精品解析：天津市滨海新区田家炳中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

滨海新区田家炳中学2024-2025-2高二年级月考考试 数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 已知函数的导函数为，则（ ） A 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入计算函数值即可. 【详解】函数的导函数为，则. 故选：B. 3. （ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可求解. 【详解】在区间上的平均变化率为， 故选：A 5. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 6. 从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条，小明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条路可以选（ ） A. 11 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条， 小明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有条； 故选：D 7. 已知函数，则导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可. 【详解】由可得， 即. 故选：B 8. 由数字，，，构成的三位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，故构成的三位数共有个， 故选：A 9. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 结合选项可知，只有C中函数符合要求， 故选：C 10. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有 A. 21种 B. 315种 C. 153种 D. 143种 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种， 选一本数学书一本英语书有5×7=35种， 选一本语文书一本英语书有9×5=45种， ∴共有63+45+35=143种选法. 故选D. 11. 对于函数，下列说法错误的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出单调区间可得极值，可判断A；根据单调性，结合零点存在性定理，以及当时可判断B；利用单调性即可判断C；构造函数，利用导数求最值可判断D. 【详解】对于A，的定义域为， 令得，在上单调递增，； 令得，在上单调递减. 所以当时，取得极大值，A正确； 对于B，由上知在上单调递增，且， 又，所以在上有且只有一个零点. 当时，在上单调递减，且恒成立， 所以，在上没有零点，B错误； 对于C，因为，所以，即，C正确； 对于D，， 记，则， 当时，，在上单调递增， 当时，.上递减 所以，当时，取得最大值， 因为在上恒成立，所以，D正确. 故选：B 12. 函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数说明其单调性，即可得到不等式的解集； 【详解】解：令，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值也就是最大值，，所以恒成立，又当时，所以，所以恒成立，即的解集是 故选：D 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 一元二次不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】一元二次不等式化为， 解得或， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 14. 一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是______米/秒 【答案】4 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，求出时的导数值，利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意，物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为， 则， 当时，，即3秒末的瞬时速度为4米/秒. 故答案为：4 【点睛】本题考查了导数的概念、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题. 15. 函数的导数为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的求导法则运算即可. 【详解】令，则变形为，所以， 故答案为： 16. 已知曲线上的一点，求在点A处的切线方程____． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，代入求得切线斜率，根据点斜式写出切线方程，整理即可. 【详解】由求导得，则时，， 所以切线斜率为，过点，则切线方程为，整理得. 故答案为：. 17. 如图，要给地图上、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 【答案】48 【解析】 【分析】方法一：按照的顺序分步涂色，利用分步乘法计数原理可得结果； 方法二：按所用颜色多少分类涂色，第一类：用三种颜色，第二类：用四种颜色，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】方法一：按的顺序分步涂色． 第1步，涂区域，有种不同的涂法； 第2步，涂区域，从剩下的种颜色中任选种颜色，有种不同的涂法； 第3步，涂区域，再从剩下的种不同颜色中任选种颜色，有种不同的涂法； 第4步，涂区域，从与、区域不同的种不同颜色中任选种，有种不同的涂法． 根据分步乘法计数原理，共有种不同的涂法； 方法二：按所用颜色的多少分类涂色． 第1类：用三种颜色，则、区域所涂颜色相同，有种不同的涂法； 第2类：用四种颜色，有种不同的涂法． 根据分类加法计数原理，共有种不同的涂法． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 18. 已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题设得显然有不合题设，知：，根据极大值有求，再将所求代入原函数验证处是否取得极大值. 【详解】由题设，， 当时，，则递增，无极大值，与题设矛盾， ∴，此时，，要使在处取得极大值， ∴，可得或. 当时，，则 当得或，即上递增； 当得，即上递减； ∴为极大值点，符合题设. 当时，，则 当得或，即上递增； 当得，即上递减； ∴为极小值点，不合题设. 综上，. 故答案为：1 19. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】对已知式求导，然后令代入即得． 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：1． 20. 若函数 在上只有一个零点，则常数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得取得极大值，取得极小值，进而得或，再解不等式即可得答案. 【详解】解：，由得， 由得或， 由得. 所以，当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 因为函数 在上只有一个零点, 所以，或，即或. 所以常数的取值范围是 故答案为： 三、解答题：本题共4题，共50分.21题10分，22题12分，23题14分，24题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 如图，在正四棱柱中，，，M是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1），连接，由中位线得到，进而可求证； （2）由条件易得，，即可求证； 【小问1详解】 证明：设，连接， 在四棱柱中，四边形是正方形， 为中点，又为中点，， 又平面平面， 平面； 【小问2详解】 在四棱柱中，平面，又平面，， 又在正方形中，，且，.平面平面， 平面，又平面， ； 22. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最小值和最大值． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解单调性， （2）根据函数的单调性，求解极值和端点处的值，即可求解. 【小问1详解】 所以， 令，解得或，令，解得， 所以的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 令，解得或， 由（1）得单调递增，单调递减，单调递增， 又， ， ， ，所以 23. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数 的单调区间； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数的极大值为，无极小值；(2) 当时，在是增函数；当时，在是增函数，在是减函数;(3) 实数额取值范围为. 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，求出极值点，利用函数的单调性，求解函数的极值；（2）求出函数f（x）的定义域，函数的导数，通过当a≤0时，当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可；（3）根据前两问得到的极大值即为的最大值即可. 详解： （1）当时，. ，列表 1 + 0 - ↗ 2 ↘ ∴函数的极大值为，无极小值； (2). ①当时，恒成立，故在是增函数； ②当时，对，是增函数， 对，是减函数. 综上，当时，在是增函数；当时，在是增函数，在是减函数. (3)恒成立，则. 由（2）可知，的极大值即为的最大值， ∴. ∴实数额取值范围为. 点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数. 24. 已知函数，． （1）求函数的极小值； （2）设函数，讨论函数在上的零点的个数； （3）若存在实数，使得对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值． 【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析；（3）4. 【解析】 【分析】(1)求导后,利用导数可求得极小值; (2)转化为讨论在上的解的个数,再利用导数可解决; (3) 转化为对任意的，不等式恒成立后,构造函数利用导数可解得, 【详解】（1），. 则， 令，得；令，得或（或列表求） ∴函数在单调减，在单调增，在上单调减， ∴函数在处取得极小值； （2）， ∵，∴， 设，则，令，则. ∴在上单调减，在上单调增，且，，，. ∴当或时，有1解， 即在上的零点的个数为1个； 当时，有2解，即在上的零点的个数为2个； 当时，有0解，即在上的零点的个数为0个． （3）∵，存在实数，使对任意的，不等式恒成立，∴存在实数，使对任意的，不等式恒成立. ∵，∴对任意的，不等式恒成立. 即对任意的，不等式恒成立． 设，， ∴，可求得在上单调增，在上单调减，在上单调增， 则在上单调减，在上单调增， 当时，在上递减,所以恒成立； 当时，在上递减,在上递增,所以，因为， ，而；所以在上不恒成立, ∴正整数的最大值为4． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨海新区田家炳中学2024-2025-2高二年级月考考试 数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. （ ） A. B. 6 C. D. 9 4. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 5. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条，小明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条路可以选（ ） A. 11 B. 8 C. 9 D. 18 7. 已知函数，则的导函数为（ ） A B. C. D. 8. 由数字，，，构成的三位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 10. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有 A. 21种 B. 315种 C. 153种 D. 143种 11. 对于函数，下列说法错误的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 12. 函数是定义是在上可导函数，其导函数满足，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 一元二次不等式的解集是______． 14. 一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是______米/秒 15. 函数的导数为__________ 16. 已知曲线上的一点，求在点A处的切线方程____． 17. 如图，要给地图上、、、四个区域分别涂上种不同颜色中某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 18. 已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则__________. 19. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 20. 若函数 在上只有一个零点，则常数取值范围是________. 三、解答题：本题共4题，共50分.21题10分，22题12分，23题14分，24题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 如图，在正四棱柱中，，，M是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：； 22. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上最小值和最大值． 23. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数 的单调区间； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 24. 已知函数，． （1）求函数的极小值； （2）设函数，讨论函数在上的零点的个数； （3）若存在实数，使得对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$