精品解析：山西省大同市云冈区两校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分120分） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 比小3的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算是解题的关键；由题意可得算式为，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：B． 2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 承 B. 非 C. 遗 D. 文 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形展开，熟练掌握几何体，特别是正方体的性质是解题的关键． 根据正方体的性质进行判断即可． 【详解】解：正方体有六个面，且相对的面通常被其他面隔开．观察题目中的展开图，可以发现“传”字所在的面与“文”所在的面是相对的．这是因为“传”字所在的面与“文”所在的面之间没有直接相邻的面，而是被其他面隔开． 故选D． 3. 据报道，《国家节水行动方案》确定的2022年节点主要目标全面完成，2022年全国用水总量控制在6100亿立方米以内．其中6100亿用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：6100亿， 故答案为：C． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 神舟十五号载人飞船发射前对其零部件的检查应采用抽样调查 B. “某市明天降雨的概率是”表示该市明天有半天会下雨 C. 甲、乙两人进行射击测试，两人分别射击次，各自的平均成绩均是9环，方差，，则在本次射击测试中，乙的成绩更稳定 D. “人中至少有两人出生月份相同“是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查、概率、方差、必然事件等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据抽样调查、概率、方差、必然事件等概念进行判断即可． 【详解】解： A选项：神舟十五号载人飞船发射前对其零部件的检查应采用全面调查，故该选项错误； B选项：“某市明天降雨的概率是”表示该市明天下雨的可能性是，故该选项错误； C选项：甲、乙两人进行射击测试，两人分别射击次，各自的平均成绩均是9环，方差，，则在本次射击测试中，甲的成绩更稳定，故该选项错误； D选项：“人中至少有两人出生月份相同“是必然事件，故该选项正确． 故选D． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 先将原一元二次方程变形为一般式，再计算出的值即可． 【详解】解：原方程变形为， ，，， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选A． 6. 小西同学尝试用两个平面镜，进行探索，如图是他画的一种光路图，光线，若光线AB先后经平面镜，反射后，光线，则小西同学需要将两个平面镜的夹角调整为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．数量掌握平行线的性质与三角形内角和定理性质与三角形内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再根据光的反射定律可知，入射角等于出射角，得到，，即可求出，即两个平面镜的夹角． 【详解】解：如图， ， ． 根据光的反射定律可知，入射角等于出射角， ，． ． ， ，即平面镜的夹角调整为． 故选B． 7. 如图，四边形是的内接四边形，且，连接并延长交的切线于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质是解题的关键． 连接，，利用圆的性质，连接圆心到圆上的点和，形成三角形和．根据圆周角定理得出，然后圆内接四边形的性质求出，进而求出，再利用等腰三角形的性质得出，最后求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，，则． 四边形是内接四边形， ， ， ． ， ， ． 故选C． 8. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了一个问题，大意为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，问甜、苦果分别花了几文钱．若设买甜果用x文钱，买苦果用y文钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价=单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】由甜果、苦果共九百九十九文钱，得； 由甜果九个十一文钱、苦果七个四文钱，得甜果1个文钱，苦果1个文钱； 由甜果、苦果共买一千个，得，即， ∴． 故选D． 9. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键； 根据和分别讨论，即可求解； 【详解】解：当，的图象过一，二，三象限，过一，三象限； 当时，的图象过一，二，四象限，过二，四象限； 当时，和A选项图象一致； 故选：A 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上，以点B为圆心，2为半径画弧，与网格线交于点C，则经过点B的的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，设点为所在圆的圆心，连接，由可得，进而由圆周角定理得，即得是等边三角形，得到，再得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形，，即得，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设点为所在圆的圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴的长， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：2___3．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较． 12. 若点在第二象限内，则t的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：点在第二象限内， ， 解不等式①得：，解不等②得：， 的取值范围是， 故答案为：． 13. 在一个不透明的袋子里装有两个红色小球、一个黑色小球和一个白色小球（这些小球除颜色外完全相同），从中随机摸出两个小球，则这两个小球都是红色小球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．由表格得出所有等可能结果，找出都是红色小球的结果数，利用概率计算公式算出概率即可． 【详解】解：列表如下： 红 红 黑 白 红 （红，红） （红，黑） （红，白） 红 （红，红） （红，黑） （红，白） 黑 （黑，红） （黑，红） （黑，白） 白 （白，红） （白，红） （白，黑） 共有12种等可能的结果，其中这两个小球都是红色小球的结果有2种， ∴这两个小球都是红色小球的概率为． 故答案为：． 14. 如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】·本题考查了一次函数，二次函数，平面直角坐标系等知识点．熟练掌握求一次函数表达式，已知点坐标求二次函数解析式中的参数以及求二次函数的最值是解题的关键． 根据着陆坡坡度得到斜率，结合过点，利用斜截式求出直线方程，再将横坐标代入着陆坡方程得到点纵坐标，然后将坐标代入，求出确定二次函数表达式，用二次函数表示运动员高度减去着陆坡直线函数表示的高度，得到竖直距离关于的二次函数表达式，最后根据二次函数对称轴公式求出对称轴，将对称轴对应的值代入竖直距离函数，求出最大值，即运动员离着陆坡的最大竖直距离． 【详解】解：着陆坡的坡度为，且过点（由坐标系可知点在轴上，且纵坐标为）， 则，, ∴ 设直线方程为：, ∴， 解得： 直线方程为：． 将点D的横坐标代入得到， 点． 将点代入， 得到， 解得：． 设竖直距离为， 则 化简得：． 该二次函数的对称轴为， 将代入， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，由，得出，，继而求得，从而得到，再证明出即可求解． 【详解】解：延长交延长线于点， 四边形是菱形， ，， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∵， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数，再运算加减，即可作答． （2）运用完全平方公式以及单项式乘多项式，去括号，然后合并同类项，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 如图在中，． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． ①作的平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E； ③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F． （2）推理与计算：若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线和角平分线，垂直平分线的性质，角平分线的性质，平行线的性质以及三角函数的计算．按要求画出垂直平分线和角平分线，熟练掌握三角函数的计算是解题的关键． （1）①以点为圆心，任意长度为半径画弧，叫和与点和，分别以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则为的平分线； ②以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点和，连接交，于点O，E，则为的垂直平分线； ③长为半径作，交于另一点F． （2）连接．根据垂直平分得到，再根据平分得到，通过等量代换得到进而得到，再根据平行线的性质得到，最后计算即可求出的长． 【小问1详解】 ①作图如图所示． ②作图如图所示． ③作图如图所示． 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． （1）求小明和小亮的速度分别是多少． （2）小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 【答案】（1）小亮的速度为米分，小明的速度为米分 （2）小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．正确找出等量关系和建立不等式是解题的关键． （1）根据小明比小亮早到分钟列出分式方程求解即可； （2）根据两人各自的速度和到的距离，分别算出小明、小亮从点到的时间， 设小亮先出发y分钟，因为需要小亮先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B，算出小明从到的时间要大于等于小亮从到的时间，即，求解即可． 【小问1详解】 解：小亮的速度为x米/分，则小明的速度为米/分， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则． 答：小亮的速度为米分，小明的速度为米分． 【小问2详解】 解：到的距离为（米）， 小明从点到的时间为：（分钟）， 小亮从点到的时间为：（分钟）， 设小亮需要先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 则有，解得． 故小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B． 19. 每年5月15日国际家庭日所在周为全国家庭教育宣传周．某校为发展家校教育合力，帮助家长掌握科学育子方法，利用周末时间邀请学生家长进行培训学习，并在培训结束后组织测试．现从七、八年级中各随机抽取名学生家长的测试成绩（单位：分．成绩分为4组：A． ；B． ：C． ：D． ）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． b．七、八年级学生家长测试成绩的条形统计图： c．七、八年级学生家长测试成绩的众数、中位数（单位：分）如下： 年级 众数 中位数 七 89 89 八 a b 根据以上信息，解决下列问题． （1）表格中， ， ． （2）请补全条形统计图． （3）为加大家庭教育宣传力度，学校计划将以下四张海报随机张贴在两个活动教室内，每个教室张贴两张海报，请用列表或画树状图的方法求①②两张海报张贴在同一个活动教室内的概率． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的概念及求解方法，条形统计图，运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率．