精品解析：安徽省合肥市蜀山中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

蜀山中学2024—2025学年度八年级第二学期 第一次数学学科学情调研 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、不是二次根式，故选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故选项不符合题意 D、是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，正确理解最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照一元二方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B．是二元二次方程，故选项不符合题意； C．是一元二次方程，故选项符合题意； D．当时，化为一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件：被开方式非负是解决问题的关键． 4. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. 10 B. －10 C. 2 D. －40 【答案】B 【解析】 【分析】将a代入方程得到，再将其整体代入所求代数式即可得解． 【详解】∵a是方程的一个解， ∴有，即，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取． 5. 若（a，b为有理数），那么等于（ ） A. B. 9 C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算．根据完全平方公式展开，即可得出答案． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知：，则值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质（被开方数的非负性）求出x的值，再根据x的值求出y的值，最后将x、y的值代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故选A. 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键. 7. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得， 又关于的一元二次方程没有实数根， 此方程根的判别式， 解得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 8. (m2+n2)(m2+n2−2)−8=0，则m2+n2=（ ） A 4 B. 2 C. 4或−2 D. 4或2 【答案】A 【解析】 【分析】设y=m2+n2，然后解一元二次方程即可求出y的值，结合平方的非负性即可求出结论． 【详解】解：设y=m2+n2， 原方程变形为y（y-2）﹣8=0． 整理得，y2-2y﹣8=0， （y-4）（y+2）=0， 解得y1=4，y2=-2， ∵m2+n2≥0， ∴m2+n2的值为4， 故选A． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，把m2+n2设为y，转化为关于y的一元二次方程是解题的关键． 9. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分当2为腰长时，当2为底边长时，利用根与系数的关系得到，，进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：当2为腰长时，假设此时， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形三边长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当2为底边长时，则， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意，， ∴， ∴， 综上所述，的值为10． 故选：B． 10. 已知一元二次方程中，其中真命题有( ) ①若a+b+c=0，则；②若方程两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2-4ac≥0，正确； ②由两根关系可知，，整理得：2a+c=0，正确； ③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-ac＞0，可知b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确． 正确命题有三个， 故选C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比较大小______ 【答案】 【解析】 【分析】先比较的大小，要比较它们两个的大小，则分别平方即可比较大小，再由两个负数大小比较方法进行即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数大小的比较，对于含有根号的无理数比较大小，一般先乘方转化为有理数大小的比较． 12. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小．由于，则，得到的整数部分为3，小数部分为，即，，然后把，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 的整数部分为3，小数部分为， ∴． 故答案为：． 13. 若的值与的值相等，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．根据题意得到方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 分解因式得：， 解方程得：， 故答案为：． 14. 关于的一元二次方程的一根为，则关于的方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用换元的思想是解题的关键． 由关于的方程，得，由于关于的一元二次方程的一根为，则关于的方程的根或，然后求解即可． 【详解】解：由关于的方程，得， ∵关于的一元二次方程的一根为， ∴关于的一元二次方程的根为或， ∴关于的方程的根或， ∴，， 故答案为：，． 15. 新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则_____________． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_____________． 【答案】 ①. ②. 2026 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴当时，取得最大值为2026． 故答案为：2026． 三、计算题（本大题共3小题，共24分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简二次根式，然后再合并即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，然后再合并即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴或， 解得． 【点睛】本题主要卡考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 已知，：求下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值． （1）先求得，，利用平方差公式分解，再整体代入计算即可求解． （2）先求得，，，将化为，再整体代入数值计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根 （2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一个根为2． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出b2-4ac=(m-2)20，由此可证出方程总有实数根； （2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】解：（1）∵b2-4ac=2-4×1×2m=(m-2)20， ∴方程总有实数根； （2）方程的一个根为1，设方程的另一个根为a， 由根与系数关系得a+1=m+2，1×a=2m， 解得a=2，m=1， ∴方程的另一个根为2． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记根与系数的关系：两根之和为，两根之积为． 20 观察下列各式，发现规律： ；；；…… （1）填空：___________，___________ （2）计算（写出计算过程）： （3）请用含自然数的代数式把你所发现的规律表示出来． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先通分，再根据积的算术平方根性质计算即可； （2）结合题意和（1）的结论，以此类推计算即可； （3）结合（1）和（2）的结论，归纳规律表示代数式即可． 【小问1详解】 解： ， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：=2； =3； =4； ； … ． 【小问3详解】 解：结合（1）和（2）的结论，得： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、数字规律的性质等知识点，根据二次根式计算、归纳规律是解答本题的关键． 21. 探究下面的问题： （1）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的最长边c的值． （2）已知，求ab的值． 【答案】（1）的最大边的值为6，7，8，9； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，三角形三边关系的应用，熟练掌握完全平方公式，偶次方的非负性是解题的关键． （1）利用多项式变形将原式化为两个平方和的形式，根据偶次方的非负性求出，，根据三角形的三边关系计算即可； （2）利用多项式变形将原式化为两个平方和的形式，根据偶次方的非负性求出，再代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的三边长为， ∴，即， ∵的最大边， ∴， ∴， ∴的最大边的值为6，7，8，9； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 22. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式可以是__________，分母有理化得_______． （2）计算： ①当，，则________； ②________（且为整数）． （3）根据你的推断，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）先找出各式有理化因式，然后再进行分母有理化计算即可； （2）①先求出a+b与ab，再将原式分解因式后整体代入计算即可得到结果， ②原式各项分母有理化，合并即可得到结果； （3）先求它们的倒数，进行分母有理化，比较它们倒数的大小，再确定原数的大小即可． 【详解】解：（1）根据平方差公式的有理化因式可以是， 根据平方差公式有理化分母为，， 故答案为：，； （2）①∵，， ∴，， 则； 故答案为 ②， =， =，， =， =， 故答案为：； （3）， ， ，即， ． 【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蜀山中学2024—2025学年度八年级第二学期 第一次数学学科学情调研 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 3. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ) A B. C. D. 4. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. 10 B. －10 C. 2 D. －40 5. 若（a，b为有理数），那么等于（ ） A. B. 9 C. D. 11 6. 已知：，则的值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 若关于x一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 8. (m2+n2)(m2+n2−2)−8=0，则m2+n2=（ ） A. 4 B. 2 C. 4或−2 D. 4或2 9. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（ ） A 9 B. 10 C. 9或10 D. 10. 已知一元二次方程中，其中真命题有( ) ①若a+b+c=0，则；②若方程两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比较大小______ 12. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是_____________． 13. 若的值与的值相等，则_____________． 14. 关于一元二次方程的一根为，则关于的方程的根为______． 15. 新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则_____________． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_____________． 三、计算题（本大题共3小题，共24分） 16. 计算： （1） （2） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2） 18. 已知，：求下列各式的值： （1） （2）. 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根 （2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根． 20. 观察下列各式，发现规律： ；；；…… （1）填空：___________，___________ （2）计算（写出计算过程）： （3）请用含自然数的代数式把你所发现的规律表示出来． 21. 探究下面的问题： （1）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的最长边c的值． （2）已知，求ab的值． 22. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式可以是__________，分母有理化得_______． （2）计算： ①当，，则________； ②________（且为整数）． （3）根据你的推断，比较和的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$