精品解析：湖南省郴州市2024-2025学年高二下学期3月份联考数学试题

数学 时量120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 某校文艺汇演上有一个合唱节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ） A. 194 B. 240 C. 388 D. 480 4. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 55 B. 50 C. 100 D. 58 5. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与过点的直线l交于A，B两点，则弦的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 过椭圆上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最小值为 B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 C. 存在，使得为偶函数 D. 函数在区间上的值域与在区间上的值域相同 10. 已知为随机事件，，，则下列结论正确有（ ） A. 若互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D 若，则 11. 已知数列满足，且，，数列前n项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 时， D. 不存在，使得为整数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为________． 13. 已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则________． 14. 已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且，M为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会． （1）若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为X，求X的分布列及数学期望； （2）为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式和游览结果的统计数据如下表： 游览方式 游览结果 复古三轮车 共享单车 步行 逛完所有区域 40 50 30 未逛完所有区域 20 70 140 以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率． 18. 已知函数 ． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 19. 如图，已知曲线，曲线的左、右焦点分别是，，且是曲线的焦点，点P是与在第一象限内的公共点且，过的直线l分别与曲线和交于点和． （1）求点的坐标及曲线的方程； （2）若与面积分别是，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 时量120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法公式计算化简，再结合模长公式计算即可. 【详解】因为复数z满足，则， 则. 故选：B. 2. 在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方向向量求出斜率，即可得出倾斜角. 【详解】因为直线l的方向向量为， 所以直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故选：A. 3. 某校文艺汇演上有一个合唱节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ） A. 194 B. 240 C. 388 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑法进行求解即可. 【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻， 所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体， 与剩下3名学生进行排列有种排法， 又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法， 因此根据乘法原理得所求种数为， 故选：D 4. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 55 B. 50 C. 100 D. 58 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】由题意，. 故选：A. 5. 曲线在处的切线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】，则， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：C. 6. 已知圆与过点的直线l交于A，B两点，则弦的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记圆心为，由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系，求出弦长的最小值即可. 【详解】由题意，圆的方程可化为，圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 当直线与所在直线垂直时，最大，此时，当最大时，最小， 所以最小的弦长. 故选：D. 7. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案， 若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案， 即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案， 所以所求概率. 故选：C. 8. 过椭圆上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，设，则，则，进而可得，可求最小值. 【详解】由，可得，，所以，， 由，可得，半径为， 由，可得，半径为， 由椭圆的定义，设， 则，则，则， 所以 . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最小值为 B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 C. 存在，使得为偶函数 D. 函数在区间上的值域与在区间上的值域相同 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，根据平移变换的原则结合正弦函数的对称性即可判断B；根据诱导公式结合三角函数的奇偶性即可判断C；分别求出两个函数的值域即可判断D. 【详解】， 对于A，令，则， 所以，则， 所以，故A正确； 对于B，函数的图象向右平移个单位长度后得， 因为，所以平移后的函数图象不关于原点对称，故B错误； 对于C，， 要使为偶函数，则，所以， 又因为，所以， 所以存在，使得为偶函数，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式即可判断AB；根据相互独立事件的乘法公式即可判断C；根据条件概率公式即可判断D. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，故A正确； 对于B，若为互斥事件，则，，故B错误； 对于C，若相互独立，则，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 时， D. 不存在，使得为整数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推公式求出即可判断A；根据递推公式可得即可判断B；利用构造法求出数列通项，再利用错位相减法求出，再利用作差法即可判断C；化简即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项知， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 则， ， 两式相减得 ， 所以， ， 因为，所以， 所以当时， ， 所以当时，，故C错误； 对于D， ， 因为不同时为整数， 所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为________． 【答案】448 【解析】 【分析】首先求展开式通项公式，再根据特征项，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得，所以展开式的常数项为. 故答案为： 13. 已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，根据期望公式求出，再求出方差，再根据方差的性质即可得解 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，则，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的零点，进而求出的符号分别情况，即可求出函数的单调区间，进而求出，即可得解. 【详解】令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以又， 且当时，，当时，， 即， 且当时，，当时，， 所以存在唯一，使得，所以， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 由，得，① 由，，成等比数列得， 则，② 联立①②解得或，又因为，则， 所以． 综上，． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是2的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上，. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且，M为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答. （2）取中点，连PO，证明平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求线面角的正弦. 【小问1详解】 连接，连，如图，正方形中，N为的中点，而M为PD的中点， 则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连，如图，正中，， ， 连接，因为， 所以，所以，平面，则平面， 在平面内过O作，则射线两两垂直， 以点O为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 17. 2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会． （1）若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为X，求X的分布列及数学期望； （2）为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式和游览结果的统计数据如下表： 游览方式 游览结果 复古三轮车 共享单车 步行 逛完所有区域 40 50 30 未逛完所有区域 20 70 140 以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. 【小问2详解】 记事件A为“游客乙乘坐复古三轮车游园”，事件为“游客乙骑共享单车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有区域”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为. 18. 已知函数 ． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可； （2）由（1）知，要使函数有两个零点，则，则，进而可得出答案. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以函数在单调减区间为， 当时，令，则，令，则， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 综上所述，当时，在单调减区间为，没有增区间； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 由（1）知，要使函数有两个零点，则， 当时，， 又当时，，当时，， 因为函数有两个零点， 所以， 令， 因为函数在上都增函数， 所以函数在上是增函数， 又因为， 所以不等式的解集为， 所以实数的取值范围为. 19. 如图，已知曲线，曲线的左、右焦点分别是，，且是曲线的焦点，点P是与在第一象限内的公共点且，过的直线l分别与曲线和交于点和． （1）求点的坐标及曲线的方程； （2）若与面积分别是，，求的最小值． 【答案】（1），的方程是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求出点的横坐标，再代入抛物线方程即可求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程求出，即可求出椭圆方程； （2）设直线方程为，，将直线方程分别与抛物线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理求出，，求出点到直线的距离，再求出的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由题意得，曲线的准线为， 设，据题意有，则， 因为在曲线上， 所以，得， 因为点在第一象限， 所以， 因为点在椭圆上及是的焦点， 所以，解得：， 所以的方程是； 【小问2详解】 由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为，， 则点到直线的距离， 联立，消得， 由恒成立，得， 则， 所以， 联立，消得， 由恒成立，得， 则， 所以 ， 则 ， 令，则， 则， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $