 (3)k=4,k,=1, 第17页/共24页 学科网组卷网 .BE = .413 ,BD=m-m=3, m mmm 441 SE=BE×BD=Lx3x3m=& 2m4 气km :BE=点_点=5-k,BD=m-mk2=6km, mmm kk 5版号Ex0分片产x5之州=文-与， 2 m k 即5e访传- 五、解答题一问答题（共24分） 22.如图CD是⊙O的直径，A是⊙O上异于C、D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、 AD,且∠BAC=∠ADB. B 【认识图形】 (1)求证：直线AB是⊙O的切线； 【探索关系】 1 (2)若an∠ADB=2探求BC与CD的数量关系： 【解决问题】 (3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P,交CD于E,连接PC、PD,若AB=2, 求PE·PA的值. 【答案】(1)证明：如图，连接OA, ∴.OA=OD, ∴.∠OAD=∠ODA, 第18页/共24页 学科网组卷网 ∠BAC=∠ADB, ∴.∠BAC=∠OAD, .CD是⊙O的直径， .∠CAD=90°， :.∠CA0+∠0AD=∠CA0+∠BAC=∠BA0=90°， .OA⊥AB, :0A是⊙O的半径， ∴.直线AB是⊙O的切线； A ○ (2)CD=3BC,理由如下： :LABC=∠DBA,∠BAC=∠ADB, .△ABC∽△DBA, AB BCAC BD AB AD :tan∠LADB= AC 1 AB BC 1 BD AB-2 :AB=2BC,BD=2AB, .BD =4BC :CD=BD -BC=3BC (3)PE·PA=27. 【解析】 【分析】(1)连接OA,由等边对的等角的性质，得出∠BAC=∠OAD,根据直角所对的圆周角是直角， 得到∠CAD=90°，进而推出OA⊥AB,即可证明结论； ②》证明。8C:D4,符到品GS,从而有出8D:48C,再可符结论 (3)由(2)可得CD=3√6，利用同弧所对的圆周角相等以及直角所对的圆周角是直角，得出 CD2=2PC2=54,则PC2=27,再证明aACP∽△CEP,得出PE.PA=PC2,，即可求出PE·PA的值. 第19页/共24页 可学科网可组卷网 【详解】(1)略 (2)略 (3)由(2)可知，AB=2BC,CD=3BC, AB=26, :.BC=6,CD=36, :AP平分∠CAD, ∠CAP=∠DAP, :∠CAP=∠CDP,∠DAP=∠DCP, :ZCDP=DCP .PC=PD, .CD是⊙O的直径， .∠CPD=90°， .CD2=PC2+PD2=2PC2=54, .PC2=27, ∠APC=∠ADC,∠CAP=∠DAP, .∠ACP=LAED, ·.·∠AED=∠CEP, :ZACP ZCEP .∠APC=∠CPE, △ACP∽aCEP, PA AC PC PC CE PE' .PE.PA=PC2=27. 【点晴】本题考查了圆周角、圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， 勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键， 23.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,点C在直线AB上，过点C作 CD⊥x轴于点DI,O),将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处. 第20页/共24页 可学科网可组卷网 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)连接BE, ①SBCE= ②若点P为直线AB上方抛物线上一动点，连接PB,PC,当四边形PBCE面积最大时，求点P的坐标. (3)抛物线上是否存在一点Q,使∠QEA=∠BAE？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)①2； 315 @P\24 (3)(2,3)或(4，-5) 【解析】 【分析】(1)由点A的坐标可得出点E的坐标，由点A,E的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解 析式： (2)①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点A,B的坐标，利用待定系数法可求出 直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再利用三角形的面积计算公式， 结合S△BCE=S△ABE-S△ACE,即可求出△BCE的面积；②由①知S,BCE=2,当S.PBC最大时，即S,MPB最 大时，四边形PBCE的面积最大，过点P作x轴的垂线，交AB于点Q,设点Pn,-n2+2n+3,则 儿-n+3引，得到PQ=-+3n,根据S=PQ,小，根据二次函数的性质，即可求出结果： (3)存在，由点A,B的坐标可得出OA=OB,结合∠AOB=90°可得出∠BAE=45°，设点Q的坐标 为(m,-m2+2m+3),分点Q在x轴上方及点Q在x轴下方两种情况考虑：①当点Q在x轴上方时记为Q ,过点Q,作QM⊥x轴于点M,则EM=2M,进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的 第21页/共24页 学科网丽组卷网 将符合题意的值代入点？的坐标中即可求出点Q1的坐标；②当点Q在x轴下方时记为9，过点9作 Q,N⊥x轴于点N,则EN=Q,N,进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合 题意的m值代入点Q的坐标中即可求出点Q的坐标. 【小问1详解】 解：.将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为(3，O),点D的 坐标为(1,0)， .点E的坐标为(-1,0). 将A(3,0),E(-1,0)代入y=ax2+bx+3, 9a+3b+3=0 a=-1 得： a-b+3=0 ，解得： b=2 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; 【小问2详解】 解：①当x=0时，y=-1×02+2×0+3=3, ∴.点B的坐标为(0,3). 设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0)， 将A(3,0),B(0,3)代入y=x+n, 3m+n=0 m=-1 得： n=3 ,解得： n=3, ..直线AB的解析式为y=-x+3. 点C在直线AB上，CD1x轴于点D(1,O),当x=1时，y=-1×1+3=2, .点C的坐标为(1,2). 点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(1,2)，点E的坐标为(-1,0)， .AE=4,OB=3,CD=2, 50-CD-xx2 2 第22页/共24页 可学科网可组卷网 故答案为：2. ②由①知SBCE=2,当S。PBC最大时，即S4PB最大时，四边形PBEC的面积最大， 过点P作x轴的垂线，交AB于点Q, E 设点Pn,-n2+2n+3),则Q(n,-n+3), ∴.PQ=-n2+3n, 3)2 o-) .27 2 8 3 <0, 2 当”三多时，S,4Ps的最大，即四边形PBEC的面积最 p315) (24 【小问3详解】 解：存在，理由如下： .点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,3)， ∴.OA=OB=3 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB, ∴.∠BAE=45° .点Q在抛物线上， ∴.设点Q的坐标为(m,-m2+2m+3). ①当点Q在x轴上方时记为Q1,过点Q,作QM⊥x轴于点M, 在Rt△EM9中，∠9EA=45°，∠9ME=90°， 第23页/共24页 学科网丽组卷网 .EM=QM,即m-(-1)=-m2+2m+3, 解得：m,=-1(不合题意，舍去)，m2=2, ∴.点Q的坐标为(2,3)； ②当点Q在x轴下方时记为Q2,过点O,作Q,N⊥x轴于点N, 在Rt△ENQ2中，∠Q,EN=45°，∠QNE=90°， .EN=Q2N,即m-(-1）=-(-m2+2m+3), 解得：m1=-1(不合题意，舍去)，m2=4, ∴.点2的坐标为(4，-5). 综上所述，抛物线上存在一点Q,使∠QEA=∠BAE,点Q的坐标为(2,3)或(4，-5). 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标 M 特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰直角三角形以 及解一元二次方程，灵活运用数形结合的思想是解题的关键， 第24页/共24页