精品解析：北京市顺义区第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

顺义一中2024~2025学年度第二学期3月月考 高一数学 2025.03 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的加减法求解. 【详解】向量，则 则 . 故选：C. 2. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 3. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据求出，再利用倍角公式可得答案. 【详解】因为为第二象限角，且，所以； 所以. 故选：D. 4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 5. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图中可知，即可得到答案． 【详解】由图中可知，若向量与共线,则. 答案为D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题． 6. 已知函数（）的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象求得，得到，结合，求得的值. 【详解】由函数的图象，可得，所以， 则，所以， 又由，可得， 所以，又因为，所以. 故选：A. 7. 在矩形中，，，为上的动点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】把拆解，利用平面向量数量积运算进行求解. 【详解】因为是矩形，为上的动点，所以； 因为,所以. 故选：D. 8. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 有最大值，没有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由，所以函数为偶函数，所以A不正确； 由函数，可得函数的最小正周期为，所以B不正确； 又令，解得， 所以函数单调递增区间为，， 令，的其中一个单调递增区间为，所以C正确. 因为，所以当时，，故D不正确. 故选：C. 10. 半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（ ） A. s B. s C. s D. 10 s 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得周期，进而得到，由水轮的圆心距离水面m，可求出，，即可知，令，解得即可得出答案. 【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则， 由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m， 因为，可得，， 所以， 当水轮上点P从水中浮出时x= 0s开始计时， 令，解得，点P第一次到达最高点需要. 故选：B. 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的值是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】应用两角差的余弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知向量，，且与的夹角为45°，则=________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量数量积计算即可. 【详解】因为，所以， 且，与的夹角为45°， 所以， 故答案为：1. 13. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 ______. ______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件结合投影向量公式可求，根据向量模的性质及数量积运算律求. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，又， 所以，又 ， 所以. 故答案为：，. 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为___________________ （写出一个满足条件的的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接利用三角函数图象的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的对称轴即可求解． 【详解】的图象向右平移个单位长度，得到， 得到的函数图象关于轴对称，则：，， 解得：，当时，． 故答案为：（答案不唯一） 15. 已知函数，给出下列结论： ①为的一个零点； ②为周期函数； ③在区间上单调递增； ④的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①②④. 【解析】 【分析】求出可判断①；由可判断②；求出，可判断③；将的解析式变形为，令，由二次函数的性质求出的最大值可判断④. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，， 所以为周期函数，故②正确； 对于③，， ，故③不正确； 对于④，， 令，， 当，，故④正确. 故选：①②④. 三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，. （1）求的坐标； （2）设的夹角为，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的减法的坐标运算，即可求得答案； （2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案; （3）根据向量垂直时数量积为0，列方程即可求得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以 【小问2详解】 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 解得：. 17. 已知，． （1）求及的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件由两角和的正切公式以及二倍角公式即可求解； （2）根据已知条件，结合同角三角函数基本关系以及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以 因为，即， 解得：或 因为，所以，所以. （2）因为，且， 解得：，， 因为，所以，， 所以，， 因为，，所以， 所以. 18. 已知向量满足． （1）求向量与的夹角； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，利用平面向量的夹角公式即可求解； （2）利用投影向量和数量积的运算即可求解． 【小问1详解】 ， ，即， ，， 又，与的夹角为； 【小问2详解】 ， ． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简即可得出，再由周期公式求解即可； （2）解不等式即可得出答案； （3）由，可得，结合正弦函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 因为 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，， 所以，. 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，所以. 当，即时，取得最大值3; 当，即时，取得最小值0- 所以在区间上值域为 20. 已知函数. （1）求函数的对称轴方程； （2）若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数的对称性运算求解； （2）（i）令，分析可知在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点，结合图象即可得结果；（ⅱ）根据函数图象结合函数对称性列式求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 令，解得：， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 由（1）得：， 令，可得， 当时，令， 则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点， 作出在上的图像如下图所示， 由图像可知：当时，与恰有个不同的交点， 所以实数的取值范围为； （ii）设与的个不同的交点分别为， 则，，则， 即，整理可得：， 所以 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. （1）已知，求； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 【答案】（1）0； （2） 由向量，向量，得， 因此，同理， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用新定义计算即得. （2）由新定义证得，，即可证明. （3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，，， 则当为锐角时，，当为钝角时，， 当为锐角时， 当时，取到最大值； 当为钝角时， ， 当，即时，取得最大值， 所以的最大值. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义一中2024~2025学年度第二学期3月月考 高一数学 2025.03 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 5. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数 A. B. C. D. 6. 已知函数（）的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，，，为上的动点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 有最大值，没有最小值 10. 半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（ ） A. s B. s C. s D. 10 s 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的值是___________ 12. 已知向量，，且与的夹角为45°，则=________. 13. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 ______. ______. 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为___________________ （写出一个满足条件的的值即可） 15. 已知函数，给出下列结论： ①为的一个零点； ②为周期函数； ③在区间上单调递增； ④的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，. （1）求的坐标； （2）设的夹角为，求的值； （3）若，求的值. 17. 已知，． （1）求及的值； （2）求的值． 18. 已知向量满足． （1）求向量与的夹角； （2）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的值域． 20. 已知函数. （1）求函数的对称轴方程； （2）若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. （1）已知，求； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $