精品解析：福建省龙岩市长汀县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

长汀一中2024～2025学年第二学期高二第一次月考 数学试卷 试卷满分:150分; 考试时间:120分钟) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请把答案填涂在答题卡的相应位置. 1. 已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知，若，则实数值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ） A B. C. D. 4. 已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9 已知事件A，B满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，，若A，B，C，D四点共面，则实数为5 B. 若直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于 C. 已知点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为 D. 已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 11. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（   ） A. 异面直线与所成角余弦值为 B. 当时，平面平面 C. 点到平面距离为 D. 存在，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 13. 某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______． 14. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 16. 已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 （1）求取出的球中红球数多于黄球数的概率； （2）设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 17. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 18. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长汀一中2024～2025学年第二学期高二第一次月考 数学试卷 试卷满分:150分; 考试时间:120分钟) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请把答案填涂在答题卡的相应位置. 1. 已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于轴的对称点为， 所以. 故选：C 2. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值. 详解】向量， 若， 则， 故选：C. 3. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以, 故选：A 4. 已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解. 【详解】因为，，， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量是， 所以向量在上的投影向量的坐标是， 故选：D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 7. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a取值范围是. 故选：A. 8. 长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建系，再根据向量垂直得出再结合，得出，最后应用空间向量法计算二面角余弦结合同角三角函数关系求出正切范围即可. 【详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 已知，， 则，，，. 因为，所以, , 因为，所以, 因为，所以， 设平面的法向量为， 设平面的法向量为，，. 由，即， 令，则，， 则为平面的一个法向量. 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. . ，. 所以 则. 则二面角的正切值的取值范围是 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用向量关系得出结合即可得出正切值取值范围. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由A与B互斥，得，B正确； 对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误. 故选：BC 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，，若A，B，C，D四点共面，则实数为5 B. 若直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于 C. 已知点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为 D. 已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由共面向量定理代入计算，即可判断A，由线面角的定义即可判断B，由两向量的夹角为锐角可得且不共线，即可判断C，由线面关系的向量法证明即可判断D 【详解】对于A，由A，B，C，D四点共面可知，存在唯一一对实数使得， 即， 所以，解得，故A正确； 对于B，若直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于， 则直线l与平面所成的角等于，故B错误； 对于C，因为，由，的夹角为锐角可得 ，即，解得且，故C正确； 对于D，因为直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，且， 所以或，故D错误； 故选：AC 11. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（   ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 存在，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知面面垂直性质定理得出线面垂直建系，得出线线角的余弦值判断A，求法向量再判断面面位置关系判断B，应用点到平面距离公式计算判断C，用空间向量数量积判断D. 【详解】取的中点，连接，， 为等腰直角三角形，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，底面是菱形，是等边三角形，， 则以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，， ，， 且，故选项A正确； 当时，， 设平面的一法向量为，平面的法向量为， 则，， 可取平面的法向量为， 平面的法向量为，则，所以选项B错误； 设面的法向量， 则， 取，即平面的法向量为，又， 则点到平面的距离为，故选项C正确； 又 所以时，，故选项D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 13. 某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】记产品是优等品为事件，来自甲地为事件，来自乙地为事件， 则，，，， 所以， 故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为. 故答案为： 14. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，问题转化为直线与函数图象有两个交点，求导分析单调性，画出的图象，数形结合即可得到的取值范围. 详解】∵，∴. 当时，由得，， 当时，由得，， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 当时，，函数在上是减函数， 当时，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数，且当时，函数极小值为， 当时，，当时，，函数图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是分离参数，把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，在画函数图象的过程中常借助导数分析单调性. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 16. 已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 （1）求取出的球中红球数多于黄球数的概率； （2）设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）记取出的球中红球数多于黄球数为事件，利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【小问1详解】 记取出的球中红球数多于黄球数为事件， 若取出一个红球则只需另取出两个篮球，有种取法； 若取出两个红球则从剩下的四个球中再取出一个球即可，故有种取法； 所以. 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 17. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： 【小问2详解】 令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 18. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在点，使得满足要求，此时 【解析】 【分析】（1）由平面，，得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过计算即可得证； （2）利用空间向量求直线与平面的所成角的方法计算，即可得到结果； （3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面， 所以，， 又，所以，，两两垂直， 以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，所以. 【小问2详解】 设平面的一个法向量， 因为，， 所以，即， 令，则，，所以， 又，设直线BD与平面BEF所成角， 则. 【小问3详解】 假设存在，设，则， 所以， 设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，， 所以， 由（2）问可知：平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【答案】（1）极小值0，无极大值． （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可； （2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可； （3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解. 【小问1详解】 函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$