精品解析：贵州省安顺市镇宁民族中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

贵州省镇宁民族中学高一下学期第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ） A. ①②④是数量，③⑤⑥是向量 B. ①④⑤是数量，②③⑥是向量 C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量 D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C 与 D. 与 5. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，满足，且，则（ ） A. 1 B. 11 C. 12 D. 1024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列转化结果正确是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成弧度是 C. 化成角度是 D. 化成角度是 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 已知定义在上函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则是_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 13. 已知，，与的夹角为，则=________． 14. 已知，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）． 16. 已知是第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 17. 已知向量不共线，且，，． （1）用表示； （2）若，求的值， 18. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为， 若存在常数，，都有，则称为上的“利普希茨”函数. （1）请写出一个“利普希茨”函数，并给出它的定义域和值 （2）若为“利普希茨”函数，试求常数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省镇宁民族中学高一下学期第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交并集运算求解. 【详解】因为集合，集合， 所以，. 故选：B. 2. 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ） A. ①②④是数量，③⑤⑥是向量 B. ①④⑤是数量，②③⑥是向量 C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量 D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解析】 【分析】由向量概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD，取特殊值，举反例说明即可；对于B，由幂函数单调性即可判断. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，因为幂函数在定义域内单调递增，又，所以，故B正确； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，取，满足，则，故D错误. 故选：B. 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式及值域是否相同即可. 【详解】选项A：函数的定义域为，而的定义域为，故A错误； 选项B：函数的定义域为，而的定义域为，，故B错误； 选项C：函数的定义域为，而的定义域为，解析式相同,故C正确； 选项D：函数的定义域为，而的定义域为， 但，故解析式不一样，所以D错误； 故选：C. 5. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 6. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三个二次关系计算参数的关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由条件可知，的两个实数根是和，且， 则，得，， 所以，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故选：A 7. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造扇形，根据已知条件求出半径，由扇形面积不出扇面面积. 【详解】如图，设，， 由弧长公式可得：，解得：， 扇形的面积， 扇形的面积 所以扇面的面积． 故选：D． 8. 已知定义在上的函数，满足，且，则（ ） A. 1 B. 11 C. 12 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】令，求得，令，求得，进而计算即可. 【详解】根据题中的条件，令，则，所以， 令，则，又，所以， 则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列转化结果正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成弧度是 C. 化成角度是 D. 化成角度是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案. 【详解】对于A：，所以化成弧度是，故A正确. 对于B，，化成弧度是，故B正确. 对于C，化成角度是，故C错误. 对于D，，化成角度是，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解. 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，又，所以，所以． 对于A：当时，，故A正确； 对于B：当时，为最小值， 故的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数： 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】推导出，在等式中，令可求得的值，在等式中，令可求得的值，可判断A选项；由函数的周期性结合函数在上的单调性可判断B选项；利用函数的单调性与对称性可知，函数在区间上单调递减，可判断C选项；在等式中，令，可得出，再由可判断D选项. 【详解】因为，所以， 所以. 因为，取，得. 因为，取，得， 又，所以，故A正确； 由在区间上单调递减，得， 又，且，所以，故B正确； 因为，所以函数的图象关于点对称， 因为函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 因为，则，所以，故C错误； 由，取，得， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则是_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】既不充分也不必要 【解析】 【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可. 【详解】，解得， 显然与不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 13. 已知，，与的夹角为，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件计算，再计算，进而得结果. 【详解】由，，与的夹角为， 则， 所以. 故答案为：. 14. 已知，则__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】利用同角关系式可求得，利用诱导公式可得，再利用倍角公式即可求解. 【详解】，即． 又，所以， 所以 ． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值即可. （2）根据对数运算性质及换底公式化简计算即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 16. 已知是第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简原式，即可得到结果. （2）先对式子除以，再分子分母同时除以，将第一问的结果代入即可. （3）因为角的终边与角的终边关于轴对称，所以，利用用诱导公式化简，再分子分母同除，即可得到结果. 【小问1详解】 根据诱导公式得， 因为是第三象限角，所以，所以． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 因为是第三象限角，且，角的终边与角关于轴对称， 则， 所以 17. 已知向量不共线，且，，． （1）用表示； （2）若，求的值， 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据平面向量减法运算可直接得到结果； （2）由向量共线可直接构造方程求得结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以，即， 又向量不共线，所以 解得，即的值为． 18. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数周期可得，再借助正弦型函数对称性可得对称中心； （2）得到后，结合换元法可得的单调性，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由的最小正周期为，得，故，所以， 令，得，故函数的对称中心为； 【小问2详解】 令，由，得， 在递减，在递增，所以， 又，所以有两个解时，. 19. 已知函数的定义域为， 若存在常数，，都有，则称为上的“利普希茨”函数. （1）请写出一个“利普希茨”函数，并给出它的定义域和值 （2）若为“利普希茨”函数，试求常数的取值范围 【答案】（1），定义域，等（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“利普希兹条件函数”的定义求解； （2）根据“利普希兹条件函数”的定义，设，将问题转化为恒成立求解； 【小问1详解】 ，定义域，等（答案不唯一） 【小问2详解】 若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域内的任意，都有成立， 不妨设，则恒成立， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围是； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $