2.1二元一次方程（讲练）（8大题型50题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

二元一次方程的概念 二元一次方程概念的解读 二元一次方程的一般形式 每个方程都含有两个未知数(和)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程。 (1)方程中含有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1，不能理解为未知数的次数是1，这是易错点. (3)二元一次方程是整式方程，即等号的两边必须都是整式（分母中不含有未知数）. +=(,,为常数,且,). 【基础练习】 【练习1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x﹣4＝0 B．2x﹣y＝0 C．3xy﹣5＝0 D．+y＝ 【练习1-2】下列等式：①；②；③；④．其中是二元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解的写法 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如=1，=2是二元一次方程+ =3的一组解，写为. 提示：(1)二元一次方程有无数组解，即有无数多对数使这个二元一次方程左右两边的值相等． (2)在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值. 【基础练习】 【练习2-1】二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【练习2-2】下列各组数是方程的解是（   ） A． B． C． D． 【典例】下列是二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝0 B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】方程2x﹣3y＝5，xy＝3，，3x﹣y+2z＝0，x2+y＝6中二元一次方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧：判断二元一次方程的方法 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程;二看方程是否含有两个未知数；三看含未知数的项的次数是否都为1. 【典例】将方程3x+y＝9写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（　　） A．y＝3x﹣9 B．y＝9﹣3x C． D． 【变式2-1】已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】把方程改写成用含的式子表示的形式是 _____． 规律总结： 用一个未知数表示另一个未知数，实质上就是把要表示的这个未知数看做未知数，把另一个未知数看做已知数，将方程变形求解，其依据是之前我们学习过的等式的性质. 【典例】下列数值中，可作为二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】写出一个解为二元一次方程 　 　． 方法技巧：代入检验法判断方程的解 检验一对数是不是某个二元一次方程的解，可将这对数代入这个二元一次方程，看等号左、右两边的值是否相等.若值相等，则这对数就是该方程的解，否则不是该方程的解. 【典例】若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【变式4-1】若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【变式4-2】若是方程的一个解，则代数式____． 【典例】已知是关于x，y的二元一次方程，则mn的值为（　　） A． B． C．16 D．﹣16 【变式5-1】若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【变式5-2】若方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 易错警示：忽视“未知数的系数不为零”出错 确定一个方程为二元一次方程时，必须同时满足两个未知数的系数不为零，两个未知数所在项的次数为1这两个条件. 【典例】方程的非负整数解有（） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式6-1】二元一次方程2x+3y＝21的正整数解有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-2】方程2x+y＝5的非负整数解有 　 ． 方法技巧：二元一次方程的特殊解的求法 (1)将方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式； (2)将所有符合条件的或的值逐一代入求出或的值，求得符合要求的特殊解. 【典例】小明购买口罩，现在有A、B两种型号的口罩可供选择，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式7-1】小明带15元去学习用品商店购买A，B，C三种学习用品，其中A，B，C三种学习用品的单价分别为5元、3元、1元，要求每种学习用品至少买一件且A种学习用品最多买两件，若15元刚好用完，则小明的购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式7-2】某人身上只带有2元和5元两种货币，他买一件物品需支付27元，则付款恰好不用找零的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 点拨:应用方程知识解决实际问题，实质上是求二元一次方程的非负整数解，同时要结合实际问题，考虑其实际意义. 【典例】定义：若点P（m，n）满足2m﹣n＝1，则称点P为二元一次方程2x﹣y＝1的坐标点． （1）若点A（3，a）为方程2x﹣y＝1的坐标点，则a＝　 　； （2）若B（b+c，b+5）为方程2x﹣y＝1的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 【变式】对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）． 例如：，已知，． (1)求，的值． (2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 1．下列方程中，是二元一次方程的有（   ） ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 2．已知二元一次方程2x﹣7y＝5，用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 4．已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 5．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 6．不是方程的自然数解的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型每个4元，则小明的购买方案有（    ）种． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 8．如果是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的有 ． 10．已知，用含的代数式表示，则 11．请写出一个二元一次方程，使得它的一个解为 ． 12．方程3x﹣ay＝9的一个解是，那么a2+2a+3的值为 ___． 13．若关于x、y的方程是二元一次方程，则m＝_____，n＝_____． 14．二元一次方程的所有正整数解为 ． 15．已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是_________． 16．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有 种． 17．已知关于x、y的二元一次方程6x+5y＝a的一组解为，求﹣4a的平方根． 18．安庆某校为了做好大课间活动，计划用800元购买10件体育用品，备选体育用品及价格如下表： 备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍 价格 100元/个 80元/个 50元/副 (1)若800元全部用来购买羽毛球拍和篮球共10件，则各购买多少件？ (2)若800元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？若能，写出购买方案即可；若不能，请说明理由． 19．要用白卡纸做成长方体包装盒，现有三种裁剪方式： 方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面： 方式二：每张白卡纸可裁剪成个底面： 方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面和个底面． 已知个侧面和个底面配套做成一个包装盒． （1）若用张白卡纸按方式一裁剪成侧面，用b张按方式二裁剪成底面，这样正好配套，那么与应满足的关系式是 ． （2）采用方式一、方式二共裁剪张白卡纸，求每种方式各裁剪几张才能正好配套： （3）采用上述三种方式共裁剪张白卡纸，使裁剪出的侧面和底面正好配套．请求出所有的裁剪方案，并说明哪种方案做成包装盒数量较多． 20．阅读下列材料，然后回答问题： 对于实数x、y我们定义一种新运算，（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则_______，_______； （2）已知，，若正格线性数（其中k为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由． 1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．（2022·四川雅安·统考中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二元一次方程的概念 二元一次方程概念的解读 二元一次方程的一般形式 每个方程都含有两个未知数(和)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程。 (1)方程中含有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1，不能理解为未知数的次数是1，这是易错点. (3)二元一次方程是整式方程，即等号的两边必须都是整式（分母中不含有未知数）. +=(,,为常数,且,). 【基础练习】 【练习1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x﹣4＝0 B．2x﹣y＝0 C．3xy﹣5＝0 D．+y＝ 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．x﹣4＝0属于一元一次方程，不合题意； B.2x﹣y＝0属于二元一次方程，符合题意； C.3xy﹣5＝0属于二元二次方程，不合题意； D.不是整式方程，属于分式方程，不合题意； 故选：B． 【练习1-2】下列等式：①；②；③；④．其中是二元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义解答，即可得到答案． 【详解】解：①符合二元一次方程的定义，故正确； ②不是二元一次方程，故错误； ③不是二元一次方程，故错误； ④不是二元一次方程，故错误； 综上可得①正确，共一个． 故选：A． 二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解的写法 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如=1，=2是二元一次方程+ =3的一组解，写为. 提示：(1)二元一次方程有无数组解，即有无数多对数使这个二元一次方程左右两边的值相等． (2)在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值. 【基础练习】 【练习2-1】二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】将x、y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x、y的值是否为方程x﹣2y＝1的解． 【详解】解：A、当x＝0，y时，x﹣2y＝0﹣2×（）＝1，是方程的解； B、当x＝1，y＝1时，x﹣2y＝1﹣2×1＝﹣1，不是方程的解； C、当x＝1，y＝0时，x﹣2y＝1﹣2×0＝1，是方程的解； D、当x＝﹣1，y＝﹣1时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣1）＝1，是方程的解； 故选：B． 【练习2-2】下列各组数是方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．把各选项的数据代入方程看是否成立． 【详解】解：把选项A，B，C，D的数据代入， 只有成立． 故选：C． 【典例】下列是二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝0 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、该方程含有两个未知数，但是未知数的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误； B、该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确； C、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误； D、它不是方程，故本选项错误． 故选：B． 【变式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的判断，根据等号两边含有两个未知数并且含未知数的项的最高次数为1的整式方程叫二元一次方程直接判断即可得到答案 【详解】解：由题意可得， 是二元一次方程，符合题意， 是一元一次方程，不符合题意， 不是整式方程，不符合题意， 是三元一次方程，不符合题意， 故选：A． 【变式1-2】方程2x﹣3y＝5，xy＝3，，3x﹣y+2z＝0，x2+y＝6中二元一次方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1解答即可． 【详解】解：2x﹣3y＝5符合二元一次方程的定义； xy＝3的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义； 不是整式方程，不符合二元一次方程的定义； 3x﹣y+2z＝0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义； 方程x2+y＝6未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义； 所以是二元一次方程的有1个． 故选：A． 方法技巧：判断二元一次方程的方法 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程;二看方程是否含有两个未知数；三看含未知数的项的次数是否都为1. 【典例】将方程3x+y＝9写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（　　） A．y＝3x﹣9 B．y＝9﹣3x C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】解：3x+y＝9， 3x＝9﹣y， 解得x＝3﹣． 故选：D． 【变式2-1】已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】要用x的代数式表示y，先移项，再将系数化为1即可． 【详解】解：移项得，， y的系数化为1得，．故选：B． 【变式2-2】把方程改写成用含的式子表示的形式是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项，化系数为1的步骤将方程改写成用含的式子表示的形式，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 规律总结： 用一个未知数表示另一个未知数，实质上就是把要表示的这个未知数看做未知数，把另一个未知数看做已知数，将方程变形求解，其依据是之前我们学习过的等式的性质. 【典例】下列数值中，可作为二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程-x-2y=5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A、把x=1，y=2代入方程，左边=-5≠右边，所以不是方程的解； B、把x=1，y=-3代入方程，左边=5=右边，所以是方程的解； C、把x=-1，y=2代入方程，左边=-3≠右边，所以不是方程的解； D、把x=-1，y=-3代入方程，左边=7≠右边，所以不是方程的解．故选：B． 【变式3-1】下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】写出一个解为二元一次方程 　 　． 【答案】x+y＝﹣1（答案不唯一）． 【解析】 【详解】解：∵当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝2﹣3＝﹣1， ∴二元一次方程x+y＝﹣1的一组解为． 故答案为：x+y＝﹣1（答案不唯一）． 方法技巧：代入检验法判断方程的解 检验一对数是不是某个二元一次方程的解，可将这对数代入这个二元一次方程，看等号左、右两边的值是否相等.若值相等，则这对数就是该方程的解，否则不是该方程的解. 【典例】若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．根据题意得，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵是关于x和y的二元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 【变式4-1】若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】将代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1，可得关于a的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1， 可得2a﹣1＝1， 解得a＝1． 故选：B． 【变式4-2】若是方程的一个解，则代数式____． 【答案】3 【解析】 【分析】把代入方程nx+6y=4得出-2n+6m=4，求出3m-n=2，再代入求出即可． 【详解】解：∵是方程nx+6y=4的一个解， ∴代入得：-2n+6m=4，∴3m-n=2，∴3m-n+1=2+1=3，故答案为：3． 【典例】已知是关于x，y的二元一次方程，则mn的值为（　　） A． B． C．16 D．﹣16 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴n﹣3＝1且2m+5＝1， 解得：n＝4，m＝﹣2， ∴mn＝（﹣2）4＝16， 故选：C． 【变式5-1】若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义即可解答． 【详解】解：由条件可知|2m﹣3|＝1，m﹣2≠0， 解得m＝1， 故选：A． 【变式5-2】若方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且， ∴， 故答案为：． 易错警示：忽视“未知数的系数不为零”出错 确定一个方程为二元一次方程时，必须同时满足两个未知数的系数不为零，两个未知数所在项的次数为1这两个条件. 【典例】方程的非负整数解有（） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【解析】 【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解． 【详解】解∶， ， 当时，时，时，， 则方程的非负整数解为或或 故选∶C． 【变式6-1】二元一次方程2x+3y＝21的正整数解有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程2x+3y＝21， 解得：y＝， 当x＝3时，y＝5；x＝6，y＝3，x＝9，y＝1， 故选：B． 【变式6-2】方程2x+y＝5的非负整数解有 　 ． 【答案】或或． 【解析】 【详解】解：由题意可得， y＝5﹣2x， 当x＝0时，y＝5﹣2×0＝5， 当x＝1时，y＝5﹣2×1＝3， 当x＝2时，y＝5﹣2×2＝1， 当x＝3时，y＝5﹣2×3＝﹣1＜0， 故答案为：或或． 方法技巧：二元一次方程的特殊解的求法 (1)将方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式； (2)将所有符合条件的或的值逐一代入求出或的值，求得符合要求的特殊解. 【典例】小明购买口罩，现在有A、B两种型号的口罩可供选择，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】解：设购买A型口罩x个，B型口罩y个， 由题意得：6x＋4y＝40， ∴， 因为x，y是正整数， ∴或或， 所以小明的购买方案有3种， 故选：B． 【变式7-1】小明带15元去学习用品商店购买A，B，C三种学习用品，其中A，B，C三种学习用品的单价分别为5元、3元、1元，要求每种学习用品至少买一件且A种学习用品最多买两件，若15元刚好用完，则小明的购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【解析】 【分析】首先设种商品购买件，种商品购买件；然后分类讨论商品买1件和商品买2件两种情况，最后列出方程解答即可． 【详解】设种商品购买件，种商品购买件， 第一种情况：商品买1件，则 ，即， ，都为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 第二种情况：商品买2件，则 ，即， ，都为正整数， 当时，， 综上所述，购买方案共有4种． 故选：B． 【变式7-2】某人身上只带有2元和5元两种货币，他买一件物品需支付27元，则付款恰好不用找零的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设付款时用了2元x张，5元y张，再利用买一件物品需支付27元，再建立二元一次方程求解即可． 【详解】解：设付款时用了2元x张，5元y张． ∴， ∵x和y只能取正整数． ∴当时，；当时，，当时，． ∴付款恰好不用找零的方法有3种； 故选：C． 点拨:应用方程知识解决实际问题，实质上是求二元一次方程的非负整数解，同时要结合实际问题，考虑其实际意义. 【典例】定义：若点P（m，n）满足2m﹣n＝1，则称点P为二元一次方程2x﹣y＝1的坐标点． （1）若点A（3，a）为方程2x﹣y＝1的坐标点，则a＝　 　； （2）若B（b+c，b+5）为方程2x﹣y＝1的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 【答案】（1）5（2）或 【解析】 【分析】（1）将点A（3，a）代入方程2x﹣y＝1，即可解答． （2）将点B（b+c，b+5）代入方程2x﹣y＝1，得2（b+c）﹣（b+5）＝1再代入2m﹣n＝1，即可解答． 【详解】解：（1）将点A（3，a）代入方程2x﹣y＝1，得2×3﹣a＝1， 解得a＝5． （2）由题意得：2（b+c）﹣（b+5）＝1，b+2c＝6，b，c为正整数， ∴或． 【变式】对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）． 例如：，已知，． (1)求，的值． (2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为； (2)． 【解析】 【分析】（）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到，的值； （）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组组的解法即可求解； 本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （2）将代入原方程组得：， 得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴的值为． 1．下列方程中，是二元一次方程的有（   ） ①，②，③，④，⑤，⑥ A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，牢记“只含有二个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫二元一次方程”是解题的关键．利用二元一次方程的定义，逐一分析各方程，即可得出结论． 【详解】解：①是二元一次方程，符合题意； ②是一元一次方程，不符合题意； ③含有两个未知数，最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； ④含三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； ⑤不是二元一次方程，不符合题意； ⑥是二元一次方程，符合题意； 综上，是一元一次方程的有①⑥，共2个， 故选：B． 2．已知二元一次方程2x﹣7y＝5，用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】解：移项得，﹣7y＝5﹣2x， y的系数化为1得，y＝． 故选：B． 3．下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义逐项计算判断即可． 【详解】解：A、把代入方程的左边，左边＝3×0﹣6＝﹣6，右边＝6，左边≠右边，所以不是方程3x﹣y＝6的解，故此选项符合题意； B、把代入方程的左边，左边＝3×2﹣0＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程的左边，左边＝3×4﹣6＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程的左边，左边＝3×（﹣3）﹣（﹣15）＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】把代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入进行计算即可． 【详解】解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7， ∴4m+6n﹣3 ＝2（2m+3n）﹣3 ＝2×7﹣3 ＝14﹣3 ＝11， 故选：B． 5．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程组的定义即可解答． 【详解】∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：． 故选：A 6．不是方程的自然数解的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】 【分析】分别把x、y的值代入方程，即可一一判定． 【详解】解：A.当，时，，故该选项是此方程的自然数解，不符合题意； B.当，时，，故该选项是此方程的自然数解，不符合题意； C.当，时，，故该选项是此方程的自然数解，不符合题意； D.当，时，，但-1不是自然数，故该选项不是此方程的自然数解，符合题意． 故选：D． 7．小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型每个4元，则小明的购买方案有（    ）种． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【解析】 【分析】设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，得，根据题意列出符合题目的购买方案即可解答； 【详解】解：设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个； 则，， 根据题意， 当时，； 当时，； 当时，； 符合题意，所以小明的购买方案有3种； 故选：B． 8．如果是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将代入方程2ax+by＝13，可得4a+b＝13．因a，b是正整数，故可知a及b的值，从而求出a+b的最小值． 【详解】解：由题意得：4a+b＝13． 又∵a、b是正整数， ∴a＝1，b＝9或a＝2，b＝5或a＝3，b＝1． 当a＝1，b＝9时，a+b＝10． 当a＝2，b＝5时，a+b＝7． 当a＝3，b＝1时，a+b＝4． ∴a+b的最小值为4． 故选：B． 9．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的有 ． 【答案】①④/④① 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，二元一次方程的定义，解题的关键是：熟练掌握二元一次方程的定义． 【详解】解：①是二元一次方程，符合题意， ②是分式方程，不符合题意， ③是二元二次方程，不符合题意， ④是二元一次方程，符合题意， ⑤是三元一次方程，不符合题意， ⑥是二元二次方程，不符合题意， 综上所述，①④是二元一次方程， 故答案为：①④． 10．已知，用含的代数式表示，则 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将其中一个当做已知数求出另一个未知数． 把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 11．请写出一个二元一次方程，使得它的一个解为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程，根据二元一次方程的解使方程左右两边值相等进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，是二元一次方程，且满足它的一个解为 故答案为：（答案不唯一） 12．方程3x﹣ay＝9的一个解是，那么a2+2a+3的值为 ___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程求出参数a的值，然后再代入代数式求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将代入原方程得：， 解得：， 将代入得：， 故答案为：2． 13．若关于x、y的方程是二元一次方程，则m＝_____，n＝_____． 【答案】          【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，含未知数项的次数为一次，求出m、n的值． 【详解】因为关于x、y的方程是二元一次方程， 所以， 解得，． 故答案为2， 14．二元一次方程的所有正整数解为 ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 先用x表示y，再根据x与y为正整数可得x为偶数，从而得到x的取值，即可求得． 【详解】解：根据题意得，， ∵ x和y为正整数， ∴ x为2的倍数， ∴或4， ∴或． 故答案为：或． 15．已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是二元一次方程的一个解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ； 故答案为：． 16．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有 种． 【答案】6 【解析】 【分析】设10元的有x张，20元的y张，由题意得，根据x、y均为非负整数，得到方程的非负整数解，即可得到答案． 【详解】解：设10元的有x张，20元的y张， 由题意得， ∵x、y均为非负整数， ∴， ∴共有6种兑换方案， 故答案为：6． 17．已知关于x、y的二元一次方程6x+5y＝a的一组解为，求﹣4a的平方根． 【答案】±2 【解析】 【分析】将x，y的值代入原方程，可求出a的值，再求﹣4a的平方根即可． 