浙江省杭州学军中学西溪校区2024-2025学年高三下学期半月考（3）数学试题

高三3月月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D C B D C C 题号 9 10 11 答案 AC AC BCD 12．2i 13．240或3840 14．204 15．解：（1）中，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得 又因为为的角平分线，所以； （2）中，，， 所以 从而 由正弦定理可得 而 16．解：（1）因为平面，平面，平面 所以，.因为则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，． 所以，，． 因为，所以.，所以． 又，平面，平面．所以平面； （2）设，即． 则，即. 则.由（1）可取为平面PAC法向量. 因与平面夹角正弦值为， 则 即解得，即. 17．解：（1）因为， ，， 所以，. 故点处的切线方程为，即. （2）由已知有令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故,，所以A不是B的子集.    当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意.    综上，的取值范围为 18．解：（1）因为双曲线经过点，所以，解得， 所以的离心率， （2）易知.设. 因为△的重心为 ，所以,解得, 因为，所以，即. 因为不共线，所以 且， 所以的轨迹不含两点. 故，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为. （3）因为为△的垂心，所以，设， 当直线或的斜率为0时，点的坐标为或， 此时点与点重合，不合题意，舍. 当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，则， 由（2）知，则， 则. 因为，所以， ，则，得， 则，因为构成三角形，故不能在轨迹上， 综上，动点的轨迹方程为（去除点）. 19．解：（1） 法一：，解得. 法二：. （2）令， ， 可得，所以. （3）设的生成函数为，则. 因为，故与的展开式中前的系数相同. 由（1）知， 由（2）知取时有. 故，其中前系数为 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学学科 命题人：杨海江 审题人：刘武林 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知向量，若反向共线，则实数的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或7 3．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（   ） A．9 B．41 C．61 D．511 4．设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 5．设，，则“”是的“”（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 7．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则（ ）AC A． B． C． D． 10．如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．则（ ）AC A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点 C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥体积最大值为 11．函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是（ ）BCD A．函数的图象关于直线对称 B．当时，的最大值为－1 C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知复数满足，则 ．2i 13．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 14．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有 种． 四、解答题（本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． （1）求； （2）若，求四边形的面积． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，为棱BC上的点，且． (1)求证：平面PAC； (2)设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求． 17．（15分）已知实数，设． (1)若，求函数，的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点． (1)求的离心率； (2)若△的重心为，点，求的最小值； (3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程． 19．（17分）对于无穷数列，我们称为数列的生成函数．生成函数是重要的计数工具之一．对于给定的正整数，记方程 的非负整数解的个数为，则为 展开式中前的系数． (1)写出无穷常数列的生成函数并化简； (2)证明：； (3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项．学生需参加所有项目获取最终分数．计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分；通过第十一项中的每一个小项，可获得1分．记为获取分的所有得分组合数，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$