熟练掌握众数、中位数的概念及求解方法，条形统计图，运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率是解题的关键． （1）根据众数、中位数的概念进行求解即可； （2）先根据八年级成绩，统计出各分数段的人数，再依据已有统计图的刻度和七年级的条形图，在相应的八年级分数段上画出对应高度的直条； （3）运用列表法或树状图法列出所有可能的结果，统计出①②两张海报张贴在同一个活动教室的情况，用满足条件的情况除以总情况数即可． 【小问1详解】 解：八年级学生家长测试成绩中，出现的次数最多，所以； 八年级名学生家长的测试成绩从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，，中位数是，所以． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 根据题意，列表如下： ① ② ③ ④ ① （① ，②） （① ，③） （①，③） ② （② ，①） （③ ，③） （②，④） ③ （③ ，①） （④ ，②） （④，④） ④ （⑤，①） （⑤ ，②） （④，③） 由表格可知共有种可能的结果，其中①②两张海报张贴在同一个活动教室内的结果有2种， 故所求概率为． 20. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是 ； （2）的二级近似值是 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】（1）4； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了由分解因式求非完全平方的整数的平方根的近似值，解题关键是理解题意，进行变形计算． （1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【小问1详解】 解：， 与最接近， 的最初近似值为； 【小问2详解】 解：， 和最接近， 最初近似值， 的二级近似值是； 【小问3详解】 解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 21. 小宇同学使用的护眼灯如图（1）所示，该护眼灯是大面积柔光台灯，圆形大面光源均匀漫射光，金属平行双杆，滑动无极调光，显色指数高，经过对它的认真观察操作，小宇得到它的侧面简化结构图如图（2）所示（图中所有的点都在同一平面内），其中圆形底座的侧面视图为矩形，点A，B，F共线，支撑底座，旋转支架可绕点B旋转，接头，连接杆和圆形大面光源的直径共同组成的线段DE可绕点D旋转，上、下调节一定的角度，且，，，，，圆形大面光源中心M到点D的距离．小宇经使用发现：当，时，台灯光线最佳．求此时圆形大面光源中心M到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】此时圆形大面光源中心M到桌面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质．熟练掌握三角函数的计算以及矩形的性质是解题的关键． 通过作辅助线，将问题分解为多个直角三角形的求解，利用已知角度和边长，用三角函数求出各部分的高度，最后求和即可． 【详解】如图，过点C作于点I，过点M作于点J，过点B作于点L，交于点N，延长交于点K，则四边形和四边形均为矩形， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，， 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，∴． 在中，，，， ∴， ∴． 故此时圆形大面光源中心M到桌面的距离约为． 22. 【问题情境】 如图（1），等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，，，．将绕点顺时针旋转，连接，，延长交射线于点． 【猜想证明】 （1）如图（2），当时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图（3），在旋转的过程中，连接，探究，，之间的数量关系． 【拓展应用】 （3）在旋转的过程中，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先推出，，，四边形是矩形，进而四边形是正方形； （2）同（1）可证，如图（1），过点作，交于点，则，推出，，，则， （3）设，交于点，由，得，点，，，在以为直径的圆上，当时，如图，过点作于点，分别计算即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， 理由：，， ， 又，， ， ， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）同（1）可证， ，， 如图（1），过点作，交于点，则， ， 又， ， 又，， ， ，， ， ， ； （3）当时，如图，过点作于点， 则，， ， ， 综上可知，长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是分类讨论思想的应用． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点D是抛物线中上方的一点，点E在线段上，直线交x轴于点F． （1）求点A的坐标，并直接写出直线的函数解析式； （2）若点F与点O重合，当时，求点D的坐标； （3）连接 ，当与相似，且相似比为时，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把分别代入，求得抛物线的函数表式为，令，解方程即得；设直线的函数解析式为，把代入，解方程组求得p，q的值，即得直线的函数表达式； （2）过点D作轴于点H，交于点G，根据，得到，设点，，得到，得到，解得，即得或； （3）①当时， ，得到，求出直线的函数解析式为，设解析式为，求出， 即得；②当，，根据，得到，运用勾股定理求出，得到，得到，得到，过点E作于点T， ，得到， 得到，得到,得到，根据求出解析式为． 【小问1详解】 把分别代入， 得， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 则， 解得，， 故直线的函数表达式为：； 【小问2详解】 过点D作轴于点H，交于点G，如图（1）， 则， ∴， ∴， 设点， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时， ， 当时, ， 故或； 【小问3详解】 直线的函数表达式为或，理由： ①当时，，， ∴， ∴, 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点T，如图(3)， 则， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, ∴， 设解析式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴． 故直线的函数表达式为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分120分） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 比小3的数是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 6 2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 承 B. 非 C. 遗 D. 文 3. 据报道，《国家节水行动方案》确定的2022年节点主要目标全面完成，2022年全国用水总量控制在6100亿立方米以内．其中6100亿用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 神舟十五号载人飞船发射前对其零部件的检查应采用抽样调查 B. “某市明天降雨的概率是”表示该市明天有半天会下雨 C. 甲、乙两人进行射击测试，两人分别射击次，各自的平均成绩均是9环，方差，，则在本次射击测试中，乙的成绩更稳定 D. “人中至少有两人出生月份相同“是必然事件 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 6. 小西同学尝试用两个平面镜，进行探索，如图是他画的一种光路图，光线，若光线AB先后经平面镜，反射后，光线，则小西同学需要将两个平面镜的夹角调整为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，且，连接并延长交的切线于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了一个问题，大意为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，问甜、苦果分别花了几文钱．若设买甜果用x文钱，买苦果用y文钱，则可列方程组为（ ） A. B. C D. 9. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上，以点B为圆心，2为半径画弧，与网格线交于点C，则经过点B的的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：2___3．（填“＞”“＜”或“＝”） 12. 若点在第二象限内，则t的取值范围是__________． 13. 在一个不透明的袋子里装有两个红色小球、一个黑色小球和一个白色小球（这些小球除颜色外完全相同），从中随机摸出两个小球，则这两个小球都是红色小球的概率为______． 14. 如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为__________m． 15. 如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 如图在中，． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． ①作平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E； ③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F． （2）推理与计算：若，，求的长． 18. 太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． （1）求小明和小亮的速度分别是多少． （2）小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 19. 每年5月15日国际家庭日所在周为全国家庭教育宣传周．某校为发展家校教育合力，帮助家长掌握科学育子方法，利用周末时间邀请学生家长进行培训学习，并在培训结束后组织测试．现从七、八年级中各随机抽取名学生家长的测试成绩（单位：分．成绩分为4组：A． ；B． ：C． ：D． ）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． b．七、八年级学生家长测试成绩的条形统计图： c．七、八年级学生家长测试成绩的众数、中位数（单位：分）如下： 年级 众数 中位数 七 89 89 八 a b 根据以上信息，解决下列问题． （1）表格中， ， ． （2）请补全条形统计图． （3）为加大家庭教育宣传力度，学校计划将以下四张海报随机张贴在两个活动教室内，每个教室张贴两张海报，请用列表或画树状图的方法求①②两张海报张贴在同一个活动教室内的概率． 20. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是 ； （2）的二级近似值是 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 21. 小宇同学使用的护眼灯如图（1）所示，该护眼灯是大面积柔光台灯，圆形大面光源均匀漫射光，金属平行双杆，滑动无极调光，显色指数高，经过对它的认真观察操作，小宇得到它的侧面简化结构图如图（2）所示（图中所有的点都在同一平面内），其中圆形底座的侧面视图为矩形，点A，B，F共线，支撑底座，旋转支架可绕点B旋转，接头，连接杆和圆形大面光源的直径共同组成的线段DE可绕点D旋转，上、下调节一定的角度，且，，，，，圆形大面光源中心M到点D的距离．小宇经使用发现：当，时，台灯光线最佳．求此时圆形大面光源中心M到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 22. 【问题情境】 如图（1），等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，，，．将绕点顺时针旋转，连接，，延长交射线于点． 【猜想证明】 （1）如图（2），当时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图（3），在旋转的过程中，连接，探究，，之间的数量关系． 【拓展应用】 （3）在旋转过程中，若，，请直接写出的长度． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点D是抛物线中上方的一点，点E在线段上，直线交x轴于点F． （1）求点A的坐标，并直接写出直线的函数解析式； （2）若点F与点O重合，当时，求点D的坐标； （3）连接 ，当与相似，且相似比为时，请直接写出直线函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$