【详解】解：将代入原方程，得6×3+5×（﹣5）＝a， ∴a＝﹣7， ∴﹣4a＝﹣4×（﹣7）＝28， ∴﹣4a的平方根是±2． 18．安庆某校为了做好大课间活动，计划用800元购买10件体育用品，备选体育用品及价格如下表： 备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍 价格 100元/个 80元/个 50元/副 (1)若800元全部用来购买羽毛球拍和篮球共10件，则各购买多少件？ (2)若800元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？若能，写出购买方案即可；若不能，请说明理由． 【答案】(1)购买羽毛球4副，篮球6个；(2)可以，篮球、排球和羽毛球拍各3，5，2个． 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用． （1）设买篮球x个，则买羽毛球拍件，根据买篮球的费用+买羽毛球拍的费用建立方程求出其解即可； （2）设买篮球x个，卖排球y个，则买羽毛球拍件，由题意建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设买篮球x个，则买羽毛球拍件，由题意，得 ， 解得：， 则． 答：买篮球6个，买羽毛球拍4件． （2）解：设买篮球x个，买排球y个，则买羽毛球拍件，由题意，得 ， 整理得：， ∵x、y都是整数， ∴当时，，羽毛球拍为4件； 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去， 当时，，羽毛球拍为件， 当时，不符合题意，舍去， 当时，不符合题意，舍去 当时，不符合题意，舍去 当时，不符合题意，舍去 当时，，羽毛球拍为0件． ∴篮球、排球和羽毛球拍各3，5，2个． 19．要用白卡纸做成长方体包装盒，现有三种裁剪方式： 方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面： 方式二：每张白卡纸可裁剪成个底面： 方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面和个底面． 已知个侧面和个底面配套做成一个包装盒． （1）若用张白卡纸按方式一裁剪成侧面，用b张按方式二裁剪成底面，这样正好配套，那么与应满足的关系式是 ． （2）采用方式一、方式二共裁剪张白卡纸，求每种方式各裁剪几张才能正好配套： （3）采用上述三种方式共裁剪张白卡纸，使裁剪出的侧面和底面正好配套．请求出所有的裁剪方案，并说明哪种方案做成包装盒数量较多． 【答案】（1）a=b；（2）方式一裁剪6张，方式二裁剪8张；（3）方案一：方式一4张，方式二8张，方式三8张；方案二：方式一8，方式二11张，方式三1张；方案二做出的包装盒数量最多 【解析】 【分析】（1）分别得出两种方式做出的侧面和底面数，根据个侧面和个底面配套做成一个包装盒即可得到关系式； （2）设采用方式一裁剪x张白纸，根据题意列出方程，解之即可； （3）设方式一裁剪m张，方式二裁剪n张，方式三裁剪20-m-n张，列出二元一次方程，求出整数解，从而判断． 【详解】解：（1）用a张白卡纸按方式一裁剪成侧面，则可裁剪成2a个侧面， 用b张按方式二裁剪成底面，则可裁剪成3b个底面， ∵个侧面和个底面配套做成一个包装盒， 则3b=4a，即a=b； （2）设采用方式一裁剪x张白纸，则设采用方式二裁剪14-x张白纸， 则4x=3（14-x）， 解得：x=6， ∴方式一裁剪6张，方式二裁剪8张才正好配套； （3）设方式一裁剪m张，方式二裁剪n张，方式三裁剪20-m-n张， 由题意可得： 2（2m+20-m-n）=3n+20-m-n， 则：20+3m=4n， 即：， ∴m只能取4，8，12，16，20， 当m=4时，即方案一：方式一4张，方式二8张，方式三8张，可裁剪出16套； 当m=8时，即方案二：方式一8，方式二11张，方式三1张，可裁剪出17套； 当m=12时，即方式一12张，方式二14，方式三，不符合； ∴共有两种方案，其中方案二做出的包装盒数量最多． 20．阅读下列材料，然后回答问题： 对于实数x、y我们定义一种新运算，（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若，则_______，_______； （2）已知，，若正格线性数（其中k为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由． 【答案】（1）11，3；（2）有，x=2，y=6 【解析】 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题中的新定义化简已知等式，由x，y都为正整数，k为整数，确定出所求即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：L（2，3）=2+3×3=2+9=11， ； （2）根据题中的新定义化简=2，得：， 解得：b=2， 化简L（x，kx）=18，得：3x+2kx=18， 依题意，x，y都为正整数，k是整数， ∴3+2k是奇数， ∴3+2k=1，3，9， 解得：k=-1，0，3， 当k=-1时，x=18，kx=-18，舍去； 当k=0时，x=6，kx=0，舍去； 当k=3时，x=2，kx=6， 综上，k=3时，存在正格数对x=2，y=6满足条件． 1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题； 【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知， 或， ∴， 故选：C． 2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【解析】 【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解． 【详解】设购买了种奖品个，种奖品个， 根据题意得：， 化简整理得：，得， ∵，为非负整数， ∴，，， ∴有3种购买方案： 方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个； 方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个； 方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个. 故选：B. 3．（2022·四川雅安·统考中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入ax+by＝3可得：， 2a+4b﹣5 ．故答案为：1 学科网（北京）股份有限公司 $$